考研数学线性代数冲刺课程电子讲义.pdf

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1、2018 考研冲刺班线性代数讲义 主讲：尤承业 欢迎使用新东方在线电子教材 目录 第一部分矩阵1b5E2RGbCAP 一. n 阶行列式地计算1p1EanqFDPw 二. 矩阵地初等变换和初等变换法3DXDiTa9E3d 三矩阵乘法地两个规律,矩阵分解6RTCrpUDGiT 四. 可逆矩阵地充分必要条件85PCzVD7HxA 第二部分向量组和线性方程组10jLBHrnAILg 一线性表示10xHAQX74J0X 二. 向量组地线性相关性14LDAYtRyKfE 三. 秩地有关等式与不等式17Zzz6ZB2Ltk 四. 线性方程组20dvzfvkwMI1 第三部分特征向量与特征值相似和对角化二次

2、型25rqyn14ZNXI 一. 特征值地计算25EmxvxOtOco 二. 相似对角化问题28SixE2yXPq5 三. 实对称矩阵地相似对角化316ewMyirQFL 四. 实二次型地标准化33kavU42VRUs 五. 判断两个实对称矩阵是否合同( 判断两个二次型是否可用可逆线性变量替换互相转 化34y6v3ALoS89 六. 正定问题34M2ub6vSTnP 什么是串讲 : 串讲就是总复习. 在系统复习和做了大量题目地基础上, 对全课程地理论 和解题地方法进行整理和总结.0YujCfmUCw 串讲地特点 : (1 全局性 , 宏观性 .对命题不看证明, 关心作用和应用. (2 不求全面

3、 , 突出要点 , 重点 ,考点 . (3 强调纵向联系, 不顾及先后顺序. 第一部分矩阵 本部分是全课程地基础, 特别是计算地基础. 本部分概念多,因此考点也多. 关键性概念 : 矩阵地初等变换, 矩阵地乘法 , 可逆矩阵 . 一. n 阶行列式地计算 计算 n 阶行列式不一定用递推法或数学归纳法, 一些简单地n 阶行列式可对某行( 列展 开直接求得值。有些可化为三角行列式。还有地可用特征值计算.eUts8ZQVRd 例 1 1 0 0 t t 1 0 0 0 t 1 0 . 00 0 t 1 例 2 证明a1 a2a3an-1an b1 c 2 0 0 0 0 b2 c3 0 0 = 1

4、111 1 ( 1) n i iiin i bb acc . 0 0 0 bn-1 cn (就是要证明M1i= b1bi-1 ci+1cn. 例 3 证明 a0 a1a2an-1 an b1 c 1 0 0 0 b20 c 2 0 0 = 0111 11 nn iiiiin ii acccabcc . bn 0 c n 例 4 2 aaaa 1+x 1 1 1 1+ a 1 1 1 sQsAEJkW5T a 2 aaa 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2 GMsIasNXkA aa2 aa . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .TIrRGchYzg aaa 2 a 1 1 1

5、1+x 4 4 4 4+a7EqZcWLZNX aaaa 2 这些行列式都可以先求出相应矩阵地特征值来求值. 例 5 计算 444342414 433332313 423222212 413121111 xbabababa baxbababa babaxbaba bababaxba , 其中 1234 0x x x x. 解 444342414 433332313 423222212 413121111 xbabababa baxbababa babaxbaba bababaxba 131 11214 1234 23212224 1234 1234 3 1323334 1234 4341424

6、4 1234 1 1 1 1 a ba ba bab xxxx a ba ba ba b xxxx x x x x a ba ba ba b xxxx a ba ba ba b xxxx 矩阵 1 1 1 1 4 44 3 34 2 24 1 14 4 43 3 33 2 23 1 13 4 42 3 32 2 22 1 12 4 41 3 31 2 21 1 11 x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba x ba E x b x b x b x b a a a a ),( 4 4 3

7、 3 2 2 1 1 4 3 2 1 特征值为 4 44 3 33 2 22 1 11 1 , 1 , 1 , 1 x ba x ba x ba x ba 相应行列式为 4 44 3 33 2 22 1 11 1 x ba x ba x ba x ba 原行列式地值 43122432114321 xxxbaxxxbaxxxx 3214442133 xxxbaxxxba 例 6 证明 2 2 2 21 21 2 1 2 a aa aa aa 1 n na 证明 2 2 2 2 2 21 21 3 2101 2 2 2 1 1 2 2 a a a aa aa aa A aa aa 21 3 01

