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1、1 1 第 14 章 全等三角形 一、选择题 1如图， AD是 ABC的角平分线，DE AC ，垂足为E，BFAC交 ED的延长线于点F，若 BC恰好平 分 ABF ，AE=2BF 给出下列四个结论：DE=DF ；DB=DC ；AD BC ；AC=3BF ，其中正确的结论 共有（） A4 个B3 个C2 个D1 个 2如图，点A，B，C在一条直线上，ABD ， BCE均为等边三角形，连接AE和 CD ，AE分别交 CD ， BD于点 M ，P ， CD交 BE于点 Q ，连接 PQ ，BM ，下面结论： ABE DBC ； DMA=60 ；BPQ为等边三角形； MB 平分 AMC ， 其中结论
2、正确的有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 3如图，点E， F在 AC上， AD=BC ， DF=BE ，要使 ADF CBE ，还需要添加的一个条件是（） A A=C B D= B CAD BC D DFBE 二、填空题 4如图，在 ABC中，已知 1=2，BE=CD ，AB=5 ，AE=2 ，则 CE= 5如图，在 O的内接四边形ABCD 中， AB=3 ，AD=5 ，BAD=60 ，点C为弧 BD的中点，则AC的 长是 6如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O， OEF是正三角形，且AE=BF ，则 AOE= 三、解答题 7如图，在正方形ABCD 中， G是 BC上任意一点，连接A
3、G ，DE AG于 E，BFDE交 AG于 F，探究 线段 AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由 8已知：如图，在ABC中， DE 、DF是 ABC的中位线，连接EF、AD ，其交点为O求证： （1） CDE DBF ； （2）OA=OD 9 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图， 四边形 ABCD 是一个筝形， 其中 AB=CB ， AD=CD 对 角线 AC ，BD相交于点O，OE AB ，OF CB ，垂足分别是E，F求证 OE=OF 10如图，在 ABD和 FEC中，点 B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE ，BC=DE ， B=E求证： ADB= FCE 11已知
4、 ABC ，AB=AC ，将 ABC沿 BC方向平移得到DEF （1）如图 1，连接 BD ，AF，则 BD AF（填“”、“”或“=”）； （2）如图 2，M为 AB边上一点，过M作 BC的平行线MN分别交边AC ，DE，DF于点 G ， H ，N，连接 BH ，GF，求证： BH=GF 12如图， CA=CD ， B=E， BCE= ACD 求证： AB=DE 13如图， ABC是等腰直角三角形， ACB=90 ，分别以AB ，AC为直角边向外作等腰直角ABD 和等腰直角 ACE ，G为 BD的中点，连接CG ，BE ，CD ，BE与 CD交于点 F （1）判断四边形ACGD 的形状，并说
5、明理由 （2）求证： BE=CD ， BE CD 14如图，点C，E，F， B在同一直线上，点A， D在 BC异侧， AB CD ，AE=DF ， A=D （1）求证： AB=CD （2）若 AB=CF ，B=30 ，求D的度数 15我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图， 四边形 ABCD 是一个筝形， 其中 AB=CB ， AD=CD ，请你写出与筝形ABCD 的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论 16如图，在 ? ABCD中，点 E，F 在 AC上，且 ABE= CDF ，求证： BE=DF 第 14 章 全等三角形 参考答案与试题解析 一、选择题 1如图， AD是 AB
6、C的角平分线，DE AC ，垂足为E，BFAC交 ED的延长线于点F，若 BC恰好平 分 ABF ，AE=2BF 给出下列四个结论：DE=DF ；DB=DC ；AD BC ；AC=3BF ，其中正确的结论 共有（） A4 个B3 个C2 个D1 个 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD ，ADBC ，故正确；通过CDE DBF ， 得到 DE=DF ，CE=BF ，故正确 【解答】解：BF AC ， C=CBF ， BC平分 ABF ， ABC= CBF ， C=ABC ， AB=AC ， AD是 ABC的角
7、平分线， BD=CD ，AD BC ，故正确， 在 CDE与 DBF中， ， CDE DBF ， DE=DF ，CE=BF ，故正确； AE=2BF ， AC=3BF ，故正确 故选 A 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角 形的性质三线合一是解题的关键 2如图，点A，B，C在一条直线上，ABD ， BCE均为等边三角形，连接AE和 CD ，AE分别交 CD ， BD于点 M ，P ， CD交 BE于点 Q ，连接 PQ ，BM ，下面结论： ABE DBC ； DMA=60 ；BPQ为等边三角形； MB 平分 AMC ， 其中结论正确的有（）
8、 A1 个B2 个C3 个D4 个 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】由等边三角形的性质得出AB=DB ， ABD= CBE=60 ， BE=BC ，得出 ABE= DBC ，由 SAS 即可证出 ABE DBC ； 由 ABE DBC ，得出 BAE= BDC ，根据三角形外角的性质得出DMA=60 ； 由 ASA证明 ABP DBQ ，得出对应边相等BP=BQ ，即可得出BPQ为等边三角形； 证明 P、 B、Q 、M四点共圆，由圆周角定理得出BMP= BMQ ，即 MB平分 AMC 【解答】解：ABD 、 BCE为等边三角形， AB=DB ，
