新版沪科版七年级数学上册教案：3.1一元一次方程及其解法教案.pdf

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1、1 第 3 章一次方程与方程组 31 一元一次方程及其解法 第 1 课时一元一次方程 1理解一元一次方程的概念 2掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程 3体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系 重点 对一元一次方程概念的理解，会运用等式的基本性质解简单的一元一次方程 难点 对等式基本性质的理解与运用 一、创设情境，导入新知 问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度 是 70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过 B地， A，B两地间的路程 是多少？ 1若用算术方法解决应怎样列算式？ 2如果设 A，

2、B两地相距 x km，那么客车从A地到 B地的行驶时间为_，货车从 A 地到 B地的行驶时间为_ 3客车与货车行驶时间的关系是_ 4根据上述关系，可列方程为_ 5对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？ 二、自主合作，感受新知 阅读课文并结合生活实际，完成“预习导学”部分 三、师生互动，理解新知 问题 1：在参加 2008 年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19 人，比跳水运 动员的 2 倍少 1 人参加奥运会的跳水运动员有多少人？ 解析：此题可能有学生在小学的基础上列出算式得出，如(19 1)2. 当然上述学生比 较少， 因为这个算式的建立是不容易的这样

3、大部分学生的方法是用在小学学过的简易方程， 他们也会设出x，建立方程 解：设跳水运动员有x 人，则依据题意，得 2x1 19. 注意：此处为了不分散主题，暂不分析这个方程得来的思路 问题 2：王玲今年12 岁，王玲的爸爸今年36 岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄 的 2 倍？ 解析： 一般情况下， 我们是问什么设什么，我们这儿设过x 年后她爸爸的年龄是她年龄 的 2 倍这样用这儿的两倍关系建立等式，即x 年后她爸爸的年龄x 年后王玲的年龄 2. 解：设过 x 年后她爸爸的年龄是她年龄的2 倍，则依题意，得 36x 2(12 x) 此处可引导学生将父女两人x 年后的年龄表示出来，以加强互动

4、探究点一：一元一次方程的有关概念 观察以上两个方程，找出其特点： (1) 有几个未知数？ (2) 未知数的次数是几？ 教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：只含有一个未知数( 元) ，并且未 知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程 回顾一元一次方程的解： 使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解， 也可叫做方 程的根 探究点二：等式的基本性质 为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？这就是等式的性质( 方程 是一个等式 ) 等式的性质： (1) 等式的两边都加上( 或减去 ) 同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式即 如果 ab，

5、那么 acbc，ac bc. (2) 等式的两边都乘以( 或除以 ) 同一个数 ( 除数不能为0)，所得结果仍是等式即 如果 ab，那么 ac bc， a c b c(c 0) (3)( 对称性 ) 如果 ab，那么 ba. (4)( 传递性 ) 如果 ab，b c，那么 ac. 四、应用迁移，运用新知 1一元一次方程的辨别 例 1 下列方程中是一元一次方程的是( ) Ax3y 2 B13(1 2x) 2(5 3x) Cx1 1 x D. y 322y 7 解析：A. 含有两个未知数，不是一元一次方程，错误；B. 化简后含有未知数的项可以消 去，不是方程，错误；C. 分母中含有字母，不是一元一

6、次方程，错误；D. 符合一元一次方程 的定义，正确 方法总结： 判断一元一次方程需满足三个条件：(1) 只含有一个未知数；(2) 未知数的次 数是 1； (3) 是整式方程 2利用一元一次方程的概念求字母次数的值 例 2 方程 (m1)x |m| 10 是关于 x 的一元一次方程，则( ) Am 1Bm 1 Cm 1 Dm 1 解析：由一元一次方程的概念，一元一次方程必须满足未知数的次数为1 且系数不等于 0，所以 |m| 1， m 10， 解得 m 1. 方法总结： 若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都 是 1 且系数不为0，则这个方程是一元一次方程 3一元一次

7、方程的解 例 3 检验下列各数是不是方程5x272x 的解，并写出检验过程 (1)x 2; (2)x3. 解析：将未知数的值代入方程，看左边是否等于右边，即可判断是不是方程5x27 2x 的解 解： (1) 将 x2 代入方程，左边8，右边 11，左边右边，故x2 不是方程5x2 72x 的解； (2) 将 x3 代入方程，左边13，右边 13，左边右边，故x3 是方程 5x27 2x 的解 方法总结：检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程的左、右两边相等 4等式的基本性质 例 4 已知 mxmy，下列结论错误的是( ) Axy B amx amy Cmx ymyy Damx amy

