新版江苏省常州高级中学高考数学模拟试卷及答案.pdf

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1、新版 - 新版数学高考复习资料 - 新版 1 1 江苏省常州高级中学20xx 年高考数学模拟试卷 命题：江苏省常州高级中学 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位 置上 . 1 已知数集 1 02Mx， 中有 3 个元素，则实数x不能取的值构成的集合为 2 已知 x 是实数， xi 1i 是纯虚数，则x 的值是 3 已知函数( ) a f x x 在1x处的导数为2，则实数a的值是 4 根据国家质量监督检验检疫局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验 (GB195222004) 中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车非醉酒驾车”的临

2、界值 为 20mg/100ml； “醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml某地区交通执法部门统计了5 月份的执法记录数据： 根据此数据，可估计该地区5 月份“饮酒驾车”发生的频率等于 5若 不 等 式 222 22xxymxy对 于 一 切 正 数, x y恒 成 立 ， 则 实 数m的 最 小 值 为 6在平面直角坐标系xOy 中， “ 直线 yxb ， bR 与曲线 2 1xy相切 ” 的充要条件 是“” 7 如图， i N 表示第 i 个学生的学号，iG 表示第 i 个学生的成绩， 已知学 号在 110 的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、 361

3、、345、337，则打印出的第5 组数据是 8 在 ABC 中，若 tan:A tan: tan1: 2:3BC ，则A 9 已 知 ABC中 ， AB边 上 的 高 与AB边 的 长 相 等 ， 则 2 ACBCAB BCACBC AC 的最大值为 Y 开始 1i 360 i G ii N G打印， 1ii N 50i 结束 Y N （第 7 题） 血液酒精含量 （单位： mg/100ml）020 2040 4060 6080 80100 人数180 11 5 2 2 10 设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 11 已知平面向量a， b，c满足1a，2b，a， b的夹角等 于 3 ，

4、且 () ()0acbc，则 c 的取值范围是 12在平面直角坐标系xOy 中，过点 11 ( 0)A x，、 22 ( 0)A x ，分别作 x 轴的垂线与抛物线 2 2xy 分别交于点 12 AA 、，直线 12 A A 与 x 轴交于点 33 ( 0)A x，这样就称 12 xx、确定了 3 x同样， 可由 23 xx、确定 4 x，若 1 2x， 2 3x，则 5 x 13 定义：minx， y 为实数x，y 中较小的数已知 22 min 4 b ha ab ，其中a，b 均 为正实数，则h 的最大值是 14在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆 2 2 2

5、1 (1) x ya a 上， 其中0 1A （ ，）为直角顶点若该三角形的面积的最大值为 27 8 ，则实数 a 的值为 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15 已知 ABC内接于单位圆（半径为 1个单位长度的圆） ，且 (1tan)(1tan)2AB （1）求角 C 的大小；（2）求 ABC 面积的最大值 16 如图，在四面体ABCD 中， ABACDBDC ，点 E 是 BC 的中点，点F 在线段 AC 上，且 AF AC （1）若 EF平面 ABD，求实数的值； （2）求证：平面BCD平面 AED （第 16

6、 题图） E A B C D F 17 如图甲，一个正方体魔方由27 个单位（长度为1 个单位长度）小立方体组成，把魔方 中间的一层 1111EFGHE FG H 转动，如图乙，设的对边长为 x （1）试用表示x； （2）求魔方增加的表面积的最大值 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为F，右准线为l （1）过点F作直线交椭圆C于点,A B，又直线OA交l于点T, 若2OTOA，求线段AB 的长； （2）已知点M的坐标为 000 ,0xyx，直线OM交直线 0 0 1 2 x x y y于点N，且和椭圆 C的一个交点为点P，是否存在实数，使得 2 ?O

7、POMON，若存在，求出实数； 若不存在，请说明理由 E F G H 1 E 1 F （图甲） 1 G 1H E F G G E NM x F H （图乙） H y x l A F B O T 第 18题 图 19已知函数 x aexf)(,axxglnln)(, 其中a为常数 ,且函数)(xfy和)(xgy 的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行 (1) 求此平行线间的距离； (2) 若存在 x使不等式 x xf mx )( 成立，求实数 m的取值范围； (3) 对于函数)(xfy和)(xgy公共定义域中的任意实数 0 x，我们把)()( 00 xgxf的 值称为两函数在 0 x处的偏差