9、ABD= CBE=60 ， BE=BC ， ABE= DBC ，PBQ=60 ， 在 ABE和 DBC中， ABE DBC （SAS ）， 正确； ABE DBC ， BAE= BDC ， BDC+ B CD=180 6060=60， DMA= BAE+ BCD= BDC+ BCD=60 ， 正确； 在 ABP和 DBQ中， ABP DBQ （ASA ）， BP=BQ ， BPQ为等边三角形， 正确； DMA=60 ， AMC=120 ， AMC+ PBQ=180 ， P、B、Q 、M四点共圆， BP=BQ ， ， BMP= BMQ ， 即 MB平分 AMC ； 正确； 综上所述：正确的结论有
10、4 个； 故选： D 【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理； 熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 3如图，点E， F在 AC上， AD=BC ， DF=BE ，要使 ADF CBE ，还需要添加的一个条件是（） A A=C B D= B CAD BC D DFBE 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当D=B时， ADF CBE 【解答】解：当D=B时， 在 ADF和 CBE中 ， ADF CBE （SAS ）， 故选： B 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三
11、角形的判定方法是解题关键 二、填空题 4如图，在 ABC中，已知 1=2，BE=CD ，AB=5 ，AE=2 ，则 CE= 3 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】由已知条件易证ABE ACD ，再根据全等三角形的性质得出结论 【解答】解：ABE和 ACD中， ， ABE ACD （AAS ）， AD=AE=2 ，AC=AB=5 ， CE=BD=AB AD=3 ， 故答案为3 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键 5如图，在 O的内接四边形ABCD 中， AB=3 ，AD=5 ，BAD=60 ，点C为弧 BD的中点，则AC的 长是 【考点】全等三角形的判定与性
12、质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【专题】压轴题 【分析】 将 ACD绕点 C逆时针旋转120得 CBE ，根据旋转的性质得出E=CAD=30 ，BE=AD=5 ， AC=CE ，求出 A、 B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作 CE AB于 E，CFAD于 F，得出 E= CFD= CFA=90 ，推出=，求出 BAC= DAC ，BC=CD ，求出 CE=CF ，根据圆内接四边形 性质求出 D= CBE ，证 CBE CDF ，推出 BE=DF ，证 AEC AFC ，推出 AE=AF ，设 BE=DF=x ， 得出 5=x+3+x，求出 x，解直角三角形求出即可 【
13、解答】解：解法一、A、 B、C、D四点共圆， BAD=60 ， BCD=180 60=120， BAD=60 ， AC平分 BAD ， CAD= CAB=30 ， 如图 1， 将 ACD绕点 C逆时针旋转120得 CBE ， 则 E=CAD=30 ， BE=AD=5 ，AC=CE ， ABC+ EBC= （180 CAB+ ACB ）+（180 E BCE ）=180， A、B、E三点共线， 过 C作 CM AE于 M ， AC=CE ， AM=EM= （ 5+3）=4， 在 RtAMC 中， AC=； 解法二、过C作 CE AB于 E，CFAD于 F， 则 E=CFD= CFA=90 ， 点
14、 C为弧 BD的中点， =， BAC= DAC ，BC=CD ， CE AB ，CF AD ， CE=CF ， A、B、C、D四点共圆， D=CBE ， 在 CBE和 CDF中 CBE CDF ， BE=DF ， 在 AEC和 AFC中 AEC AFC ， AE=AF ， 设 BE=DF=x ， AB=3 ，AD=5 ， AE=AF=x+3 ， 5=x+3+x， 解得： x=1， 即 AE=4 ， AC=， 故答案为： 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形 的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中 6如图，正方
15、形ABCD 的对角线相交于点O， OEF是正三角形，且AE=BF ，则 AOE= 15 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质 【分析】根据正方形、等边三角形的性质，可得AO=BO ，OE=OF ，根据 SSS可得 AOE BOF ，根据 全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案 【解答】解：四边形ABCD是正方形， OA=OB ，AOB=90 OEF是正三角形， OE=OF ，EOF=60 在 AOE和 BOF中， ， AOE BOF （SSS ）， AOE= BOF ， AOE= （ AOB EOF ） 2 =（9060） 2 =15， 故答案为15
