《线性代数期末试题及参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数期末试题及参考答案.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 / 8 线性代数期末试题及参考答案 一、单项选择题 100 000 010 (C 100 020 001 (D 100 012 001 2设向量组 123 , 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 AE (B EA (C 1 () 3 AE (D 1 () 3 AE 4设A为 nm 矩阵，则有 1 A 是 n 阶方阵， R，则有 AA 。 4若 BA, 均为 n阶方阵，则当 BA 时， BA, 一定不相似。 ( 5n维向量组 4321 , 线性相关，则 321 , 也线性相关。 =2，则 a=。 四、计算下列各题 。 4选 D。A 错误，因为 nm ，不能保证 ()(| )R AR A b
2、 ；B 错误， 0Ax 的基 础解系含有 ARn 个解向量； C 错误，因为有可能 ()(| )1R AnR A bn ， bAx 无解； D 正确，因为 ()R An。fgMAHkwHrE 5 选A 。 A 正 确 ， 因 为 它 们 可 对 角 化 ， 存 在 可 逆 矩 阵 ,P Q ， 使 得 11 12 (,) n PAPdiagQBQ ，因此 ,A B 都相似于同一个对角矩阵。 三、1 !1 1 n n 按第一列展开） 2 3 1 ； 5 3 A3 = 2 3 3 A ） 3 相关 因为向量个数大于向量维数）。 124 , 。因为 312 2 ， 124 | 0A 。 4 TT k
3、42024321 。因为 3AR ，原方程组的导出组的基 础解系中只含有一个解向量，取为 132 2 ，由原方程组的通解可表为导出 组的通解与其一个特解之和即得。 fgMAHkwHrE 5 6a )02AAR 四、 1解法一： ABBA 1 ()AE BABAEA。将 AE 与 A组成一 个矩阵 (|)AEA ，用初等行变换求 1 (|()EAEA 。 |AE A = 221121 243233 121120 )( 31 rr 221121 243233 100001 21313 ,rr rr121120 143230 100001 23 rr121120 222110 100001 5 /
4、8 32 2rr 100001 011222 0013253r 100001 011222 001325 23 rr523100 301010 100001 。故 523 301 100 B 。 解法二： ABBA 1 ()AE BABAEA 。 1 021101 ()332113 121326 AE ，因此 1 001 ()103 325 BAEA 。 2解： 1111 1111 1111 1111 T A ， AA4 2 ， 11 ()()()()()()44 nn nTTTTTTTT AA 。 3解法一：由方程组有无穷多解，得 ()(| )3R AR A b ，因此其系数行列式 11 |
5、1120 11 a A a 。即 1a 或 4a 。 当1a时，该方程组的增广矩阵 1111 (| )1121 1111 A b 1 101 2 3 010 2 0000 于是 ()(| )23R AR A b ，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个 基础解系 13 1 22 T ，原方程组的一个特解 100 T ，故 1a 时，方程 6 / 8 组有无穷多解，其通解为 13 1001 22 T T k ，fgMAHkwHrE 当 4a 时 增 广 矩 阵 1141 (|)1121 1411 6 A b 1141 0220 0001 5 ， ()2(| )3R AR A b ，此时方程组无
6、解。 解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。 22 2 111111111 (| )112102200220 1101111 00(1)(4)1 2 aaa A baa aaaaa aaa 由于 该 方 程 组 有无 穷多 解 ，得 ()(| )3R AR A b 。 因 此 2 1 ( 1) (4)10 2 aaa ，即 1a 。求通解的方法与解法一相同。 4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵 122 224 242 A ， 2 122 |224(2) (7) 242 AE 因此得到其特征值为 12 2， 3 7 。 再求特征值的特征向量。 解方程组 (2)0AE
7、 x ，得对应于特征值为 12 2 的两个线性无关的特 征向量 1 210 T ， 2 201 T 。 解 方 程 组 (7)0AEx 得 对 应 于 特 征 值 为 3 7 的 一 个 特 征 向 量 3 122 T 。 再 将 1 210 T ， 2 201 T 正 交 化 为 1 210 T p ， 7 / 8 2 24 1 55 T p 。 最后将 1 210 T p ， 2 24 1 55 T p ， 3 122 T 单位化后组成 的 矩 阵 即 为 所 求 的 正 交 变 换 矩 阵 3 2 3 5 0 3 2 15 54 5 5 3 1 15 52 5 52 ， 其 标 准 形
8、为 2 3 2 2 2 1 722yyyf 。 5 解 ： 1 ） 由 02AEAE 知 -1 ， 2为 A 的 特 征 值 。 02BAB 02BEA ，故-2 为 A的特征值，又 B 的秩为 2，即特征值 -2 有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为 -1，2，-2，-2。fgMAHkwHrE 2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2 各有一个特征向量，对应于特征值 -2 有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相 似对角化。 fgMAHkwHrE 3） EA3 的特征值为 2，5，1，1。故 EA3 =10。 五、1 BAAB 为对称矩阵。 证明： TTT BAABBAAB = TTTT BAAB= BABA =BAAB， 所以 BAAB 为对称矩阵。 2AA T 为正定矩阵。 证 明： 由 AAAA T T T 知 AA T 为 对 称矩阵 。 对任 意的 n维向 量0， 由 nAR 得 0A ， AA TT = 2 A 0，由定义知AA T 是正定矩阵。 申明： 8 / 8 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。