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1、睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 1 第二章实数 通关口诀： 有理无理是实数；实数学好通三根。 小数有理和无理；一定彻底分得清。 无理也有各种形；开方运算初步懂。 基本运算有六种；开方奇偶要分明。 三种重要非负数；热点考题烂于心。 一数平方再开方；先变绝对再裸奔。 倒数非负轴反绝；五大概念认实数。 比较大小方法多；六种运算细琢磨。 回想各种运算律；推广练习熟练用。 结果最简怎么化；分类总结不会错。 遇到加减化后算；碰到乘除算完化。 六级运算有先后；分为三级依次算。 正奇数学学堂 第一讲：无理数及“三根” 【知识点一】无理数的存在性探索。
2、1探究： 什么是有理数：整数和分数统称为有理数。 不是有理数的数：、正方形的面积为2、3、 5、6、7，13- 时，它们的边长。 - 广泛存在。 X 2 =a（a 0） ，当我们知道a 求 x 时，结果可能 是有理数，也可能不是有理数。 生活中仅有有理数是不够的: 还需要（也存 在）大量的不是有理数的数。 2无理数的概念。 定义： 无限不循环小数叫做无理数。 特征： 小数部分无限；小数部分不循环；不 能表示成分数的形式。 与小数的关系： 小数 有限小数 无限循环小数 无限循不环小数 有理数 无理数 母题示例 1. 在下列数:, 1.44 , 3.14, 2+, 3 1 , 1.2121 , 中
3、, 无理数有 _.有理数有 _. 2. 判断正误 : （1）有理数包括整数、分数和零.( ) （2）无理数都是开方开不尽的数.( ) （3）不带根号的数都是有理数.( ) （4）带根号的数都是无理数.( ) （5）无理数都是无限小数.( ) （6）无限小数都是无理数.( ) 3. 面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是有理数的正方形有_个，边长 是无理数的正方形有_个. 4 下 列 各 数 中 ： 1, 2 3 ,3.14, ,3,0,2, 2 7 , 2 5 , 0.2020020002 ,( 相邻两个2 之间 0 的个数逐次加1). 其中，是有理数的是_，是无 理数的
4、是 _. 在上面的有理数中，分数有_， 整数有 _. 5下列语句正确的是（）. A.3.78788788878888是无理数 B. 无理数分正无理数、零、负无理数 C. 无限小数不能化成分数 D. 无限不循环小数是无理数 6列说法正确的是（）. A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 2 C.无限小数是无理数 D. 3 是无理数 【知识点二】平方根。 1定义 : 一般地 , 如果一个数x 的平方等于a, 即 x 2=a, 那么 , 这个数 x 就叫做 a 的平方根 ( 也叫 二次方根 ). 2. 性
5、质 +运算符号 : 一个正数a 的平方根有两个, 它们互为相反数, 分别用a和a表示 . 合起 来a读做“正负根号a” 。0 的平方根是0。负数 没有平方根。 （根指数2 省略不写） 3. 开平方： 求一个数a 的平方根的运算叫做开 平方 ,a 叫被开方数。 乘方与开平方互为逆运算。开 平方运算的结果叫做平方根。 4平方根的个数：正二零己负无。 母题示例 1若 4x 2 =25, 则 x=_. 4. 一个数的平方等于它身,那么这个数是 _. 3 一个数的平方等于196, 则这个数为 _. 6. 25的平方根是 _. (-4) 2 的平方根 是_. 7求下列各数的平方根，并熟记：121； 144
6、； 169； 196；225；256；289；324；361；441 8 （ 2 3）2 的平方根是（）. A 8 B 8 C 8 D不存在 9 已知：一个正数的两个平方根分别是22a 和4a，则a的值是 【知识点三】算术平方根。 1定义： 一个正数a 有两个平方根 a，其 中正的平方根a叫做 a 的算术平方根。 2符号：a表示 a 的算术平方根。规定：0 的算术平方根是0。显然：负数没有算术平方根。 3重要性质： a的非负性： a 0，a 0( 双重非负 性） 。 a是非负数 a 的算术平方根；- a是 a 的算术平方根的相反数（另外一个平方根）。 a开得尽是运算；开不尽就是个数。 初中阶段