16、 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用SSS证明三角形 全等得出 AOE= BOF是解题的关键 三、解答题 7如图，在正方形ABCD 中， G是 BC上任意一点，连接AG ，DE AG于 E，BFDE交 AG于 F，探究 线段 AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD ，DAB= ABC=90 ， 根据余角的性质，可得ADE= BAF ， 根据全等三角形的判定与性质，可得BF与 AE的关系，再根据等量代换，可得答案 【解答】解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系
17、AF=BF+EF ，理由如下： 四边形ABCD 是正方形， AB=AD ， DAB= ABC=90 DE AG于 E，BF DE交 AG于 F， AED= DEF= AFB=90 ， ADE+ DAE=90 ， DAE+ BAF=90 ， ADE= BAF 在 ABF和 DAE中， ABF DAE （ AAS ）， BF=AE AF=AE+EF ， AF=BF+EF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的 判定与性质，等量代换 8已知：如图，在ABC中， DE 、DF是 ABC的中位线，连接EF、AD ，其交点为O求证： （1） CDE DBF
18、； （2）OA=OD 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【专题】证明题 【分析】（ 1）根据三角形中位线，可得DF与 CE的关系， DB与 DC的关系，根据SAS ，可得答案； （2）根据三角形的中位线，可得DF与 AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案 【解答】证明：（1） DE 、 DF是 ABC的中位线， DF=CE ，DF CE ，DB=DC DF CE ， C=BDF 在 CDE和 DBF中， CDE DBF （ SAS ）； （2） DE 、DF是 ABC的中位线， DF=AE ，DF AE ， 四边形DEAF是平行四边形， EF与 AD交于 O点， AO
19、=OD 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判 定；（ 2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质 9 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”如图， 四边形 ABCD 是一个筝形， 其中 AB=CB ， AD=CD 对 角线 AC ，BD相交于点O，OE AB ，OF CB ，垂足分别是E，F求证 OE=OF 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题；新定义 【分析】欲证明OE=OF ，只需推知BD平分 ABC ，所以通过全等三角形ABD CBD （SSS ）的对应 角相等得到 ABD= CBD ，问题就迎刃而解了 【解答】证
20、明：在ABD和 CBD中， ABD CBD （SSS ）， ABD= CBD ， BD平分 ABC 又 OE AB ，OF CB， OE=OF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公 共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形 10庆）如图，在ABD和 FEC中，点 B，C，D，E在同一直线上，且AB=FE ，BC=DE ， B=E 求 证： ADB= FCE 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】 根据等式的性质得出BD=CE ，再利用 SAS得出：ABD与 FEC全等，进而得出 ADB= FCE 【解答】证明：BC=DE ，
21、 BC+CD=DE+CD， 即 BD=CE ， 在 ABD与 FEC中， ， ABD FEC （SAS ）， ADB= FCE 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE ，再利用全等三角 形的判定和性质解答 11已知 ABC ，AB=AC ，将 ABC沿 BC方向平移得到DEF （1）如图 1，连接 BD ，AF，则 BD = AF （填“”、“”或“=”）； （2）如图 2，M为 AB边上一点，过M作 BC的平行线MN分别交边AC ，DE，DF于点 G ， H ，N，连接 BH ，GF，求证： BH=GF 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平
22、移的性质 【专题】证明题 【分析】（ 1）根据等腰三角形的性质，可得ABC与 ACB的关系，根据平移的性质，可得AC与 DF的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得GM 与 HN的关系， BM与 FN的关系，根据全等三角形的判 定与性质，可得答案 【解答】（ 1）解：由AB=AC ， 得 ABC=ACB 由 ABC沿 BC方向平移得到DEF ， 得 DF=AC ， DFE= ACB 在 ABF和 DFB中， ， ABF DFB （SAS ）， BD=AF ， 故答案为： BD=AF ； （2）证明：如图： ， MN BF， AMG ABC ， DH
23、N DEF ， =， =， MG=HN，MB=NF 在 BMH和 FNG中， ， BMH FNG （SAS ）， BH=FG 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了平移的性质，相似三角形的判定与性质，全 等三角形的判定与性质 12如图， CA=CD ， B=E， BCE= ACD 求证： AB=DE 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】如图，首先证明ACB= DCE ，这是解决问题的关键性结论；然后运用AAS公理证明 ABC DEC ，即可解决问题 【解答】解：如图，BCE= ACD ， ACB= DCE ；在 ABC与 DEC中， ， ABC DEC （AAS