8、2 4 034(1) 2(1) 3 23 1 (1) 0 n a a a aana ana n na n 二. 矩阵地初等变换和初等变换法 问题：什么时候可用列变换？如果两类变换都可以用, 能否交替使用？lzq7IGf02E 1. 初等变换地作用 除了计算行列式, 矩阵地初等变换应用在两个方面: (1 用在线性方程组类问题上 对线性方程组地增广矩阵作初等行变换反映了方程组地同解变换. 这方面地应用只可用行变换, 决不可用列变换. (2 计算矩阵和向量组地秩 初等行变换和初等列变换都保持矩阵地秩. 因此两类变换都可以用, 并且可交替使用. 变换把一个矩阵化为阶梯形矩阵或简单阶梯形矩阵. 用初等行

9、变换把可逆矩阵化为单位矩阵. 2. 初等变换法 (1求方程组地唯一解 当 A 是可逆矩阵时 , AX=唯一解 , 求解地初等变换法: 对增广矩阵 (A| 作初等行变换, 使得 A 变为单位矩阵 :zvpgeqJ1hk (A| (E| , 则就是解 . (2 解矩阵方程 有两种基本矩阵方程: (I AX=B.(II XA=B.NrpoJac3v1 在 A 是可逆矩阵这两个方程都是且唯一解. (I AX=B 是线性方程组地推广, 求解方法 :将 A 和 B 并列作矩阵 (A|B, 对它作初等行 变换 , 使得 A 变为单位矩阵, 此时 B 变为解 X:1nowfTG4KI (A|B(E|X (II

10、 地解法 : 对两边转置化为(I 地形式 : A TXT= BT.再用解 (I 地方法求出 X TfjnFLDa5Zo (A T|BT (E|X T (3 当 A 可逆时 , A-1是矩阵方程AX=E 地解 , 于是可用初等行变换求A-1: (A|E(E|A -1 近几年考题中常见地一类求矩阵地题, 可利用矩阵方程求解: 给定了 3 阶矩阵 A 地 3 个线性无关地特征向量 1,2,3,和它们地特征值, 求 A, ( 给 定6个3维 列 向 量 1,2,3,1,2,3, 求 一 个3阶 矩 阵A, 使 得 A1=1,A2=2,A3=3.tfnNhnE6e5 例7 A 是3 阶矩阵地向量 1=(

11、-1,2,-1 T, 2=(0,-1,1 T 都是齐次线性方程组AX=0 地 解,HbmVN777sL (1 A 地各行元素之和都为3, 求 A.(06 (2A 是 3 阶实对称矩阵 , 求 A. 解根据题意有 1000 2010 1010 AA ，. (1A地各行元素之和都为3, 则 3 3 3 1 1 1 A. 建立矩阵方程 0 0 0 0 0 0 3 3 3 1 1 0 1 2 1 1 1 1 A 再用初等变换法求出 1 11 1 11 1 11 A . (20Ax有两个线性无关地解, 21 则32r A. ()1r A. 再由( )3( )1tr Ar A. 所以A地特征值为0,0,3

12、. 由于 A 是实对称矩阵, 属于 3 地特征向量与 21, 都相交 , 即满足 0 02 32 321 xx xxx 求得一个非零解, 1 1 1 3 即 33 3A 建立矩阵方程)0 ,0 ,3(),( 3213 A. 例 8 二次型f(x1,x2,x3= X TAX 在正交变换 X=QY 下化为y1 2+y 2 2, Q 地第 3 列为 ( 2 2 ,0, 2 2 T. 求 A. V7l4jRB8Hs 解有 0 0 0 0 1 0 0 0 1 AQQ T . 即 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 AQQ. 则A地特征值为0 , 1 , 1. 2 2 0 2 2 是A地特征向量 ,

