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1、1 空间几何体的表面积与体积 一、选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分 ) 1. 长方体的三个相邻面的表面积分别为2,3,6 ，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则 这 个 球的表 面积为 ( ) (A) 7 2 (B)56 (C)14 (D)64 来源 :数理化网 2.( 预测题 ) 如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)9 3.(20xx 威海模拟 ) 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于 ( ) (A)3 (B)2 (C)23 (D)6 4. 在矩形 ABCD 中， AB 4，BC 3，沿 AC将矩形 AB
2、CD折成一个直二面角BAC D ，则四面 体 ABCD 的外接球的体积为( ) (A) 125 12 (B) 125 9 (C) 125 6 (D) 125 3 5. 由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的主视图、左视 图、俯视图相同如图所示，其中视图中四边形ABCD 是边长为1 的正方形，则该几何体的表 面积为 ( ) ( A)3 (B)23 (C)33 (D)43 6.( 易错题 ) 某几何体的三视图如图所示，当ab 取最大值时，这个几何体的体积为( ) (A) 1 6 (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 1 2 二、填空题 ( 每小题 6 分，共 18 分) 来源: 7.(2
3、0xx 济南模拟 ) 若边长为5 cm的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从点 E沿圆柱的侧面 到相对顶点G的最短距离是cm. 8. 圆锥的全面积为15，侧面展开图的圆心角为60，则该圆锥的体积为. 9.(20xx 德州模拟 ) 一个空间几何体的三视图如图所示，其主视图、俯视图、左视图均为 等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是. 三、解答题 ( 每小题 15 分，共 30 分) 10. 如图，已知某几何体的三视图如下( 单位： cm). 来源: (1) 画出这个几何体的直观图( 不要求写画法) ； (2) 求这个几何体的表面积及体积. 来源: 11. 如图，已知平行四边形A
4、BCD 中，BC2，BD CD ，四边形ADEF为正方 形，平面ADEF 平面 ABCD ，G ，H分别是 DF，BE的中点 . 记 CD x，V(x) 表示四棱锥FABCD 的体积 . (1) 求 V(x) 的表达式； (2) 求 V(x) 的最大值 . 【探究创新】 (16 分) 如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中， AD AA1 1，AB1 ，小蚂蚁从点A沿长方体的表 面爬到点C1，所爬的最短路程为22. (1) 求 AB的长度 . (2) 求该长方体外接球的表面积. 来源 : 答案解析 1. 【解析】 选 C. 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则 ab2 bc3
5、 ac6 ，得 a 2 b 1 c 3 ，来源 : 令球的半径为R，则 (2R) 222123214， R27 2， S球4R 214. 【变式备选】 设三棱锥的3 条 侧棱两两垂直，其长度分别为2、4、4，则其外接球的表面积 为( ) (A)48 (B)36 (C)32 (D)12 【解析】 选 B.构造长方体解题，设外接球半径为R，则 (2R) 222424236，R29， S球4R 236. 2. 【解析】 选 D. 由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为2高为 3 的圆柱中间挖去一 个底面半径为1 的等高圆柱后余下的部分，所以，其体积为 (2 212) 39. 【变式备选】 一个空间
6、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) (A) 6 5 cm 3 (B)3 cm 3 (C) 2 3 cm 3 (D)7 3 cm 3 【解析】 选 D.由三视图可知，此几何体为底面半径为1 cm、高为 3 cm的圆柱上部去掉一个 半径为 1 cm 的半球，所以其体积为 Vr 2h2 3r 3 32 3 7 3(cm 3). 3. 【解析】 选 D. 由主视图还原实物图知该几何体是高是1，底面边长是2 的正三棱柱， S侧 213 6. 4. 【解析】 选 C. 由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半 径为 AC长度的一半，则V球 4 3( 5 2) 312
7、5 6 . 5. 【解题指南】由三视图得到几何体的直观图是解题的关键. 【解析】 选 B.由题意得该几何体中正四棱锥的侧棱长为1，底面正方形的对角线长为2， 故底面正方形的边长为1，所以几何体的表面积为 8( 3 4 1 2 ) 23. 6. 【解题指南】构造出关于a，b 的关系式，利用基本不等式求最值. 【解析】 选 D.由题意知，该几何体的直观图如图所示，且AC 6，BD 1，BC b，AB a. 设 CD x，AD y， 则 x 2y26， x2 1b2， y 21a2，消去 x2，y2 得 a 2b28(a b) 2 2 ， 所以 a b4，当且仅当a b2 时等号成立，此时 x3，y
8、3，所以 V 1 3 1 21 33 1 2. 【误区警示】 解答本题常见的错误是忽视ab 取最大值这一条件. 7. 【解析】 圆柱的侧面展开图如图所示，展开后EF 1 22( 5 2) 5 2 . EG 5 2(5 2) 25 2 24(cm). 答案： 5 2 24 8. 【解析】 设底面圆的半径为r，母线长为a，则侧面积为 1 2(2 r)a ra. 由题意得 ra r 2 15 ra 1 6a 2 ，解得 r 215 7 a 23615 7 ，故圆锥的高ha 2r25 3，所以体 积为 V 1 3r 2h1 3 15 7 5325 3 7 . 答案： 25 7 3 9. 【解析】 根据
9、已知的三视图可知空间几何体是一个三棱锥，如图所示三棱锥 PABC ，且 PA BA，PA AC ，AB AC ， PA AB AC 1，可以看作是棱长为1 的正方体的一 角，其外接球就是棱长为1 的正方体的外接球，半径为 3 2 ， S 4 R 23. 答案： 3 10. 【解析】 (1) 这个几何体的直观图如图所示. (2) 这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体 . 由 PA1PD12， A1D1AD 2，可得 PA1 PD1. 故所求几何体的表面积 S52 222 22 1 2( 2) 2 2242 (cm 2) ， 所求几何体的体积 V2 31 2( 2)
10、 2210(cm3). 来源: 11. 【解题指南】 利用体积公式得到V(x) 的表达式，然后根据基本不等式或函数的知识求最 大值 . 来源 : 【解析】 (1) 平面 ADEF 平面 ABCD ，交线为AD且 FAAD ， FA平面 ABCD. BD CD ， BC 2，CD x， FA2，BD 4x 2(01， x 22x2x2 22x 24，故从点 A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为 x 24. 由题意得x 24 2 2，解得 x2. 即 AB的长度为2. (2) 设长方体外接球的半径为R，则 (2R) 21212226， R 23 2， S 表4R 26. 即该长方体外接球的表面积为6.