历届数学高考试题精选函数与不等式.pdf

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1、函数与不等式单元测试题（A） 一、选择题：（每小题5 分，计 50 分。请将正确答案的代号填入下表） 题号12345678910 答案 1 (2008 全国卷文 ) 函数1yxx的定义域为（） A|1x x B|0x xC|10x xx 或 D|01xx 2 （2007 全国理） 把函数 y=e x 的图象按向量a=(2,3)平移，得到 y=f(x)的图象，则 f(x)= （） (A) e x-3+2 (B) e x+3 -2 (C)e x-2+3 (D) e x+2-3 3 (2005 山东文科 )下列大小关系正确的是（） A 20.4 4 0.43log 0.3；B 20.4 4 0.4l

2、og 0.33； C 20.4 4 log 0.30.43；D 0.42 4 log 0.330.4 4.（2007 山东文） 设函数 3 yx与 2 1 2 x y 的图象的交点为 00 ()xy，则 0 x所在的区间 是（） A(01)，B(12)，C(2 3)，D(3 4)， 5（2006 江西文、理） 若不等式 2 10xax对一切 1 0 2 x ，成立，则a的最小值为 （） 02 5 2 3 6.( 2006 北京理 ) 已知 1,log 1,4) 13( )( xx xaxa xf a 是(,)上的减函数 , 那么a的取值 范围是 ( ) （A）(0,1)（B） 1 (0,) 3

3、 （C） 1 1 ,) 7 3 （ D） 1 ,1) 7 7(2008 陕西理 )定义在R上的函数( )fx满足()( )( )2f xyf xfyxy（xyR，）， (1)2f，则( 3)f等于（） A 2 B3 C6 D9 8（2007 四川文、理）函数 f(x)=1+log2x 与 g（x） =2 -x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是 （） 9(2008 天津文 ) 已知函数 20 ( ) 20 xx f x xx ， ， ， 则不等式 2 ( )f xx的解集为（） A11 ，B2 2，C21 ，D12， 10（2008 北京理） 若实数xy，满足 10 0 0 xy xy x ，

4、 ， ， 则 2 3 xy z的最小值是（） A0 B1 C3D9 二、填空题 : （每小题 5 分，计 35 分） 11、（2006 全国卷文） 已知函数 12 1 )( x axf，若fx为奇函数， 则a_。 12 （2004 全国卷文科）函数)1(log 2 1 xy的定义域 是. 13.（2002 春招上海） 设 f(x)是定义在R 上的奇函数 . 若当 x0 时， f(x)=log3(1+x),则 f( 2)= . 14 （2004 浙江文、理）已知 ,0, 1 ,0, 1 )( x x xf则不等式)2()2(xfxx 5的解集 是。 15 （2006 辽宁文、理）设 ,0. (

5、) ,0. x ex g x lnx x 则 1 ( ) 2 g g_ 16.（2006 天津文、理）某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x吨，运费为4 万元 / 次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨 17.（2007 湖北文、理）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放 过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 at y 16 1 （a 为常数），如图所示，根据图中提供的 信息，回答下列问题： （）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时

6、间t（小时） 之间的函数关系式为_ （）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 毫克以下时，学生方可 进教室， 那从药物释放开始，至少需要经过_ 小时后， 学生才能回到教室. 三、解答题： (18、19 题各 12 分，20 题 13 分，21、22 题各 14 分，满分为 65分) 18.（2006全国 卷文） 设aR，函数 2 ( )22 .f xaxxa若( )0f x的解集为 A， |13 ,BxxAB，求实数 a的取值范围。 19.（2001 春招北京、内蒙古、安徽文、理）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成 本为 1 万元 /辆，出厂价为1.2 万元 /辆，年销售量为

7、1000 辆本年度为适应市场需求，计划提 高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为)10(xx，则出厂价相 应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x已知年利润 =（出厂价投入 成本）年销售量 （）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； （）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 20.（2007 山东文） 本公司计划2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告， 广告总费用不超过9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和 200 元 /分钟， 规定甲、乙两个电视台为该公司

8、所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大 收益是多少万元？ 21(2005 全国卷文科)已知二次函数)(xf的二次项系数为a，且不等式xxf2)(的解集 为（ 1，3）. （ 1）若方程06)(axf有两个相等的根，求)(xf的解析式； （ 2）若)(xf的最大值为正数，求a 的取值范围 . 22.（2006 江苏） 设 a 为实数，设函数xxxaxf111)( 2 的最大值为g(a)。 （） 设 txx11，求 t 的取值范围， 并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t)； （）求 g(a)

9、 的表达式。 函数与不等式单元测试题（A）参考答案 一、选择题：（每小题5 分，计 50 分。请将正确答案的代号填入下表） 题号12345678910 答案DCCBCCCCAB 二、填空题 : （每小题 5 分，计 35 分） 11 2 1 ；12。2, 1； 13。 -1 ； 14。 2 3 ,；15。 2 1 ；16。 20 ； 17. )1 .0( , 16 1 )1 .00( ,10 1. 0 t tt y t ，0.6 。 三、解答题： (18、19 题各 12 分，20 题 13 分，21、22 题各 14 分，满分为 65分) 18解法一： (1) 若 a=0，则 f(x)= -