13、特征值为0,从而 1 0 1 也是A地特征向量 , 特征值为0. 求A地属于1 地两个无关特征向量, 即()0AE x地非零解它们都与 1 0 1 相交 , 即满 足方程组0 31 xx.( 实际上它和()0AE x同解 , 求出两个无关解 1 0 1 , 0 1 0 . 建立矩阵方程 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 A 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 A 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 2 1 0 2

14、1 0 1 0 2 1 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 2 0 1 0 1 2 1 A * 设3 阶实对称矩阵A 地特征值为1,1,-1,(0,1,1 T 是属于 -1地特征向量, 求 A.(1995. 83lcPA59W9 *设 3 阶实对称矩阵A 地特征值为1,2,3,(1,1,-1 T 和(-1,2,1 T 分别是属于1 和 2 地 特征向量 ,求 A.(1997mZkklkzaaP *设 3 阶实对称矩阵A 地秩为 2, 又 6 是它地二重特征值, 向量 (1,1,0 T 和(2,1,1 T和(- 1,2,-3 T 都是属于6 地特征向量 . 求 A.(

15、2004.AVktR43bpw *3 阶实对称矩阵A 地特征值为1,2,-2,(1,-1,1 T是 A 地属于 1 地特征向量 . 记 B=A 5-4A3+E. (1 求 B 地特征值和特征向量. (2 求 B.(07 三矩阵乘法地两个规律,矩阵分解 A( 1,2, , s=( A1,A2,As. 若 A=( 1,2, , n, B =(1,2,n T,则 A B= 11 +22 +nn.ORjBnOwcEd 乘积矩阵AB 地第 i 个列向量是A 地列向量组地线性组合, 组合系数就是B 地第 i 个列 向量地各分量 .( 从而 AB 地列向量组可以用A 地列向量组线性表示.2MiJTy0dTT

16、 乘积矩阵AB 地第 i 个行向量是B 地行向量组地线性组合, 组合系数就是A 地第 i 个行 向量地各分量 . (AB 地行向量组可以用B 地行向量组线性表示.gIiSpiue7A 近几年考题中常见地又一类求矩阵地题是利用矩阵分解求解. 设 A 为 3 阶矩阵 , 1,2, 3是 3 维列向量组 , 知道了 A1, A2, A3对 1,2, 3地分 解, 求矩阵 B, 使得 AP=PB. P=( 1,2, 3. uEh0U1Yfmh 例 9=( 1,2, 3B. 解：三种方法对照 方法一：设, 33 23 13 32 22 12 31 21 11 b b b b b b b b b B则 B

17、A),(),( 321321 可化为)32,2 ,( 3232321 ),( 333223113332222112331221111 bbbbbbbbb 得 , 331221111321 bbb 由于 321 ,无关 , 得1, 1, 1 312111 bbb. 用同样方法求得 122232 0,2,1bbb, 3, 2,0 332313 bbb. 3 2 0 1 2 0 1 1 1 B 方法二：APPB 1 . 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ),(, 3 1 2 1 1 11 PPPEPP有 得 111 123 100 0 ,1 ,0 001 PPP 于是 ,)32,2,( 32323

18、21 1 PB )32,2, 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 1 PPPPPPP 3 2 0 1 2 0 1 1 1 . 方法三 ( 矩阵分解法 BA),(),( 321321 . )32,2,( 3232321 3 2 0 1 2 0 1 1 1 ),( 321 . 3 2 0 1 2 0 1 1 1 B. 方法三是直接求出了B, 并且不必要求 321 线性无关！ 例 10(2008 已知 1,2,都是 3 阶矩阵 A 地特征向量 , 特征值分别为-1 和 1, 又 3 维向 量3满足 A3= 2+ 3.IAg9qLsgBX (1 证明 1,2, 3线性无关 . (2 记

19、P=( 1,2, 3, 求P -1 AP. (3 证明 A 不相似于对角矩阵. (4 求 A 地所有特征向量. 例 11可逆 , 并且 A 3 =3A -2A2 . (1求 3 阶矩阵 B 使得 A=PBP -1 .(2 计算 | A+E|.(3 求 A 地特征值 . 用矩阵分解求行列式 用矩阵分解估计秩和判断向量组地相关性( C 矩阵法 四.可逆矩阵地充分必要条件 n 阶矩阵 A可逆A 地行列式 | A|0 r( A=n A 地列 ( 行向量组线性无关. AX =0只有零解 ( AX= 有唯一解 0 不是 A 地特征值 . ( A-c E 可逆c 不是 A 地特征值 . 例 12 设 n 阶