24、）， AB=DE 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固掌握全等三角 形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键 13如图， ABC是等腰直角三角形， ACB=90 ，分别以AB ，AC为直角边向外作等腰直角ABD 和等腰直角 ACE ，G为 BD的中点，连接CG ，BE ，CD ，BE与 CD交于点 F （1）判断四边形ACGD 的形状，并说明理由 （2）求证： BE=CD ， BE CD 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定 【专题】证明题 【分析】 （1） 利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ， 因为 G为 BD的中
25、点，可得 BG=BC ， 由CGB=45 ， ADB=45得 ADCG ，由 CBD+ ACB=180 ，得AC BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形； （2） 利用全等三角形的判定证得DAC BAE ， 由全等三角形的性质得BE=CD ； 首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得BCE CAD ，易得 CBE= ACD ，由 ACB=90 ， 易得 CFB=90 ，得出结论 【解答】（ 1）解： ABC是等腰直角三角形， ACB=90 ， AB=BC ， ABD和 ACE均为等腰直角三角形， BD=BC=2BC， G为 BD的中点， BG= BD=BC ， CB
26、G为等腰直角三角形， CGB=45 ， ADB=45 ， AD CG ， ABD=45 ， ABC=45 CBD=90 ， ACB=90 ， CBD+ ACB=180 ， AC BD ， 四边形ACGD 为平行四边形； （2）证明：EAB= EAC+ CAB=90 +45=135， CAD= DAB+ BAC=90 +45=135， EAB= CAD ， 在 DAC与 BAE中， ， DAC BAE ， BE=CD ； EAC= BCA=90 ， EA=AC=BC， 四边形ABCE为平行四边形， CE=AB=AD ， 在 BCE与 CAD中， ， BCE CAD ， CBE= ACD ， AC
27、D+ BCD=90 ， CBE+ BCD=90 ， CFB=90 ， 即 BE CD 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综 合运用各种定理是解答此题的关键 14如图，点C，E，F， B在同一直线上，点A， D在 BC异侧， AB CD ，AE=DF ， A=D （1）求证： AB=CD （2）若 AB=CF ，B=30 ，求D的度数 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（ 1）易证得 ABE CDF ，即可得AB=CD ； （2）易证得 ABE CDF ，即可得AB=CD ，又由 AB=CF ，B=30 ，即可证得ABE是等腰三角形， 解答
28、即可 【解答】证明：（1） AB CD ， B=C， 在 ABE和 CDF中， ， ABE CDF （AAS ）， AB=CD ； （2） ABE CDF ， AB=CD ，BE=CF ， AB=CF ，B=30 ， AB=BE ， ABE是等腰三角形， D= 【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据AAS证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解 答 15我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”如图， 四边形 ABCD 是一个筝形， 其中 AB=CB ， AD=CD ，请你写出与筝形ABCD 的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】计算题 【分
29、析】 AC与 BD垂直，理由为：利用SSS得到三角形ABD与三角形CBD全等，利用全等三角形对 应角相等得到BD为角平分线，利用三线合一性质即可得证 【解答】解： AC BD，理由为： 在 ABD和 CBD中， ， ABD CBD （SSS ）， ABO= CBO ， AB=CB ， BD AC 【点评】 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 16如图，在 ? ABCD中，点 E，F 在 AC上，且 ABE= CDF ，求证： BE=DF 【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【专题】证明题 【分析】根据平行四边形的性质，证明AB=CD ，AB CD ，进而证明 BAC= DCF ，根据 ASA即可证明 ABE CDF ，根据全等三角形的对应边相等即可证明 【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形， AB=CD ，AB CD ， BAE= DCF ， ABE和 CDF中， ， ABE CDF ， BE=DF 【点评】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明