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1、第十九章含参量积分 教案目地： 1.掌握含参量正常积分地概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含 参量反常积分地概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分地形式及有关计算. 教案重点难点 ：本章地重点是含参量积分地性质及含参量反常积分地一致收敛 性地判定；难点是一致收敛性地判定.b5E2RGbCAP 教案时数 ：12 学时 1 含参量正常积分 一. 含参积分 :以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数地又一手段 .我们称由含参积分表达地函数为含参积分. 1. 含参积分地连续性 : Th19.5 若函数在矩形域上连续 , 则函数 在上连续 . ( 证 P172 Th19.8 若函数在
2、矩形域上连续 , 函数和 在上连续 , 则函数在上连续 . ( 证 P173p1EanqFDPw 2. 含参积分地可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连 续, 则函数在上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 . ( 证 P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连 续,函数和定义在, 值域在上 , 且可微 , 则含参积分 在上可微 , 且 DXDiTa9E3d . ( 证 P174 例 1 计算积分. P176. 例 2设函数在点地某邻域内连续 . 验证当充分小时 , 函数 地阶导数存在 , 且. P177. 2 含参反常积分 一. 含参无穷积分
3、 : 1.含参无穷积分 :函数定义在上 ( 可以是 无穷区间 . 以为例介绍含参无穷积分表示地函数 .RTCrpUDGiT 2. 含参无穷积分地一致收敛性: 逐点收敛 ( 或称点态收敛 地定义 : , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分 在( 关于一致收敛 .5PCzVD7HxA Th 19.5 ( Cauchy 收敛准则 积分在上一致收 敛, 对成立 . 例 1 证明含参量非正常积分在上一致收敛 , 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 jLBHrnAILg 3. 含参无穷积分与函数项级数地关系: Th 19.
4、6 积分在上一致收敛 , 对任一数列 , , 函数项级数在上一致 收敛. ( 证略 xHAQX74J0X 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: 1. Weierstrass M 判别法 : 设有函数 , 使在上有 . 若积分, 则积分在一致收敛 . 例 2 证明含参无穷积分在内一致收敛 . P182 2. Dirichlet判别法和 Abel 判别法 : P182 三. 含参无穷积分地解读性质 : 含参无穷积分地解读性质实指由其所表达地函数 地解读性质 . 1. 连续性 : 积分号下取极限定理 . Th 19.7 设函数在上连续 . 若积分 在上一致收敛 , 则函数在上连续 . ( 化为级 数进
5、行证明或直接证明 LDAYtRyKfE 推论在 Th.7 地条件下 , 对, 有 2. 可微性 : 积分号下求导定理 . Th 19.8 设函数和在上连续 . 若积分 在上收敛 , 积分在一致收敛 . 则函 数在上可微 ,且. 3. 可积性 : 积分换序定理 . Th 19.9 设函数在上连续 . 若积分 在上一致收敛 , 则函数在上可积 , 且有 . 例 3 计算积分 P186 四.含参瑕积分简介 : 3 Euler积分 本节介绍用含参广义积分表达地两个特殊函数 , 即和. 它们统 称为 Euler 积分. 在积分计算等方面 , 它们是很有用地两个特殊函数.Zzz6ZB2Ltk 一. Gam
6、ma函数 Euler 第二型积分： 1. Gamma函数: 考虑无穷限含参积分 , 当时, 点还是该积分地瑕点 . 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . : 时为正常积分 .时, .利用非负函数积地 Cauchy 判别法 , 注意到时积分 收敛 . (易见时, 仍用 Cauchy 判别法判得积分发散 . 因此, 时积分 收敛 .dvzfvkwMI1 : 对R 成立,.因此积分对 R 收敛. 综上 , 时积分收敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分 .Euler 第二型积分定义了内地一个函数 , 称该函数为 Gamma函数, 记为 ,即 rqyn14ZNXI =, . 函数是一个很有用地
7、特殊函数 . 2. 函数地连续性和可导性 : 在区间内非一致收敛 . 这是因为时积分发散 . 这里利用了 下面地结果 : 若含参广义积分在内收敛 , 但在点发散, 则积分在 内非一致收敛 .EmxvxOtOco 但在区间内闭一致收敛 .即在任何上 , 一 致收敛 . 因为时, 对积分, 有, 而积分收 敛. 对积分, , 而积分收敛. 由 M 判法 , 它们都一 致收敛 , 积分在区间上一致收敛 . 作类似地讨论 , 可得积分也在区间内闭一致收敛 . 于是可得如下结论 : 地连续性 : 在区间内连续 . 地可导性 : 在区间内可导 , 且 . 同理可得 : 在区间内任意阶可导 , 且 . 3.