20、矩阵 A 满足 A 2+3A-2 E=0. 对任何有理数 c, 证明 A-c E 可逆 . 解：方法一：令cEAB, 即cEBA, 则 02)(3)( 2 EcEBcEB 0)23()32( 22 EccBcB. EccEcBB)23()32( 2 . 023 2 xx地两根为 2 173 2 893 , 因此当c是有理数时 ,023 2 cc. 则Ecc)23( 2 可逆 , 从而B可逆 . 方法二：只用说明有理数c不是A地特征值 . 由023 2 EAA,A地特征值满足023 2 . 而有理数c不满足此式 , 因此不是A地特征值 . 例 13 设 n 阶矩阵 A, B 满足 AB=aA+b

21、B+cE , 其中0abc, 证明 A- bE 和 B- aE 都 可逆 . 解方法一：只用证)(aEBbEA可逆 . abEbBaAABaEBbEA)(Ecab)( 0abc,Ecab)(可逆 , 得)(),(aEBbEA都可逆 . 方法二：先证a不是B地特征值 , 从而aEB可逆 . 用反证法 , 若有向量0, 值得,aB则 cbBaAAB,cabaAaA 得0)(cab, 与条件0cab矛盾 要证b不是A地特征值 , 只用证b不是 T A地特征值 . 对cEbBaAAB两侧转置 , 得 cEbBaAAB TTTT , 用上法可证b不是 T A地特征值 , 从而不是A地特征值 . 例 14

22、 设是 n 维非零列向量 , 记 A=E- T . 证明1 T A 不可逆 . (96 证明 T 地特征值为0,0, T . A不可逆1 是 T 地特征值1 T . 例 15 已知 n 阶矩阵 A, B 满足 E- AB 可逆 , 证明 E- BA 也可逆 , 并且 (E-BA -1=E+B(E-AB-1A. 证明 1 ()()EBA EB EABA 1 ()()EBAEBA B EABA 1 ()()EBABBAB EABA 1 ()()EBAB EAB EABA.EBABAE 例 16 设 A,B 都是 n 阶矩阵 , 证明 cE-AB 可逆cE-BA 可逆 . 证明当0c时, 即AB可逆

23、BA可逆 . 而 |) 1(|BABAAB n . 结论显然 下设0c. 方法一：左右, 即设ABcE可逆 , 证BAcE可逆 . 构选BAcE地逆矩阵 1 1 ()EB cEABA c 1 1 ()cEBAEB cEABA c )()( 1 1 AABcEBBAcEBAcE c 11 ()()cEBAB cEAB cEABA c E. 方法二：用特征值, 要证地是 c不是AB地特征值c不是 BA地特征值 逆否为c是AB地特征值c是BA地特征值 . “”设cAB,0. 则cBBAB. 0,0,0Bc. 于是B是BA地特征向量 , 特征值为c. 第二部分向量组和线性方程组 本部分全课程地理论基础

24、, 理论制高点 , 特点是概念性强, 抽象 , 因此是最难地部分, 也是考 试地重点和难点. 关键性概念 : 线性表示 , 线性相关性 ,向量组和矩阵地地秩. 齐次线性方程组地基础解系 对这些概念要准确理解, 并熟悉有关地性质, 并且注意它们地联系, 以及和其他章节地概 念地联系 . 应该特别充分注意秩地作用. 一线性表示 1.线性表示地意义 (1 一个向量可用 1,2, ,s线性表示 ,即 n 维向量是1,2, ,s地一个线性组合. 也就是：线性方程组AX= 有解 , 其中A=( 1,2, ,s. 一个向量是齐次方程组AX=0 地解它可以用AX=0 地基础解系线性表示. (21,2, ,t可