8、 解析：A.等式的两边都除以m ，依据是等式的基本性质2，而A选项没有说明m 0，故 A错误；B. 符合等式的基本性质1，正确；C. 符合等式的基本性质1，正确；D. 符合等式的 基本性质2，正确 方法总结： 在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立， 这里的数或字 母没有条件限制， 但是在等式的两边同时除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为 0. 5利用等式的基本性质解方程 例 5 见课本P86 例 1. 方法总结： 解方程时， 一般先将方程变形为ax b 的形式， 然后再变形为xc 的形式 五、尝试练习，掌握新知 课本P87 练习第 1、 2 题 “随堂演练”部分 六、课

9、堂小结，梳理新知 引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学思想方法？应注 意什么问题？ 本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本 条件：一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次同时我们学习了解方程的依据， 即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了 利用等式性质对方程进行求解 七、深化练习，巩固新知 课本P90 习题 3.1 第 1、2 题 “课时作业”部分 第 2 课时移项解一元一次方程 1理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则 2会利用移项解一元一次方程 重点 理解移项的意义，掌握移项变号

10、的基本原则，会利用移项解一元一次方程 难点 理解移项的意义，掌握移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程 一、复习旧知，导入新知 上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：一边是含有未知数的项，一边是常 数项这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答 问题引入： (1) 解方程： 2x 5 2x 68. (2) 观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？ 2x7 322x 怎样才能使它向x a(a 为常数 ) 的形式转化呢？ 二、自主合作，感受新知 回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成“预习导学”部分 三、师生互动，理解新知 探究点：移项解一元一次方程 观察P86 例 1

11、解答过程中的第1 步： 2x1 19 2x191 由方程到方程，这个变形相当于把中的“1”这一项从方程的左边移到了方程 的右边 “1”这项移动后，发生了什么变化？( 改变了符号 ) 总结：根据等式性质1 的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边， 这种变形我们把它叫做移项 一般地， 把所有含有未知数的项移到方程的左边，把所有常数项移到方程的右边，使得 一元一次方程更接近“x a”的形式 移项，一般都习惯把含未知数的项移到等式左边 四、应用迁移，运用新知 1移项 例 1 通过移项将下列方程变形，正确的是( ) A由 5x72，得 5x27 B由 6x3x4，得 36x4x C由 8

12、xx5，得 x x 58 D由 x93x1，得 3xx 1 9 解析：A. 由 5x7 2，得 5x2 7，故错误；B. 由 6x 3x4，得 6xx34，故 错误；C. 正确；D. 由 x 93x 1，得 3xx9 1，故错误 方法总结： (1) 所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这 个方程的一边变换两项的位置；(2) 移项时要变号，不变号不能移项 2用移项解一元一次方程 例 2 见课本P87 例 2. 例 3 解下列方程： (1) x43x；(2)5x 19； (3) 4x8 4；(4)0.5x 0.7 6.5 1.3x. 解析：通过移项、合并、系数化为1 的方法

13、解答即可 解： (1) 移项得 x3x4，合并同类项得4x4，系数化成1 得 x 1； (2) 移项得 5x91，合并同类项得5x10，系数化成1 得 x2； (3) 移项得 4x48，合并同类项得4x12，系数化成1 得 x 3； (4) 移项得 1.3x 0.5x 0.7 6.5 ，合并同类项得1.8x 7.2 ，系数化成1 得 x4. 方法总结： 将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同 类项，最后将未知数的系数化为1. 特别注意移项要变号 五、尝试练习，掌握新知 课本P88 练习第 1、 2 题 “随堂演练”部分 六、课堂小结，梳理新知 通过本节课的学习，我们

14、都学到了哪些数学知识和方法？ 本节课学习掌握了移项变号的基本原则，会利用移项解一元一次方程 七、深化练习，巩固新知 课本P91 习题 3.1 第 3、4(1)(2)、8 题 “课时作业”部分 第 3 课时去括号解一元一次方程 1会用分配律去括号解含括号的一元一次方程 2经历探索用去括号的方法解方程的过程，进一步熟悉方程的变形，弄清楚每步变形 的依据 重点 运用去括号法则解带有括号的方程 难点 解一元一次方程的步骤，去括号注意事项 一、创设情境，导入新知 一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶用了2 小时，从乙码头返回甲码头逆水行驶用了2.5 小时，水流速度是3 千米 / 时，求船在静水中的速度 (1)

15、 题目中的等量关系是_ (2) 根据题意可列方程为_ 你能解这个方程吗？ 二、自主合作，感受新知 回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成“预习导学”部分 三、师生互动，理解新知 探究点：去括号解一元一次方程 问题：小明家来客人了，爸爸给了小明10 元钱，让他买1 听果奶饮料和4 听可乐从 商店回来后， 小明交给爸爸3 元钱 如果我们知道1 听可乐比1 听果奶饮料多0.5 元，能不 能求出 1 听果奶饮料是多少钱呢？ 设置问题串： (1) 小明买东西共用去多少元？ (2) 如何用未知数x 表示 1 听果奶饮料或者1 听可乐的价钱？ (3) 这个问题中有怎样的等量关系？ 小组充分讨论交流后