8、. 求证 : 函数)(xfy和)(xgy在其公共定义域内的所有偏 差都大于2 . 资. 源. 网 20已知数列 n a满足 * 1 ()aaaN， * 121 0 (01) nn aaapappnN， (1) 求数列 n a的通项公式 n a ； (2) 若对每一个正整数k ，若将123 , kkk aaa按从小到大的顺序排列后, 此三项均能构成等 差数列 , 且公差为 k d. 求p的值及对应的数列 k d 记 k S为数列 k d的前k项和，问是否存在a, 使得30 k S对任意正整数k恒成立 ?若存 在, 求出a的最大值；若不存在, 请说明理由 试题（附加题） 21 【选做题】 本题包括

9、A、 B、 C、 D四小题，请选定其中两题， 并在相应的答题区域内作答 若 多做， 则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 A （几何证明选讲） 如图，已知AP切圆 O 于点P， AC 交圆 O 于B， C 两点， O C A P M B （第 21A题） 点M是 BC 的中点求证：OAMAPM 2 B （矩阵与变换） 将曲线 C ：1xy绕坐标原点逆时针旋转 4 后，得到的曲线C , 求曲线 C 的方程 C （极坐标与参数方程） 在平面直角坐标系xOy中，求直线 12 12 xt yt ，（t 为参数）被圆 3cos 3sin x y ，（ 为参 数）截得的弦长 D

10、（不等式选讲） 已知 x，y，z 均为正数求证： 111 y xz yzzxxyxyz 【必做题】第22、23 题，每小题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 考察 a b， 二数，满足不等式01 01ab， 于是 (1)(1)11abababab 一个自然的推广引导我们去猜想下面的命题： 若2n ，且 12 01 01 01 n aaa， 1212 (1)(1)(1)1 nn aaaaa a 试用数学归纳法证明上述命题 23某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10现对 50 只鸡进行抽血化验，以期查出 所有病鸡设计了如下方案：按n

11、（ 150n ，且 n 是 50 的约数）只鸡一组平均分组， 并把同组的n 只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题， 即对该组的n 只鸡逐只化 验记X为某一组中病鸡的只数 （1）若 n5，求随机变量X的概率分布和数学期望； （2）为了减少化验次数的期望值，试确定n 的大小 参 考 答 案 1.1 2，； 2. 1 ； 3. 2； 4. 0.09 ； 5. 1； 6. 2b； 7. 8361，； 8. 4 ；9. 22 ； 10. 4 3 27 ；11. 7373 22 ，； 12. 1 2 ； 13. 1 2 ；14. 3 答案解析 10. 法1设 正 四 棱锥 的 底面 边 长为x， 则

12、体积 2 2422 1 12 326 x Vxxx，记 2 2yt t ， 0t，利用导数可 求得当 4 3 t时， max 32 27 y，此时 max 4 3 27 V； 法2设 正 四 棱 锥 的 侧 棱 与 底 面 所 成 角 为， 则 2212 2cossin1sinsin 33 V，0，记 2 101yttt，利用导数可求得当 3 3 t时， max 2 3 9 y，此时 max 4 3 27 V； 11. 如图，设 abcOAOBOC， uu ruu u ruuu r ABC中，由余弦定理得3AB uu u r ， 由 ( ) ()0acbc知，点 C 的轨迹是以AB为直径的圆M

13、， 且 7 2 OM =，故12 7373 22 cOCOC ， uuu ruuu u r ； 12. 设 21 2 nnn Axx， 、 2 111 1 2 nnn Axx ， ，则割线 n A 1n A的方程为： 22 1 2 1 11 122 () 2 nn nn nn xx yxxx xx， 令0y得 1 2 1 nn n nn xx x xx， 即 21 111 nnn xxx ， 不 难 得 到 345 15171 2 66xxx ，； O M 1 C 13. 易得 2 22 111 44 44 2 ab h ab abab ba ba ，所以 1 2 h（当且仅当 4ab ba

14、时取等号）； 14.设 AB 的方程为：1(0)ykxk，则 AC 的方程为： 1 1yx k ，由 2 2 2 1 1 ykx x y a ， 得 2222 (1)20a kxa kx，解得 2 22 2 1 B a k x a k ， 用“ 1 k ”替换“ k ”得 2 22 2 C a k x ak ， 故 22 2 22222 221 11 1 a ka k ABkAC a kakk ， 所以 4 42 2222 224 2 1 2 2(1) 1 21 (1)() 1 ABC ak a kk k SAB AC a kak aka k ， 令 1 2tk k ，则 43 222 2 2

15、 (1)1 ABC aa S aa a t t （当且仅当 2 1 2 a t a 时等号成立） ， 由 3 2 27 8 1 a a 得 2 (3)(839)0aaa解得3a ，或 3297 16 a（舍去），所以3a 15命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算 求解 能力 （1）由 (1tan)(1tan)2AB得 tantan1tantanABA B ， 所以 tantan tan()1 1tantan AB AB AB ， （4 分） 故ABC中， AB， C（6 分） （2）由正弦定理得2 sin c ，即2c， （8 分） 由余弦定理得 22