10、2x ，( )0f x的解集为 A=x|x0, 即 f(x) 在区间 (1,3)上是减函数，要使A B?， 只需 f(1)0即可，即a-2-2a0, 解得 a0 时，0 1 a ，-2a0即可， 即 9a-6-2a0, 解得 a 7 6 . 综上，使AB ?成立的 a 的取值范围为 6 (, 2)(,) 7 19.解：（）由题意得)10)(6. 01(1000)1(1)75. 01(2. 1xxxxy， 整理得) 10(2002060 2 xxxy （）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 . 10 ,01000) 12.1 ( x y 即 . 10 ,02060 2 x xx 解不等

11、式得 3 1 0x 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 33.00x 20解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元， 由题意得 300 50020090000 00. xy xy xy ， ， ， 等价于 300 52900 00. xy xy xy ， ， ， 目标函数为30002000zxy 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图： 作直线:300020000lxy， 即320xy 平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时， 目标函数取得最大值 联立 300 52900. xy xy ， 解得100200xy

12、， 点M的坐标为(100 200)， max 30002000700000zxy（元） 答：该公司在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台 做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70 万元 21解：（）).3 , 1(02)(的解集为xxf因而且. 0),3)(1(2)(axxaxxf .3)42(2)3)(1()( 2 axaaxxxxaxf 由方程 .09)42(06)( 2 axaaxaxf得 因为方程有两个相等的根，所以 094)42( 2 aaa， 即. 5 1 1.0145 2 aaaa或解得 由于 5 1 .1,0aaa将舍去代入得)(xf的解析式 . 5 3 5 6

13、5 1 )( 2 xxxf （）由 a aa a a xaaxaaxxf 14 ) 21 (3)21(2)( 2 22 0 100 200 300 100 200 300 400 500 y x l M 及. 14 )(,0 2 a aa xfa的最大值为可得 由 , 0 ,0 14 2 a a aa 解得. 03232aa或 故当)(xf的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 ).0,32()32,( 20解：11txx 要使有 t 意义，必须1+x0 且 1-x 0，即 -1 x1, 22 22 12,4,txt 0 t 的取值范围是 2,2. 由得 221 11 2 xt m(t)=a(

14、 2 1 1 2 t)+t= 2 1 ,2, 2 2 atta t （2）由题意知g(a)即为函数 2 1 ( ),2, 2 2 m tatta t的最大值。 当 a=0 时， m(t)=t, 2,2t , g(a)=2. 当 a0 时，直线 1 t a 是抛物线 2 1 ( ) 2 m tatta的对称轴，分以下几种情况讨 论。 当 a0 时，函数y=m(t),2,2t的图象是开口向上的抛物线的一段， 由 1 t a 2 的解集为（） (A) （1，2）（3，+）(B) （10，+） (C) （1， 2）（10，+）(D) （1， 2） 6.(2007 北京文 )若不等式组 5 02 xy

15、ya x ， ， 表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 （） 5a7a57a5a或7a 7(2008 福建文 )若实数 x,y 满足 0 0 2 xy x y ，则 y x 的取值范围是（） (0,2)(0,2(2,)2,) 8（ 2003 全国、广东、天津、江苏、辽宁）设函数 00 2 1, 1)( 0, , 0, 12 )(xxf xx x xf x 则若 的 取值范围是（） （A）（ 1，1）（B）( 1,) （C）（，2）（ 0， +）（D）（， 1）（ 1，+） 9(2008 江西理 )已知函数 2 22 41,fxmxm xg xmx，若对于任一实数x， fx与g x的值至

16、少有一个为正数，则实数m的取值范围是（） A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(， 0) 10. （ 2006 重庆理） 如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x) 表示弧AB与弦AB所围成的弓形 面积的倍，则函数y=f(x) 的图象是（） 二、填空题 : （每小题 5 分，计 20 分） 11. (2008 上海理 ) 设函数 f( x) 是定义在R上的奇函数，若当x(0,+ ) 时， f( x) lg x， 则满足 f( x) 0 的 x 的取值范围是. 12(2005 江苏卷 )函数)34(log 2 5. 0 xxy的定义域为 _ 13.（2007 湖南文、理）设集合 ,|2|

17、,0 ,|,Ax yyxxBx yyxbAB， b的取值范围是. 14（2007 山东文） 函数 1 (01) x yaaa，的图象恒过定点A，若点A在直线 10(0)mxnymn上，则 11 mn 的最小值为 三、解答题： (15、16 题各 12 分，其余题各 14 分，满分为 80 分) 15.（2007 上海文） 已知函数0()( 2 x x a xxf，常数)aR （1）当2a时，解不等式12)1()(xxfxf； （2）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由 16. （2004 全国卷文、 理）某村计划建造一个室内面积为800 2 m的矩形蔬菜温室。 在温室内， 沿左右两侧与后侧内墙