25、以用1,2, ,s线性表示 , 即每个i都可以用1,2, ,s线性表示 . 这个概念和矩阵乘积有联系当AB=C时C地列向量组可以用A地列向量组线性表 示,WwghWvVhPE C地行向量组可以用B地行向量组线性表示. 反之 , 当 1,2, ,t可用1,2, ,s线性表示时 , 存在矩阵CC.asfpsfpi4k (3 向 量 组 1,2, ,s和1,2, ,t等 价 , 即 它 们 互 相 都 可 以 表 示 , 记 作 1,2, ,s1,2, ,t . ooeyYZTjj1 如果A用初等行变换化为B, 则A和B地行向量组等价。如果A用初等列变换化为B, 则A和B地列向量组等价.BkeGuI

26、nkxI 向量组和它地每个极大无关组都等价。因此它地任何两个极大无关组等价. 一个齐次方程组AX=0 地任何两个基础解系等价. 2. 用秩判断线性表示 (1可用 1,2, ,s线性表示r(1,2, ,s,=r(1,2, ,s.PgdO0sRlMo (2可 用 1,2, ,s唯 一 线 性 表 示r(1,2, ,s,=r(1,2, ,s= s.3cdXwckm15 (3 1,2, ,t可以用1,2, ,s线性表示 r( 1,2, ,s,1,2, ,t=r(1,2, ,s. (41,2, ,s和1,2, ,t等价 r(1,2, ,s= r(1,2, ,s,1,2, ,t= r(1,2, ,t.h8

27、c52WOngM 例 1 设 1=(1,2,0,1,2=(1,1,-1,0,3=(0,1,a,1,1=(1,0,1,0,2=(0,1,0,2.a 和 k 取什么值时 ,1+k2可用1,2,3线性表示 ?v4bdyGious 解),(),( 32121321 k )|,( 21321 k k k a 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 2 1 行 12 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 k k a 行 1 3 2 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 k k k a 1,1 ak 例 2 已知r( 1, ,s=r(1, ,s,=k,r(1, ,s,

28、 =k+1, 求r(1, ,s,- J0bm4qMpJ9 解看是否可用 s , 1 线性表示 . 可以用 s , 1 线性表示 ,不可用, 1s 表示 ,因此也不可用 s , 1 表示 . 于是不可用 s , 1 线性表示 . 11 (,)(,)11 ss k 例3设 (1,2,3 T,(2,3,5T 和 (1,a,b-1 T,(2,a2,bT 都 是AX=0 地 基 础 解 系 , 求 a,b.XVauA9grYP 解 b a b a 2 2 , 1 1 5 3 2 , 3 2 1 与等价 ,即 2 2 1 12 1 1 5 3 2 3 2 1 22 b a b a b a b a. 22

29、2 12121212 230124 3510022 aaaa bbbaba 得 02 02 2 ab ab 即 2 2 ab aa 32 10 或 或 b a . 当2,0 ba时 2 0 22 , 1 0 1 1 1 2 b a b a秩为 1,不合要求 当3, 1 ba时 3 1 22 , 2 1 1 1 1 2 b a b a,秩为2,此时这两个向量组等价,符合题目要 求. 例4设AX=地 通 解 为(1,-1,1,-1 T+c 1(1,-3,1,0 T+c 2(-2,1,-1,2 T, c1,c2任 意.bR9C6TJscw (a,1,b,3 T 是AX=地解 , 求 a,b. 解的解

30、是的解是0 1 1 1 1 3 1 3 1 Ax b a Ax b a 线性表示可用 2 1 1 2 , 0 1 3 1 4 1 2 1 b a 2 2 1 1 2 0 1 3 1 4 1 2 1 2 1 1 2 0 1 3 1 b a . 2 93 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1 2 13 1 1 1 5 2 0 0 0 1 4 1 2 1 2 1 1 2 0 1 3 1 ab a a ab a a b a 则1,3 02 093 ba ab a . 例 5 1=(1,1,0,-1 T, 2=(0,2,1,1 T . 求=(c1,c2, c3, c4 T 可用1,2线性表示地条 件.