16、回答： (1) 买东西用去10 37(元 ) (2) 若设 1 听果奶饮料为x 元时，则1 听可乐为 (x 0.5) 元；若设1听可乐为x 元时， 则 1 听果奶饮料为(x 0.5) 元 (3) 如：买可乐的钱买果奶饮料的钱用去的钱( 学生的思路很广泛，也可列成其他 形式，只要合理即可) 教师在学生回答的基础上，确定出一个方程： 设 1 听果奶饮料x 元，则方程为4(x 0.5) x103. 问题串： (1) 这个方程与上节课解过的方程在形式上有什么不同？它们有什么联系？ (2) 它的主要特点是什么？怎样解这个方程？ 学生可以讨论出以下结论： 方程中含有括号，如果去掉括号， 就可以利用移项法则

17、进行解方程了，关键步骤就是去 括号 回顾去括号法则：括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项 都不变符号括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符 号 学生自主学习课本P88 例 3，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过 程的认识 注意： (1) 方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简 (2) 去括号时不要漏乘括号内的任何一项 (3) 若括号前面是“”号，记住去括号后括号内各项都变号 (4) x10 不是方程的解，必须把x 的系数化为1，才算完成解方程的过程 四、应用迁移，运用新知 1用去括号的方法解方程 例 1 解下列方程： (

18、1)4x 3(5 x) 6； (2)5(x 8) 56(2x 7) 解析：先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1 即可求得答案 解： (1)4x 3(5 x) 6，去括号得4x153x 6，移项合并同类项得7x21，系数 化为 1 得 x3； (2) 去括号得5x405 12x42，移项、合并同类项得7x 77，系数化为1 得 x 11. 方法总结：解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 2根据已知方程的解求字母系数的值 例 2 已知关于x 的方程 3(a x 3) x 23 的解为 2，求代数式 ( a) 22a1 的值 解析： 此题可将x2 代入方程， 得出关于a

19、的一元一次方程，解方程即可求出a 的值， 再把 a 的值代入所求代数式计算即可 解：因为 x2 是方程 3(a x 3) x 2 3 的解， 所以 3(a 2 3) 13，解得 a2， 所以原式 a 22a 12222 1 1. 方法总结：此题考查方程解的意义及代数式的求值将未知数x 的值代入方程，求出a 的值，然后将a 的值代入整式即可解决此类问题 3应用方程思想求值 例 3 当 x 为何值时，代数式2(x 21) x2 的值比代数式x 23x2 的值大 6? 解析：先列出方程，然后根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数 化为 1 即可得解 解：依题意得2(x 21) x2(

20、x23x2) 6， 去括号得 2x 22x2x23x26， 移项、合并同类项得3x6， 系数化为 1 得 x 2. 方法总结：先按要求列出方程，然后去括号，移项( 把含未知数的项移到方程左边，不 含未知数的项移到方程右边) ，合并同类项，最后把未知数的系数化为1 得到原方程的解 五、尝试练习，掌握新知 课本P89 练习第 1、 2 题 “随堂演练”部分 六、课堂小结，梳理新知 通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？ 本节课学习了解了去括号解一元一次方程的步骤：(1) 去括号； (2) 移项； (3) 合并同类 项； (4) 系数化为1. 七、深化练习，巩固新知 课本P91 习题 3

21、.1 第 4(3)(4)、6、9、10 题 “课时作业”部分 第 4 课时去分母解一元一次方程 1掌握含有以常数为分母的一元一次方程的解法 2加深学生对一元一次方程概念的理解，并总结出解一元一次方程的一般步骤 重点 用去分母的方法解方程 难点 去分母时， 不漏乘不含分母的项( 即整数项 ) ；正确理解分数线的作用，去分母后注意给 分子添加括号 一、复习旧知，导入新知 1等式的基本性质2 是怎样叙述的呢？ 2求下列几组数的最小公倍数： (1)2 ，3；(2)2 ，4，5. 3通过上几节课的探讨，总结一下解一元一次方程的一般步骤是什么？ 4如果未知数的系数是分数时，怎样来解这种类型的方程呢？那么这

22、一节课我们来共 同解决这样的问题 二、自主合作，感受新知 回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成“预习导学”部分 三、师生互动，理解新知 探究点：去分母解一元一次方程 1探索去分母解方程的方法 问题： 刺绣一件作品，甲单独绣需要15 天完成，乙单独绣需要12 天完成，现在甲先单 独绣 1 天，接着乙又单独绣4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，问再合绣多少天可以完成 这件作品？ 学生活动：观察问题情境，弄清题意，分析问题中的等量关系 教师活动： (1) 指定一名学生说出问题中的等量关系；(2) 引导学生分析， 建立方程模型 师生共同分析： (1) 题中的等量关系是：甲完成的工作量乙完成的

