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1、1 / 14 整系数多项式的有理根的定理及求解方 法 系别 & 专业：数学系 -数学与应用数学专业 姓名 & 学号：刘玉丽 0934118 年级 & 班别： 2009级 1 班 教师 & 职称：张洪刚 2018 年 9 月 1日 吉林师范大学博达学院 毕业论文 has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make th
2、e procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots. Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots 3 / 14 第一章整系数多项式的基本内容 【1】 本节给出了整系数多项式的基本定
3、理-高斯(Gauss引理。 定 义1 1 如 果 一 个 多 项 式， 其 所 有 系 数 都是整数，就称此多项式为整系数多项式。 定义2 如果一个非零的整系数多项式的系数 没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个 本原多项式。 下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。 定理 1.1是 有理数时 , 若, 则是的根. 证明：因为, 在 上 式 两 边 同 时 乘 以, 则 有即 . 所以是的根. 第三章 整系数多项式有理根的求法 3.1 整系数多项式有理根的判定 7 存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证, 但当常数 项较大 , 因数较多 ,
4、 多项式的次数较高时, 计算量之大 , 没有计算机的帮助是很难 实现的 . 如果先判别多项式的不可约, 或者将多项式分解成几个多项式的积后再 作判断 . 这在理论上是可行的 , 但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件容 易的事情 . 所以 , 研究整系数多项式有理根的存在性问题, 明智的选择还是从系 数开始。整系数多项式无有理根的判别法： 定理 3.1.1 1 (Eisenstein判别法 ：设是一 个整系数多项式。如果有一个素数，使得 1、； 2、； 3、. 那么在有理数域上是不可约的 . 证明如果在有理数域上可约，那么由定理2.2 ，可以分解成两个次 数较低的整系数多项式的乘积： =.
5、因此 ， 7 / 14 因为，所以能整除或. 但是，所以不能同时整除及. 因 此 不 妨假 定但. 另一 方 面 ， 因 为， 所 以. 假 设 中第一个不能被整除的是. 比较中的系数，得等式 . 式中 都能被整除，所以也必须能被整除 . 但是是一个素数，所以与 中至少有一个被整除. 这是一个矛盾 . 定理 3.1.2 【3】设 是一个整系数多项式，若能找到一个素数和整 数, 使得 (1 (2 , 但； (3 (i当时，。且； (ii当时，其中为正整数， ( 注：当时 ，与 (i 相同 ，那么 ，多项式无有理根。 证明： (i 当时，假设多项式存在有理根，则在有理数 域上从而。因为互素，所以是
6、一个本原多 项 式 ， 根 据 推 论 由， 依 次 类 推 ， 即 得， 所 以。 1.2.1 知 式中都是整数，比较两 8 / 14 边系数，即得 中， 所 以 。 即，故。 又因为及，所以，即。 又因为及 , 所以, 即 , 所以, 故。与矛盾。必有，则。 由于及由 ( 式中， 所以，但，必有。 由(式依次类推知。 由及，得。又由前面所述知且，为素 数。矛盾！故无有理根。 (ii当是正整数且时， ( 因为的情况为上述 所证明 。此时，在中，令，得 9 / 14 令 由定理的条件显然知，的系数均为整数 因为，是正整数，且由定理3.1.2的 (1 (2 知 ，但 又由定理 3.1.2 中 (
7、3 (ii知， 其中，及， 同时 由(i 证明知无有理根，故无有理根。 3.2 整系数多项式有理根的求法 定理 3.2.1 【5】设既约分数 ，多项式除整系数多项式 所得的商式为 余式为常数，多项式除多项式 所得的商式为，则 ( 为的一个根的充要条件为的各系数都能被整除，并且 10 / 14 ； ( 为的一个根的充要条件是为的一个根； ( 当为的一个根时， 证明 ( 充分性是很明显的 . 下面证必要性 . 因是多项式的一个根，故存在整系数多项式使 从而 这时，的各系数均能被整除 ( 充分性：若为的一个根，则 在上式两边同乘以，有 故为的一个根 . 必要性：显然类似可证 . ( 若为的一个根，则
8、 ，即 于是， 在上式两边同除以得， ， 从而有多项式恒等定理， 11 / 14 故多项式除多项式所得的商式为 证毕 . 由以上定理及相关推论得求整系数多项式 有理根的方法： 第一步：判定是否存在有理根； 第二步：若有，求出和的所有因数； 第三步：用的因数做分母 ,因数做分子 , 列出所有可能的既约分数； 第四步：先判断出是否为的根, 再对第二步求出的既约分数进行检验 , 如果与都是整数 , 那么的根可能是含有这个；如果两数不全 为整数 , 那么的根一定没有这个； 第五步：检验第三步选出来的既约分数可能会是的根, 用除1994 4 邓勇 .整系数多项式有理根检验法的简化四川文理学院学报( 自然科学 第 17 卷第 2 期 2007 年 3 月 5 杨继明 . 关于整系数多项式有理根的求法抚州师专学报第 3 期 1994年 9 月 6 徐德余 . 高等代数评估与测试卷库. 成都：四川科学技术出版社,1990. 7 梅汉飞，樊启毅整系数多项式的有理根判别法J 江西教育学院学报，1995 (6 9-10