7、三个重要非负数： 2 |,ABC （A、B、C可数可字母可式） 。熟记活用。 4求根法（算术平方根- 平方根）。 用定义求：平方等于 a 的正数及其相反数。 用符号找：a及其相反数 -a（其中a 表示 a 的算术平方根。 注意： a 的平方根 =平方能等于a 的所有数。 a 的算术平方根 =平方等于a 的正数。 母题示例 19 的平方根是；16的算术平方根 是_ . 29的算术平方根为_.3 -2 的算术 平方根是 _. 3. 若 a 的平方根是 5, 则a=_. 4. 4 121 算术平方根的相反数的倒数是_ 536平方根是 ( ). A.6 B.6 C.6 D.6 6下列叙述中, 正确的是
8、 ( ). 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 3 A.a的平方根是a B.(-a) 2 平方根是 - a C. 一个数总有两个平方根 D. a是 a 2 的一个平方根 7下列命题正确的是( ). A.x是有理数， x 2 一定有平方根 B. 有理数 x 一定有平方根 C.3的平方根是3 D.16的平方根是 4 8列语句错误的是( ). A. 4 1 的平方根是 2 1 B. 4 1 的平方根是 2 1 C. 4 1 的算术平方根是 2 1 D. 4 1 有两个平方根, 它们互为相反数 【知识点六】平方根与算术平方根的区别与联系。 1a0
9、时： a，- a， a 的区别。 区别一： 正数有两个平方根，它们的和为零。 有一个算术平方根。 区别二：表示方法不同：a； a。 区别三：取值范围不同：正数的算术平方根 一定是正数，平方根一正一负互为相反数。 2联系： 平方根包含算术平方根；被开方数 都必须是非负数；0 的平方根和算术平方根都是0。 正奇点睛： a表示： a 的算术平方根；-a表示 a 的算术平 方根的相反数。 a表示 a 的两个平方根。（其中 a 为非负数，两个平方根的和为0） 。 a a 一个平方等于的正的有理数（开得尽） 一个平方等于a的正的无理数（开不尽） 母题示例 1 （ 1） 2 的算术平方根是_，16的 平方根
10、是 _ 2. 一个数的算术平方根是它本身，这个数是 _ 3. 25 2242 的平方根是 _，0.04 的负 的平方根是 _ 4 2 3 的算术平方根是( ). A 6 1 B 3 1 C3 D 6 4下列说法中，正确的个数（）. (1).0.01 是 0.1 的平方根 .(2)5 2 的平方根为 5.(3)0 和负数没有平方根.(4)因为 16 1 的平方根是 4 1 ,所以 16 1 = 4 1 .（5）正数的平方根有两个，它 们是互为相反数. A.0个 B.1个 C.3个 D.4个 5. 下列各式中，无意义的是（）. A. 2 3B. 3 3 )3( C. 2 )3(D. 3 10 6若
11、14a有意义， 则 a 能取得最小整正数 是( ). A. 4 B.1 C0 D 1 79的平方根是（） . A.3 B. 3 C. 3 D.3 8. 下列说法中正确的是（） . A. 任何数都有平方根 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 4 B. 一个正数的平方根的平方就是它的本身 C. 只有正数才有算术平方根 D.不是正数没有平方根 9下列说法正确的是（）. A.5 是 25 的算术平方根 B.4 是 16 的算术平方根 C.6 是（ 6） 2 的算术平方根 D.0.01 是 0.1 的算术平方根 10.36的算术平方根是（）. A 6
12、 B6 C6D.6 【知识点七】用平方根的定义解方程。 2 ,xaxa若则。 母题示例 1若 x 2-9=0,4y2-1=0, 求|x+2y| 的值 . 2. 若 9x 249=0, 则 x=_. 3. 已知 25y 2-49=0, 且 y 是负数 , 求 y1011 的值 . 【知识点八】三个重要公式。 1若 x 2=a 则 x= a( 用来解方程） 。 2.(a ) 2=a (a 0) 3.( 2 a) 2 = |a| ( 需分类讨论 ). 母题示例 1已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则 化简 | 1 a|+ 2 a的结果为 ( ). A.1 B. 1 C.12a D.2a1 2 若