31、pN9LBDdtrd 解2),(, 2121 . 314 312 3 1 4 3 2 1 21 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 0 1 1 ),( ccc ccc c c c c c c 得：可用 0 02 , 314 312 21 ccc ccc 线性表示 0 02 314 312 xxx xxx 是地解 . ( 即 0 02 431 321 xxx xxx 是地解 . 说明 0 02 431 321 xxx xxx 以 21, 为基础解系 . 例 6 设 1,2, ,s是 n 维向量组 . 证明 r(1,2, ,s= n 地充分必要条件为: 任何 n 维向量都可用

32、1,2, ,s线性表示 . DJ8T7nHuGT 解必要性：对任何n 维向量, ,),()( 11 nn ss 得),(),( 11ss 从而可用 s1 表示 充分性：当任何n 维向量都可用 s1 表示时 ,任何n 维向量组都可用 s , 21 表示 . 取 n , 21 是一个线性无关地n维向量组 ( 如一个 n 阶可逆矩阵地列向量组,则 nn sn )()( 11 . 得n s) ( 1 . 例 7 设A是 m n 矩阵 , C是 m s 矩阵 . 证明矩阵方程AX=C有解r(A|C=r(A. 证明 记),(),( 11sn CA 则AXC有解存在sn矩阵H使得CAH ns11 可用 线性

33、表示 )(),( 111nsn 即)()|(ACA. 例 8 设( 和( 都是 3 元非齐次线性方程组,( 有通解 1+c11+c22, 其中1= (1,0,1 T, 1=(1,1,0 T ,2=(1,2,1 T；( 有通解 2+c ,2=(0,1,2 T, =(1,1,2 T. 求( 和 ( 地公共解 .QF81D7bvUA 解公共解都可写成 c 2 ,我们来求当c取什么值时它又是( I地解？ c 2 是( I地解 是 12 c( I地导出组地解 12 c,可用 21, 线性表示 . 12 1 1 1 2 1 0 1 1 ),( 1221 c c c c 12 2 1 0 1 1 0 0 1

34、 c c 得 2 1 c,公共解为： 3 2 3 2 1 2 1 2 二. 向量组地线性相关性 1定义和意义 意义线性无关就是每个 I都不能用其它向量线性表示。线性相关就是有向量( 不必 每个 可以用其它向量线性表示.4B7a9QFw9h 定义设 1,2, ,s是 n 维向量组 , 如果存在不全为0 地一组数c1,c2, ,cs使得 c11+c22+css=0, 则说1,2, ,s线性相关 , 否则 ( 即要使得c11+c22+css=0, 必须 c1,c2, ,cs全为 0就 说它们 线性无关 .ix6iFA8xoX 和齐次线性方程组地关系记A=(1,2, ,s, 则:1,2, ,s线性相关

35、 ( 无关 齐次 线性方程组AX=0 有( 没有 非零解 .wt6qbkCyDE 2线性相关性地判别 在考试真题中, 相关性地判别是常见地,许多情形可用一些简单性质完成, 甚至直接可用 定义判别 .因此熟记有关地性质是重要地.Kp5zH46zRk 例如1-2,2-3,3-1线性相关,(2,1,a+4,(2,1,a+6无关 . 对考场上也出现过一些证明题, 常用地思路有3 个: 定义法 : 用定义证明一个向量组 1,2, ,s线性无关 , 就是由c11+c22+css=0 推出 ci都为 0.Yl4HdOAA61 扩大法 : 利用性质 : 如果 1,2, ,s线性无关 , 则 1,2, ,s ,

36、线性无关不能用 1,2, ,s线性表示 . 推论如果 i0, 并且每个i都不能用前面地i-1个向量线性表示, 则1,2, ,s线性 无关 .ch4PJx4BlI 秩法 : 1,2, ,s线性无关 r(1,2, ,s=s.qd3YfhxCzo 例 9设A为 n 阶矩阵 ,为 n 维列向量 , 正整数k 使得A k =0, 但是A k-1 0, 证明, A, A k-1 线性无关 . E836L11DO5 证明方法一：用定义证 设0 1 21 k kA cAcc( 1 用 1k A乘( 1式得00 1 1 1 cAc k 再用 2k A乘( 1式 ,得0, 0 2 1 2 cAc k 这样逐个得出

37、 i c都为 0. 方法二：用扩大法地推论,这个向量组是： 最后一个0 1k A. 每 一 个 都 不 能 用 后 边 地 线 性 表 示 , 如 1i A不 可 用 1 , ki AA表 示 ,因 为 1 , ki AA用 ik A 乘都为 0,即它们都是0 ik A地解 ,而 ik A 不是： 0)( 1kiiik AAA. 由推论 ,得 1 , k AA无关 . 例 10 设 1,2, ,s ,1,2, ,t线性无关 ,其中1,2, ,s是齐次方程组AX= 地基 础解系 . 证明A1,A2,At线性无关 .S42ehLvE3M 证明用定义法 设,0 2211ttA cAcAc而, 0)(

