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1、2017-2018 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷（文科） 第卷（共60 分） 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 命题“ xR，使得 32 10xx”的否定是（） AxR，都有 32 10xxBxR，都有 32 10xx CxR，都有 32 10xxDxR，都有 32 10xx 2. 已知函数 2 ( )f xaxc，且(1)2f，则实数a的值为（） A1B2C 1 D0 3. 若焦点在x轴的椭圆 22 1 2 xy m 的离心率为 1 2 ，则实数m等于（） A2B 3 2 C 8 5
2、D 2 3 4. 命题“若 22 1xy，则2xy”的逆否命题为（） A若2xy，则 22 1xyB若2xy，则 22 1xy C若2xy，则 22 1xyD若2xy，则 22 1xy 5. 已知曲线 2 3ln 4 x yx的一条切线的斜率为 2 ，则切点的横坐标为（） A2B 2 C3D 2或3 6. 已知抛物线的方程为 2 2yax，且过点(1,4)，则焦点坐标为（） A(1,0)B 1 (,0) 16 C 1 (0,) 16 D(0,1) 7. 设aR，则“1a”是“ 2 20aa”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 8. 已知函数 2 sin (
3、 ) xx f x x ，则该函数的导函数( )fx等于（） A 2 2cosxx x B2cosxx C 2 2cossinxxxx x D 2 2 cossinxxx x 9. 已知命题p：对任意(,) 22 x，cos tan0xx；命题q：存在实数a，使函数 2 ( )21f xxax（xR）有零点，则下列命题为真命题的是（） Ap且qBp或()qC()p且qDp且()q 10. 若圆C： 22 (1)1xy经过双曲线 22 1 2 yx m 的一个焦点，则圆心C到该双曲线的渐 近线的距离为（） A 2 2 B2C 3 2 2 D2 2 11. 若三次函数( )yf x的导函数( )f
4、x的图象如图所示，则( )f x的解析式可以是（） A4 2B6 2C4D6 12 已知点 P在椭圆 22 1 123 xy 上， 1 F、 2 F分别是椭圆的左、右焦点， 1 PF的中点在y轴上， 则 1 2 | | PF PF 等于（） A7B5C4D3 第卷（共90 分） 二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知双曲线的方程为 22 1 412 xy ，则渐近线方程为 14. 某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为2Stt（t的单位为秒，S的单 位为米），则它在第4 秒末的瞬时速度应该为米/ 秒 15. 已知抛物线C的焦点在x轴正半轴上且顶点在原点
5、，若抛物线C上一点(,2)m（1m） 到焦点的距离是 5 2 ，则抛物线 C的方程为 16. 给出下列命题： xR， 且0x， 1 2x x ； xR， 使得 2 12xx； 若0x， 0y，则 22 2 2 xyxy xy ；当(1,2)x时，不等式 2 40xmx恒成立， 则实数m的 取值范围是5m其中所有真命题的序号是 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 已知 p：方程 22 1 46 xy kk 表示双曲线； q：过点(2,1)M 的直线与椭圆 22 1 5 xy k 恒 有公共点，若pq为真命题，求实数k的取值范围 18.