13、a、 b 为实数，且满足 a2+ 2 b=0， 则 ba 的值为 ( ). A.2 B.0 C. 2 D. 以上都不对 3若aa 2 )3(-3 ，则a的取值范围是 ( ). A.a3 B.a3 C.a3 D.a3 4实数a、b在数轴上的位置如图所示， 请化简： 22 baa 【知识点九】关于非负数的小结。 1定义： 0 和正数（没有负数的事！） 2形式： |A| ；A 2； a。 3性质： 和为零，每个加数必为零。 与正数的和为正数。 有最小值，最小值为零。 4 地位： 与相反数、倒数、绝对值、数轴共 同成为认识和数的五大基本概念。 母题示例 1下列判断正确的是( ). A. 若 x=y,
14、则 x=y B. 若 xy, 则x y C. 若 x=(y) 2 , 则 x=y D. 若 x=y, 则 3 x= 3 y 2已知 x4+yx2=0, 那么 x=_, y=_. 3下列各式正确的是（）. A. 16 9 1= 4 5 B 4 1 4=2 2 1 C25.0=0.05 D49=（ 7） =7 4若12x有意义，则x 范围是 _. 5下列说法错误的是（）. 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。睿待 睿其智，德其行。 5 A.1的平方根是1 B.1 的立方根是 1 C.2是 2 的平方根D.0 的平方根0 【知识点十】立方根。 1定义： 一般地，如果一个
15、数x 的立方等于 a, 即 x 3=a, 那么，这个数 x 就叫做a 的立方根（也 叫做三次方根） 。 2. 符号： 每个数a（正、负、零）都只有一个 立方根，记作： “ 3 a” ，读作“三次根号a”. 3性质： 正数的立方根是正数；0 的立方根是 0；负数的立方根是负数。 33 ()aa； 33 aa 4开立方： 求一个数a 的立方根的运算叫做 开立方。 a 叫做被开方数。 5解方程： 33 xaxa若则。 母题示例 1. 判断题 : (1) 如果 b是 a 的三次幂，那么b 的立方根 是 a. ( ). (2) 任何正数都有两个立方根，它们互为相 反数 .( ). (3) 负数没有立方根
16、.( ) (4) 如果 a是 b 的立方根，那么ab0.( ). 2若一个数的立方根等于这个数的算术平方 根, 则这个数是 _. 3 3 27 1 =_，( 3 8) 3=_ . 4. 3 64的平方根是 _.64的立方根是 _. 5. 下列说法正确的是（）. A.064.0的立方根是0.4 B. 9的平方根是3 C.16 的立方根是 3 16 D.0.01 的立方根是0.000001 6 1 的立方根是 , 27 1 的立方根是 _,9 的立方根是 . 7. 求下列各数的立方根： 216 27 . 6 10. -125. 27 8 -0.064 8求下列各式中的x （1）125x 3=8 （
17、2) 3 2x= 216 （3） 3 2x=2 （4）27 3 1x64=0 【知识点十一】平方根与立方根的区别与联系。 1非负数才有平方根，负数没有平方根；任 何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号 与这个数的符号相同。 2正数有两个平方根，任何数都只有一个立 方根。 3求平方根和立方根的运算都属于开方运算。 4( 2 a) 2 = |a| ； 33 aa。 5(a ) 2=a (a 0) ； 33 ()aa。 母题示例 1. 下列说法正确的是（）. A.064.0的立方根是0.4 B.9的平方根是3 C.16 的立方根是4 D.0.01的立方根是0.1 2 8 的立方根与4 的平方根之和是 （） . A.0 B.4 C.0或 4 D.0或 4 3. 下列各组数中互为相反数的是（） . A.2 与 2 ( 2) B.2 与 3 8 C. 2 与 1 2 D.2与2 4下列说法中正确的是（） .