16、22cosabab，即 22 22abab ， （10 分） 由 22 2222abababab得22ab， （当且仅当ab 时取等号） （ 12 分） 所以 2113 sin 22 Sab . （14 分） 16命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论 证能力 解 ： （ 1）因为 EF平面 ABD， 易得EF平面 ABC， 平面 ABC平面 ABDAB， 所以/EFAB ， （5 分） 又点 E 是 BC 的中点，点F 在线段 AC 上， （第 16 题图） E A B C D F 所以点 F 为 AC 的中点， 由 AF AC 得 1 2 ； （7 分

17、） （2）因为 ABACDBDC ，点 E 是 BC 的中点， 所以 BCAE ， BC DE ， （9 分） 又AEDEE， AEDE、平面 AED ， 所以 BC平面 AED， （12 分） 而 BC平面 BCD， 所以平面BCD平面 AED （14 分） 17 命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力 解： （1）由题意得3 sintan xx x， 解得 3sin 0 1sincos x， （ 6分） （2）魔方增加的表面积为 2 8 tan x S， 由（ 1）得 2 72sincos 0 (1sincos) S ， （10 分） 令sincos2 sin

18、1tt， 则 2 2 361 22 36 1361108722 1 (1)21 t S t t （当且仅当2t 即时等号成立） ， 答：当时，魔方增加的表面积最大为108722 （15 分） 18. 解： （1）由题意可知1 AF xxc ， 故将1 A x代入 2 2 1 2 x y， 可得 2 | 2 A y，从而2AB 6 分 （2）假设存在实数满足题意 由已知得 0 0 : y OMyx x 0 0 1 2 x x y y 椭圆C： 2 2 1 2 x y 由解得 0 22 00 2 2 N x x xy ， 0 22 00 2 2 N y y xy 由解得 2 2 0 22 00 2

19、 2 P x x xy ， 2 2 0 22 00 2 2 P y y xy 12 分 2222 2 220000 222222 000000 222() 222 PP xyxy OPxy xyxyxy ， 2222 0000 00 222222 000000 222() 222 NN xyxy OMONx xy y xyxyxy 故可得1满足题意16 分 19 （本题满分16 分） 解： （） x fxae ， 1 gx x ，y fx 的图像与坐标轴的交点为 0 , a ，y g x 的 图像与坐标轴的交点为a , 0 ，由题意得f0ga ，即 1 a a 又a 0， a 1。 x fxe

20、 ， g xln x ，函数yfx 和 yg x的图像在其坐标轴的交点处的切线 方程分别为：xy10 , xy10两平行切线间的距离为2 。 （）由 xm x fx 得 x xm x e ，故 x mxxe 在 x0 ,有解， 令 x h xxxe ，则 max mhx 。 当 x0时， m0 ； 当 x0时， xxx11 hx1exe1xe 2 x2 x ， x0 ， x11 x2x2 , e1 2 x2x ， x1 xe2 2x 故 x1 hx1xe0 2 x 即 x h xxxe 在区间0 ,上单调递减，故 max h xh 00， m0 即实数 m的取值范围为, 0。 （）解法一： 函

21、数 yfx 和 yg x 的偏差为： x F xfxg xeln x ， x0 , x1 Fxe x ，设xt为 x1 fxe0 x 的解，则当 x0 , t ，F x0； 当 xt ,， Fx0 ， F x 在 0 , t 单调递减，在t ,单调递增 ttt t min 1 F xeln telnet e f1e10 ， 1 fe20 2 ， 1 t1 2 故 1 t 2 min 111 F xetee2.252 222 即函数 yfx 和 yg x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2。 解法二： 由于函数 yfx 和 yg x 的偏差： x F xfxg xeln x ， x0 , 令 x

22、 1 Fxex ， x0 ,；令 2Fxxln x ， x0 , x 1 Fxe1， 2 11x Fx1 xx ， 1 Fx 在 0 ,单调递增， 2 Fx 在 0 ,1 单调 递减，在 1, 单调递增 11 FxF0 1， 22 FxF11， x 12 F xeln xFxFx2 即函数 yfx 和 yg x 在其其公共定义域内的所有偏差都大于2 20 （本题满分16 分） 解:( ) 因为 121 0 nn aaapa, 所以 2n时, 121 0 nn aaapa, 两 式 相 减 , 得 1 1 (2) n n ap n ap , 故 数 列 n a从 第 二 项 起 是 公 比 为