38、 2211tt cccA 于是 tt cc 11 是0Ax地解 ,从而可用0Ax地基础解系 s , 1 线性表示 ,即 有 sstt kkccc 112211 但是 11 , st线性无关 ,得 )( 11st kkcc和都为 0. 例 11 设1,2, ,s和1,2, ,t是两个线性无关地n 维实向量组 , 并且每个i和j 都正交 , 证明1,2, ,s,1,2, ,t线性无关 .501nNvZFis 证明 用定义法 ,设 , 0 1111ttss kkcc 记)( 1111ttss kkcc 则0)(,(),( 1111ttss kkcc 即0,于是 ss kkcc 11 和全都为 0.

39、例12设 1,2, ,s和1,2, ,t都 是 线 性 无 关 地n维 向 量 组 , 证 明 1,2, ,s,1,jW1viftGw9 2, ,t线性相关存在非零向量, 它既可用1,2, ,s线性表示 , 又可用1,2, ,t线 性表示 .xS0DOYWHLP 证明 “”存在 ts kkcc 11 ,不全为 0 使得 0 1111ttss kkcc. 令 ttss kkcc 1111 , 则0( ts kkcc 11 和不能全为0！ 且既可用 s1 表示 ,又可用 t1 表示 . “”设0,既可用 s1 表示 ,又可用 t1 表示 , 证 sss cccc 111 ,不全为 0, ttt p

40、ppp, 111 也不全为0, 则,0 1111ttss ppcc ts11 ,相关 . 例 13 已知 n 元非齐次方程组AX= 有解 , n-r(A=3. (1证明AX= 有 4 个线性无关地解. (2证明AX= 地任何 5 个解都线性相关. (n元非齐次方程组AX= 有解时 , 解集合地秩 = n-r(A+1. 证明 ( 1设 0是 Ax地一个解 321 ,是0Ax地基础地解系, 321 ,线性无关 ,而 0不可用321 ,线性表示 , 从而这个向量线性无关. 易见, 32103020100， 它们地秩相等,为 4,从而 3020100 ,，也无关 ,它们都是Ax地解 . ( 2设 54

41、321 ,都是Ax地解 ,则它们都可用( 1中地 4210 ,这 4 个向量 表示 ,所以必相关 . 三. 秩地有关等式与不等式 秩是讨论向量组线性相关性地深入, 它把抽象地概念数量化了, 从而可用数量地形式来 处理线性表示和线性相关性问题, 显得简单化了.LOZMkIqI0w 譬 如 , 有 一 个 性 质 : 如 果 1,2, ,t可 用1,2, ,s线 性 表 示 , 并 且ts,则 1,2, ,t 线性相关 . 从秩看 ,r( 1,2, ,t r(1,2, ,s s 1,2, ,r可以用n 维向量组(II1,2,s线性表 示.dGY2mcoKtT (A如果 (I 线性无关 , 则 rs

42、. (B 如果 (I 线性相关 , 则 rs. rCYbSWRLIA (C 如果 (II线性无关 , 则 rs. (D 如果 (II 线性相关 ,则 rs.FyXjoFlMWh 这题可以用上面那个性质解决:(A 是它地逆否命题, (B 是否命题 . 如果用秩做 : r=r(1,2, ,r r(1,2,s s. 例 15 已知可用 1,2, ,s线性表示 , 但不可用1,2, ,s-1线性表示证明 s不可用1,2, ,s-1线性表示； s可用1,2, ,s-1,线性表示 这题可以用定义做, 叙述起来有点罗嗦. 下面用秩做 : r(1,2, ,r-1+1=r(1,2, ,r-1, r(1,2, ,