18、各保留1m宽的通道， 沿前侧内墙保留3m宽的空地。 当矩形温 室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？ 17(2001 江西、山西、天津理科)设 x x e a a e xfa)(,0是 R 上的偶函数 （）求a 的值；（）证明f（x）在（ 0，+）上是增函数 18.(2003 上海文科 )已知函数 x x x xf 1 1 log 1 )( 2 ，求函数)(xf的定义域， 并讨论它的奇偶 性和单调性 . 19.（2004 北京理） 某段城铁线路上依次有A、B、C 三站， AB=5km ，BC=3km ，在列车运行 时刻表上，规定列车8 时整从 A 站发车， 8 时 07

19、分到达 B 站并停车1 分钟， 8 时 12 分到达 C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 vkm h/匀速行驶， 列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在 该站的运行误差。 （I）分别写出列车在B、C 两站的运行误差 （II）若要求列车在B，C 两站的运行误差之和不超过2 分钟，求v的取值范围 20.（ 2006 浙江理） 设 f(x)=3ax0.2 2 cbacbx若,f(0)0，f(1)0，求证： ()a0 且-2 a b -1；()方程 f(x)=0 在（ 0，1）内有两个实根. 函数与不等式单元测试题

20、（B）参考答案 一、选择题：（每小题5 分，计 50 分。请将正确答案的代号填入下表） 题号12345678910 答案ACABCCDDBD 二、填空题 : （每小题 5 分，计 20 分） 11., 10 , 1； 12. 1 , 4 3 0 , 4 1 ； 13. , 2； 14 4 三、解答题： (15、16 题各 12 分，其余题各 14 分，满分为 80 分) 15. 解： （1）12 1 2 ) 1( 222 x x x x x，整理，得0 1 22 xx ， 即0)1(xx 原不等式的解为10x （2）当0a时， 2 )(xxf， 对任意(0)(0)x， )()()( 22 xf

21、xxxf， )(xf为偶函数 当0a时， 2 ( )(00) a f xxax x ， 取1x，得( 1)(1)20( 1)(1)20ffffa， ( 1)(1)( 1)(1)ffff， 函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数 16.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则.800ab 蔬菜的种植面积)2)(4(baS ).2(2808 824 ba abab 所以).(64824808 2 mabS 当).(648,)(20),(40,2 2 mSmbmaba 最大值 时即 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植 面积为 648m

22、2. 17解：（）依题意，对一切Rx有)()(xfxf，即 , 1 x xx x ae aee a a e 所以 0) 1 )( 1 ( x x e e a a 对一切Rx成立 . 由此得到,0 1 a a即 a 2=1. 又因为 a0，所以 a=1. （II）证明一：设0x1x2， ) 1 1 )( 11 )()( 21 12 21 21 21 xx xx xx xx e ee ee eexfxf , 1 )1( 12 12 121 xx xx xxx e e ee 由,0, 0, 0,0 211221 xxxxxx得.01 , 01 1212 xxxx ee ,0)()( 21 xfxf

23、即 f（x）在（ 0，+）上是增函数 证明二：由 xx eexf)( 得 ).1()( 2xxxx eeeexf 当), 0(x时，有 , 01,0 2xx ee 此时 . 0)(xf 所以 f（x）在（ 0，+）上是增函数 18.解x 须满足, 110 1 1 , 0 1 1 0 x x x x x x 得由 所以函数)(xf的定义域为（1，0）（ 0，1）. 因为函数)(xf的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有 )() 1 1 log 1 ( 1 1 log 1 )( 22 xf x x xx x x xf，所以)(xf是奇函数 . 研究)(xf在（ 0，1）内的单调性，任取x1

24、、 x2（ 0， 1），且设x10，即)(xf在（ 0， 1）内单调递减， 由于)(xf是奇函数，所以)(xf在（ 1， 0）内单调递减. 19. 解：（ I）列车在 B，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 | 300 7 v 和| 480 11 v （II）由于列车在B，C 两站的运行误差之和不超过2 分钟，所以 | | 300 7 480 112 vv （*） 当0 300 7 v时，（ *）式变形为 300 7 480 112 vv , 解得39 300 7 v 当 300 7 480 11 v时，（ *）式变形为7 300480 112 vv , 解得 300 7 480 11 v

25、 当v 480 11 时，（ *）式变形为7 00 11 480 2 vv , 解得 480 11 195 4 v 综上所述，v的取值范围是39， 195 4 20.证明：（ I）因为(0)0,(1)0ff，所以0,320cabc. 由条件0abc，消去b，得0ac； 由条件0abc，消去c，得0ab，20ab. 故21 b a . （II）抛物线 2 ( )32f xaxbxc的顶点坐标为 2 3 (,) 33 bacb aa ， 在21 b a 的两边乘以 1 3 ，得 12 333 b a . 又因为(0)0,(1)0,ff而 22 ()0, 33 bacac f aa 所以方程( )0f x在区间(0,) 3 b a 与(,1) 3 b a 内分别有一实根。 故方程( )0f x在(0,1)内有两个实根 .