23、1p p 的 等 比 数 列 3 分 又当 n=1 时, 12 0apa, 解得 2 a a p , 从而 2 (1) 1 ()(2) nn a n aap n pp 5 分 (2) 由 (1) 得 11 123 111 (),() ,() kkk kkk apapap aaa pppppp , 1 若 1k a 为等差中项, 则 123 2 kkk aaa, 即 1 1 p p 或 1 2 p p , 解得 1 3 p 6 分 此时 1 12 3 ( 2),3 ( 2) kk kk aaaa ,所以 1 12 | 92 k kkk daaa 8 分 2 若 2k a 为等差中项 , 则 21

24、3 2 kkk aaa, 即 1 1 p p , 此时无解9 分 3 若 3k a为等差中项 , 则 312 2 kkk aaa, 即 1 1 p p 或 11 2 p p , 解得 2 3 p, 此时 11 13 3131 (),() 2222 kk kk aa aa, 所以 1 13 91 |() 82 k kkk a daa 11 分 综上所述 , 1 3 p, 1 92 k k da或 2 3 p, 1 91 () 82 k k a d12 分 1 当 1 3 p时,9 (21) k k Sa, 则由30 k S, 得 10 3(21) k a , 当3k时 , 10 1 3(21)

25、k , 所以必定有1a, 所以不存在这样的最大正整数14 分 2当 2 3 p时 , 91 (1( ) ) 42 k k a S, 则 由 30 k S , 得 40 1 3(1 () ) 2 k a , 因 为 4 04 0 1 3 3 ( 1() 2 k , 所 以13a满 足30 k S 恒 成立 ；但当14a时 , 存 在5k, 使 得 40 1 3(1 ( ) ) 2 k a即 30 k S , 所以此时满足题意的最大正整数13a16 分 21A命题立意：本题主要考查圆的有关知识，考查推理论证能力 解：连结 OP OM， 由AP切圆 O 于点 P，M是 BC 的中点得 2 APOAM

26、O， （5 分） 故 A MO P， ， ， 四点共圆，（ 8 分） 则 2 OAMAPMOPMAPM （10 分） B命题立意：本题主要考查矩阵的变换，考查运算求解能力 解：设1xy上的任意点(,)P xy在变换矩阵M作用下为( , )P x y ， 则 cos45sin45 sin45cos45 xx yy ， （5 分） 即 22 22 22 22 xxy yxy ， ， （8 分） 代入1xy得 2 2 1 22 y x （10 分） C命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力 解：将直线与圆的参数方程化为普通方程得20xy与 22 9xy， （6 分） 则圆心 (0 0)，到

27、直线20xy的距离为2 ， （8 分） 所以直线被圆截得的弦长为 2 2922 7 （10 分） D命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力 证明： 因为x，y，z均为正数，所以 12 y x yx y x yzzxzz ， （4 分） 同理得 22 y zzx zxxyxxyyzy ，（当且仅当xyz时，以上三式等号都成立） ， （6 分） 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 111 y xz yzzxxyxyz （10 分） 22命题立意：本题主要考查数学归纳法，推理论证能力 证明： 当2n时，因为 1201 01aa，所以 12121212 (1)(1)11

28、aaaaaaaa ，（ 2 分） 当2n时，假设当 nk 时， 1212 (1)(1)(1)1 kk aaaaaa 成立， （4 分） 则当1nk时，因为 12 01 01 01 n aaa， 所以 121 (1)(1)(1)(1) kk aaaa 12111kkaaaa（6 分） 12112 11 kkk aaaaaaa 121 1 kk aaaa， 所以，当1nk时，结论也成立， 由得，原命题得证（10 分） 23命题立意：本题主要考查二项分布与数学期望等概率知识，考查运算求解能力 解： （1）当n5 时，X5 0.1B， 则 5 5 ()C0.10.9 rrr P Xr，0 1 2 3

29、4 5r， （2 分） 故X的概率分布表为： 所以()50.10.5E X； （4 分） （2）由题意得n的所有可能取值为1，2，5，10，25，50， X 0 1 2 3 4 5 P0.590.330.073 0.00810.00045 0.00001 当n1时，需化验50 次； （6 分） 当n2 5 10 2550， ，时，X 0.1B n， 对于某一组的n只鸡，化验次数Y的所有可能值为1，1n， 且(1)0.9 n P Y，(1)10.9 n P Yn， 所以 ( )10.9(1)10.910.9 nnn E Ynnn， 故 50 只鸡的化验总次数的期望 50 ( )10.9 n f nnn n 1 50 10.9 n n ， （8 分） 算得(2)34.5f，(5)30.5f，(10)37.5f，(25)48.5f，(50)51f， 所以按 5 只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小（10 分） 精品数学高考复习资料 精品数学高考复习资料