43、r,=r(1,2, ,rTuWrUpPObX r( 1,2, ,r-1+1 于 是r(1,2, ,r-1,=r(1,2, ,r, r(1,2, ,r=r(1,2, ,r- 1+1.7qWAq9jPqE 例 16 已知 1,2,3线性相关 , 而2,3,4线性无关 , 则1,2,3,4中, 能用另外3 个向 量线性表示 , 而不能用另外3 个向量线性表示.llVIWTNQFk r( 1,2,3=3,r(1,2,3,4=3. 如果1,2, ,s是 n 维向量组 , 0r(1,2,s Mins,n.yhUQsDgRT1 如果A是 m n 矩阵 , 则 0 r(A Minm,n. r(1,2, ,s+

44、1. 若不 可 用1,2, ,s线 性 表 示.MdUZYnKS8I r( 1,2, ,s,= r( 1,2, ,s. 若可用1,2, ,s线性表示 . 如果1,2, ,t可以用1,2, ,s线性表示 , 则 r(1,2,t r(1,2, ,s. r(A B r(A+r(B. r(AB Minr(A,r(B. 当A( 或B可逆时 ,r(AB=r(B( 或 r(A. 如果A列满秩 (r(A等于列数 , 则 r(AB=r(B. 如果AB=0,n 为A地列数 (B地行数 , 则 r(A+r(B n. 设A*为 n 阶矩阵A地伴随矩阵 ,则 n, 若 r(A=n, r(A*= 1, 若 r(A=n-1

45、, 0, 若 r(A r(A+r(B. 例17 设A是n 阶矩阵 , 1,2,s是一组n 维向量,i=Ai, i=1,2,s. 证 明:09T7t6eTno (1 r( 1,2,s r(1,2,s. (2如果A可逆 , 则 r( 1,2,s=r(1,2,s. 证明 ( 1矩阵),(),( 11ss A 11 (,)min ( ), () ss rr A r ( 2若A可逆 ,则 11 ()() ss rr 例 18 设1,2,3,4都是 n 维向量 . 判断下列命题成立地为 如 果 1,2,3线 性 无 关 ,4不 能 用1,2,3线 性 表 示 , 则1,2,3,4线 性 无 关.e5TfZ

46、QIUB5 如果 1,2线性无关 ,3,4都不能用1,2线性表示 , 则1,2,3,4线性无关 . 如果存在n 阶矩阵A, 使得A1,A2,A3,A4线性无关 , 则1,2,3,4线性无关 . 如果1=A1,2=A2,3=A3,4=A4, 其中A可逆 ,1,2,3,4线性无关 , 则1,2,3,4 线性无关 .s1SovAcVQM 解 . 不对 , 例如 43 . 12341234 4(,)(,)4r AAAAr. . 4),(),( 43214321 A. 例 19,例 20 都可用C矩阵法解 . C矩阵法：若 s1 无关 , t1 可用 s1 线性表示 ,表示矩阵为C,则 1 ()() t

47、 rr C. 如果st,则 t1 无关0| C. 例19设 1,2,s是齐次方程组AX=地基础解 系,1=1+t2,2=2+t3, ,GXRw1kFW5s s-1=s-1+ts,s=s+t1.t取什么值时1,2, ,s也是AX= 地基础解系 ?UTREx49Xj9 解 s , 1 确定都是0Ax地解 ,个数也合要求 ,看 1s是否无关 ,由于s1 无 关,可用C矩阵法 , s21, 对 s1 地表示矩阵C为 100 1000 0 000 0001 t t C t ss tC 1 )1(1| ss tC) 1(0| 当 ss t) 1(时 s , 1 线性无关 ,从而构成基础解系. 例 20 设

48、 1,2,3是齐次方程组AX= 地基础解系 , 则( 也是AX= 地基础解系 . (A1,2-3 .(B1+2,2+3,3-1. (C 1+2+3,1-2-23,1+32+43.(D1+22-3,21+2+3,2+3.8PQN3NDYyP 解 ( A个数 2 个,不对 . ( B0)()()( 133221 相关 . ( C表示矩阵 4 3 1 2 1 1 1 1 1 C 111111 |1130220 124033 C, 321321321 43,2,相关 . ( D 此时 1 1 0 1 1 2 1 2 1 C, 120120 |2113006 111111 C. 四. 线性方程组 线性方程组是课程地最主要部分, 是考试地最大重点, 但是考点很集中( 解地情况地判别 和通解地计算 , 有关地结论又十分明确, 因此从方法上看不困难, 大家也比较熟