23、工作量工作总量 (2) 设工作总量为1，剩下的工作两人合做需x 天完成，则 1 15(x 1) 1 12(x 4) 1. 提出问题：如何解方程 1 15(x 1) 1 12(x 4) 1? (1) 鼓励学生尝试解这个方程，指定两名学生到黑板演示 (2) 巡视学生，对不同的解法，只要合理，都给予肯定 (3) 给出两种不同的解法 解法一：去括号，得 1 15x 1 15 1 12x 4 121. 移项，得： 1 15 x 1 12x1 1 15 4 12. 化简，得： 3 20x 3 5. 两边同除以 3 20，得 x4. 教师：该方程与前面解过的方程有什么不同？ 学生：以前学过的方程的系数都为整

24、数，而这一题出现了分数 教师：能否把分数系数化为整数？ 学生：我们可以根据等式性质2，在方程两边同时乘上一个既是15 又是 12 的倍数 60， 就可以去掉分母，把分数化为整数这样使解方程避免计算“分数”的复杂性，使解方程过 程简单 解法二：去分母，得4(x 1) 5(x 4) 60. 去括号，得4x4 5x2060. 移项，得标准形式：9x36. 方程两边同除以9，得 x4. 教师：去分母，方程两边同乘以一个什么数合适呢？ 学生分组讨论， 合作交流得出结论：方程两边都乘以所有分母的最小公倍数，从而去掉 分母于是，解方程的基本程序又多了一步“去分母” (4) 引导学生比较两种解法，得出解法二更

25、简便 2探索解一元一次方程的具体步骤 学生自主学习课本P89 例 4，让学生体验去括号解方程的过程与方法，深化对解方程过 程的认识 问题：你能总结一下解一元一次方程都有哪些步骤吗？ ( 学生回顾总结，小组可以讨论交流) 归纳： (1) 去分母方程两边同乘以各分母的最小公倍数注意不可漏乘某一项，特 别是不含分母的项，分子是代数式要加括号 (2) 去括号应用分配律、去括号法则，注意不漏乘括号内各项，括号前“”号， 括号内各项要变号 (3) 移项一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项 要变号 (4) 化简一类代数式的加减，要注意只是系数相加减，字母及其指数不变 (5) 标准

26、形式的化简同除以未知数前面的系数，即axb? x b a. 四、应用迁移，运用新知 利用去分母解一元一次方程 例 1 解方程： (1)x x2 5 2x 5 3 3； (2) x3 2 x 1 3 1 6. 解析： (1) 首先方程两边同时乘以分母的最小公倍数15 去分母，方程变为15x3(x 2) 5(2x 5) 45，再去括号，移项、合并同类项、化系数为1 解方程； (2) 先方程两边同 时乘以分母的最小公倍数6 去分母，方程变为3(x 3) 2(x 1) 6，再去括号，移项、合 并同类项、化系数为1 解方程 解： (1) 去分母得 15x3(x 2) 5(2x 5)45， 去括号得 15

27、x3x 610x2545， 移项得 15x3x10x 25456， 合并同类项得2x 76， 把 x 的系数化为1 得 x 38； (2) 去分母得3(x 3) 2(x 1) 1， 去括号得 3x92x21， 移项得 3x 2x1 92， 合并同类项得x12. 方法总结：解方程应注意以下两点：去分母，方程两边同乘各分母的最小公倍数时， 不要漏乘没有分母的项，同时要把分子( 如果是一个多项式) 作为一个整体加上括号去括 号，移项时要注意符号的变化 例 2 (1) 当 k 取何值时，代数式 k 1 3 的值比 3k1 2 的值小 1? (2) 当 k 取何值时，代数式 k 1 3 与3k 1 2

28、的值互为相反数？ 解析：根据题意列出方程，然后解方程即可 解： (1) 根据题意可得 3k1 2 k1 3 1， 去分母得 3(3k 1) 2(k 1) 6， 去括号得 9k32k26， 移项得 9k 2k6 23， 合并得 7k 5， 系数化为 1 得 k 5 7； (2) 根据题意可得 k1 3 3k1 2 0， 去分母得 2(k 1) 3(3k 1) 0， 去括号得 2k29k30， 移项得 2k 9k 32， 合并得 11k 5， 系数化为 1 得 k 5 11. 方法总结：先按要求列出方程，然后按照去分母解一元一次方程的步骤解题 五、尝试练习，掌握新知 课本P90 练习第 1 3 题 “随堂演练”部分 六、课堂小结，梳理新知 通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？ 本节课学习了解含有分母的一元一次方程的步骤：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项， 合并同类项； (4) 系数化为1. 注意去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时，去 掉分母要加括号 七、深化练习，巩固新知 课本P91 习题 3.1 第 5、7 题 “课时作业”部分