6、 设函数( ) b f xax x ，曲线( )yfx在点(2,(2)f处的切线方程为74120xy （1）求( )f x的解析式； （2）设( )( )g xf xx，证明：函数( )yg x图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的 三角形面积为定值，并求此定值 19. 已知直线l：1()ykxkR和抛物线 2 4yx （1）若直线 l与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围； （2）当1k时，直线l与抛物线相交于A、B两点，求|AB的长 20. 设p：实数x满足 22 430xaxa；q：实数x满足131x （1）若 1a ，且 pq为真，求实数x的取值范围； （2）若0a且p是q的充分不
7、必要条件，求实数a的取值范围 21. 已知函数 22 ( )ln(1)f xxa xax a （1）证明：函数( )f x在区间(1,)上是减函数； （2）当1a时，证明：函数( )f x只有一个零点 22. 设 11 (,)A xy， 22 (,)B xy是椭圆 22 22 1(0) yx ab ab 上的两点，若 1212 22 0 x xy y ba ，且 椭圆的离心率为 3 2 e，短轴长为2，O为坐标原点 （1）求椭圆的方程； （2）若直线AB过椭圆的焦点(0, )Fc（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值 2017-2018 学年度第一学期期中考试高二数学试卷（文科）答案 一、选择
8、题 1-5:AABAC 6-10:CBDCA 11、12：DA 二、填空题 13.3yx 14. 3 2 15. 2 2yx 16. 三、解答题 17. 解：若p为真命题，得(4) (6)0kk，46k 若q为真命题，得 22 21 1 5 5, 0, k k k 5k ， 又pq为真命题，则56k， 所以k的取值范围是(5,6) 18. 解： （1）方程74120xy可化为 7 3 4 yx 当2x时， 1 2 y， 又 2 ( ) b fxa x ， 于是 1 2, 22 7 , 44 b a b a 解得 1, 3, a b 故 3 ( )f xx x （2）由题意知 3 ( )( )g
9、 xf xx x ， 2 3 ( )g x x 设 0 0 3 (,)P x x 为函数( )yg x图象上的任一点， 则过点P的切线方程为 02 00 33 ()yxx xx ， 令0x，则 0 6 y x ；令0y，则 0 2xx， 所以过点 P的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为 0 0 16 | |2|6 2 x x ， 故函数( )yg x图象上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为定值，且定值为6 19. 解： （1）由 2 1, 4 , ykx yx 得 22 (24)10k xkx， 22 (24)40kk，且0k， 解得1k且0k （2） 1k 时，设 11 (,)A
10、x y， 22 (,)B xy，由（ 1）得 2 610xx， 12 6xx， 12 1x x，所以 2 12 |644 2xx， 所以 2 12 |1|24 2ABkxx8 20. 解： （1）由 22 430xaxa，得(3 )()0xaxa， 当1a时，13x，即p为真时，实数x的取值范围是(1,3)， 由131x，得24x，即q为真时，实数x的取值范围是(2,4)， 若p q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是(2,3) （2）由 22 430xaxa，得(3 )()0xaxa， p是q的充分不必要条件，即pq，且qp， 设 22 |430Ax xaxa，|3131Bx xx或
11、，则AB， 又 22 |430Ax xaxa|3x xaxa或， |3131Bx xx或|42x xx或， 则0 2a ，且3 4a ， 所以实数a的取值范围是 4 ,2 3 21证明：（1）显然函数 22 ( )lnf xxa xax的定义域为(0,) 2 1 ( )2fxa xa x 22 21(21)(1)a xaxaxax xx . 1a，1x，210ax，10ax，( )0fx， 所以函数( )f x在(1,)上是减函数 . （2）当1a时， 2 ( )lnf xxxx，其定义域是(0,)， 2 121 ( )21 xx fxx xx 令( )0fx，即 2 21 0 xx x ，解
12、得 1 2 x或1x. 0x ， 1 2 x舍去 . 当0 1x 时，( )0fx；当 1x 时，( )0fx 函数( )f x在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)上单调递减， 当1x时，函数( )f x取得最大值，其值为 2 (1)ln1110f， 当1x时，( )(1)f xf，即( )0f x， 函数( )f x只有一个零点 22. 解： （1）22b，1b 又 22 3 2 cab e aa ， 2a，3c，椭圆的方程为 2 2 1 4 y x. （2）由题意，设 AB的方程为3ykx ，由 2 2 3, 1, 4 ykx y x 整理得 22 (4)2 310kxkx， 122 2 3 4 k xx k ， 12 2 1 4 x x k ， 2 1212 12121212 22 133 (3)(3)(1)()0 4444 x xy ykk x xkxkxx xxx ba ， 即 2 22 4132 33 ()()0 44444 kkk kk ，解得2k