8、 凸性与极值 : , 在区间内严格下凸 . ( 参下段 , 在区间内唯一地极限小值点 ( 亦 为最小值点 介于 1 与 2 之间 . 4. 地递推公式函数表 : 地递推公式 : . 证 . . 于是, 利用递推公式得 : , , , , , 一般地有. 可见 , 在上, 正是正整数阶乘地表达式 . 倘定义, 易见对 ,该定义是有意义地 . 因此, 可视为内实数地阶乘 . 这样 一来, 我们很自然地把正整数地阶乘延拓到了内地所有实数上 , 于是, 自然就有, 可见在初等数学中规定是很合理 地.SixE2yXPq5 函数表 : 很多繁杂地积分计算问题可化为函数来处理 . 人们仿三角函 数表、对数表
9、等函数表 , 制订了函数表供查 . 由函数地递推公式可见 , 有 了函数在内地值, 即可对, 求得地值. 通常把 内函数地某些近似值制成表, 称这样地表为函数表也有在 内编制地函数表 . 6ewMyirQFL 5. 函数地延拓 : 时, 该式右端在时也有意 义 . 用其作为时地定义 , 即把延拓到了 内.时, 依式, 利用延拓后地, 又可把延拓到 内 .kavU42VRUs 依此 , 可把延拓到内除去地所有点 . 经过如此延拓后地地图象如 P192 图表 19 2. 例 1 求, , . ( 查表得. 解 . , . 6. 函数地其他形式和一个特殊值: 某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为
10、函数 . 倘能如此 , 可查 函数表求得该积分地值 . 常见变形有 : 令, 有=, 因此, , . 令. 注意到 P7 地结果, 得地一个特殊值 . 令, 得. 取, 得 . 例 2 计算积分, 其中. 解 I. 二. Beta 函数 Euler 第一型积分： 1 Beta 函数及其连续性： 称( 含有两个参数地 含参积分为 Euler 第 一型积分 . 当和中至少有一个小于1 时, 该积分为瑕积分 . 下证对 , 该积分收敛 . 由于时点和均为瑕点 . 故把积分 分成和考虑.y6v3ALoS89 : 时为正常积分。时, 点为瑕点 . 由被积函数非负 , 和, ( 由 Cauchy 判法 积
11、分收敛 . ( 易见时积分发散 . : 时为正常积分。时, 点为瑕点 . 由被积函数非负 , 和, ( 由 Cauchy 判法 积分收敛 . ( 易见时积分发散 . 综上, 时积分收敛. 设 D, 于是, 积分定义了 D 内地一个二元函数 . 称该函数为 Beta 函数, 记为 , 即 = 不难验证 , 函数在 D 内闭一致收敛 . 又被积函数在 D 内连续 , 因此 , 函数是 D 内地二元连续函数 . 2. 函数地对称性 : . 证= . 由于函数地两个变元是对称地 , 因此, 其中一个变元具有地性质另一个 变元自然也具有 . 3. 递推公式 : . 证 , 而 , 代入式, 有, 解得.
12、 由对称性 , 又有. 4. 函数地其他形式 : 令, 有 , 因此得, . 令, 可得 , . 特别地 , , . 令, 有=, 即, 令, 可得 . , . 三. 函数和函数地关系 : 函数和函数之间有关系式 , 以下只就和取正整数值地情况给予证明. 和取正实数值时 , 证明用到 函数地变形和二重无穷积分地换序. 证反复应用函数地递推公式 , 有 , 而 . 特别地 , 且或时, 由于, 就有 . 余元公式函数与三角函数地关系： 对,有 . 该公式地证明可参阅 : , 微积分学教程 Vol 2 第 3 分册, 利用余 元公式 , 只要编制出时地函数表 , 再利用三角函数表 , 即可对 , 查表求得地近似值 . M2ub6vSTnP 四.利用 Euler 积分计算积分 : 例 3 利用余元公式计算. 解, . 例 4 求积分. 解令, 有 I . 例 5 计算积分. 解, 该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛 ,把该积 分化为函数在其定义域内地值 , 即判得其收敛 . 0YujCfmUCw I . 例 6 , 求积分 , 其中 V : . 解 . 而 . 因此 , .