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1、三余弦公式的巧用 1 AO AO AO 12 如图：斜线和平面所成的角为， 斜线在平面上的射影 AB, AC为平面内异于AB的直线， AB与A C的夹角为， 与A C的夹角， 则有： cos =coscos 该公式本质上反映了线面角与线线角之间的数量关系，其本质特征是由两个平面互相垂 直，两个平面内的三条直线所成角的定量关系。在处理异面直线所成角、线面角的问题时效 果明显。下面通过近年高考试题予以说明。 例一: （2005 全国卷 I 第 18 题） 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABCD， PADAB,90底面 ABCD ， 且 PA=AD=DC= 2 1 AB=1 ，M是 P
2、B的中点。 （）求 AC与 PB所成的角； 常规解法：过点B作 BE/CA，且 BE=CA ，则 PBE是 AC与 PB所成的角 . 连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE= 2 ，又 AB=2 ，所以四边形 ACBE 为正方形 . 由PA 面ABCD 得 PEB=90 在Rt PEB 中BE=2 ， PB=5 ， . 5 10 cos PB BE PBE. 5 10 arccos所成的角为与PBAC 析：已知条件中有PA底面 ABCD若使用三余弦公式则： PB在平面 ABCD 上的射影 AB ， 222210 cos,cos 225 55 PBABACACPB与夹角的余弦值 . 5 10
3、arccos所成的角为与PBAC 评：只要找到三线的夹角即可，无需作图求解。 例二（ 2006 福建卷）如图，四面体ABCD 中， A C B O A B M D E O C O 、E分别 BD 、BC的中点, CA =CB =CD =BD =2 （）求证： AO 平面 BCD ； （）求异面直线AB与 CD所成角的大小； 常规方法 方法一：（I ）证明：连结 OC ,.BODO ABADAOBD ,.BODO BCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO 而2,AC 222, AOCOAC90 , o AOC即.AOOC ,BDOCOAO平面BCD （II ）解：取 AC的中点 M
4、 ，连结 OM 、ME 、OE ，由 E为 BC的中点知MEAB,OE DC 直线 OE与 EM所成的锐角就是异面直线AB与 CD所成的角 在 OME 中， 121 ,1, 222 EMABOEDC OM 是直角 AOC斜边 AC上的中线， 1 1, 2 OMAC 2 cos, 4 OEM 异面直线 AB与 CD所成角的大小为 2 arccos. 4 方法二： （II ）解：以 O为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),( 1,0,0),BD 13 (0,3,0),(0,0,1),(,0),( 1,0,1),( 1,3,0). 22 CAEBACD .2 cos, 4 BACD BA
5、 CD BA CD 异面直线 AB与 CD所成角的大小为 2 arccos. 4 由 （ ） 知 ： AO 平 面BCD； AB 在 平 面 平 面BCD 上 的 射 影 在BD 上 21 cos,cos 22 ABDCDB异面直线 AB与 CD所成角的大小为 2 arccos. 4 x C A B O D y z E 例三 （2006湖南卷） 如图, 已知两个正四棱锥P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4. ( ) 证明 PQ 平面 ABCD; ( ) 求异面直线 AQ与 PB所成的角 ; ( ) 求点 P到平面 QAD 的距离 . 解法一：（） 连结 AC 、BD
6、 ，设 OBDAC . 由 PABCD 与 Q ABCD 都是正四棱锥， 所以 PO 平面 ABCD ，QO 平面 ABCD . 从而 P、O 、Q三点在一条直线上，所以PQ 平面 ABCD . （II ）由题设知， ABCD 是正方形，所以ACBD 由（I ）知： 231 2 23,3,cos,cos 333 AOPBAQOBPOAQ=2 2 从而异面直线 AQ与 PB所成的角是 3 arccos 9 . 例四（ 2006 江西卷）如图，已知三棱锥 OABC的侧棱 OAOBOC，两两垂直，且1OA，2OBOC，E是OC的 中点 （2）求异面直线 BE与AC所成的角； 常规方法 : 取OA的中
7、点M，连EM、BM，则 EM,ACBEM是异面直线BE与AC所成的角 . 求得: 2222 1517 ,5,. 222 EMACBEOBOEBMOMOB 222 22 cos,arccos. 255 BEMEBM BEMBEM BE ME (2,0,0)(0,1,0)(2, 1,0),(0,2,1).坐标法 EBAC cos 22 , 555 所以 Q B C P A D 异面直线BE与AC所成的角 2 arccos 5 . 利用三余弦公式求解： BE在平面 AOC 上的射影 OE=1 ，BE= 5， 52 5 cos,cos 55 BEOACO所以异面直线BE与AC所成的角 2 arccos
8、 5 . 立体几何中的计算，尤其是客观题的解答，如果过分依赖坐标法这个“鸡肋”将阻碍立 体几何对空间思维能力的提升，阻碍“降维”转化思想方法的形成，从而削弱立体几何应有 的思维训练价值。同时，让我们抓住教材，充分利用教材；指导我们进行高考备考。 附：练习 1 （全国 ?理?7 题）如图，正四棱柱 1111 DCBAABCD中， ABAA2 1 ，则异面直线 11 ADBA与所成角的余弦值为（） A 5 1 B 5 2 C 5 3 D 5 4 2 （全国 ?理?7 题）已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与 底面边长相等， 则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的余弦值等于 （） A 6 4
9、B 10 4 C 2 2 D 3 2 3（北京?理?16 题）如图，在RtAOB中， 6 OAB，斜边4AB RtAOC可以通过RtAOB以直线AO为轴旋转得到， 且二面角BAOC是直二面角D为AB的中点 则异面直线AO与CD所成角的大小 ( 6 arccos 4 ) （ 6 coscoscoscoscos 464 CODAOD） 4（2008 四川延考理 16 文 16）已知90AOB， C为空间中一点，且60AOCBOC， 则直线OC与平面AOB所成角的余弦值为。 2 2 O C A D B E O Q E N M A B D C O P A B C D A1 B1 C1 D1 O 5（2
10、008 安徽卷理 18） 如图，在四棱锥OABCD中，底面 ABCD四边长为 1 的菱形， 4 ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC 的中点则异面直线AB与 MD所成角的大小 3 6（2008 福建卷理 18）如图，在四棱锥P-ABCD 中， 面PADABCD， 侧棱 PA =PD 2 ， 底面 ABCD 为直角梯形， 其中， O为 AD中点. 则异面直线 PD与 CD所成角的大小 6 arccos 3 7（2009 年上海卷理）如图，若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面连长为 高为 4，则异面直线 1 BD 与 AD所成角的大小是 _ （结果用反三角函数表示）. 6 arccos 6 8（2010 全国卷 1 文数） （9）正方体ABCD- 1111 ABC D 中， 1 BB 与平面 1 ACD 所成角的余弦值为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D ） 6 3 11, BBDD 设O为正三角形 1 ACD 的中心， 则 1 OD D即为所求 1111 6cos45 coscoscoscos 3 cos30 CD DCD OOD DOD D