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1、第三章导数及其应用【考点集训】考点一导数的概念与几何意义1.(2018课标全国,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案2x-y-2=02.(2017湖南衡阳八中期中,14)曲线f(x)=xex在点(1,f(1)处的切线的斜率是.答案2e考点二导数的运算1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f (x),且满足f(x)=2xf (1)+ln1x,则f(1)=() A.-eB.2C.-2D.e答案B2.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为()A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2
2、C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=ex+x答案C3.(2019届陕西延安模拟,7)已知函数f(x)=22 019x+1+sin x,其中f (x)为函数f(x)的导数,则f(2 018)+f(-2 018)+f (2 019)-f (-2019)=()A.2B.2 019C.2 018D.0答案A4.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,10)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f f(0)(x), f(2)(x)=f f(1)(x), f(n)(x)=f f(n-1)(x),则f(1)(15)+f(2)(15)+f(3)(15)+f(2 017)(15)的值是()
3、A.6+24B.6-24C.0D.1答案A炼技法【方法集训】方法1求函数的导数的方法1.(2018湖南邵阳三模,4)已知函数f(x)=f (-2)ex-x2,则f (-2)=() A.e2e2-1 B.4(e2-1)e2 C.e2-14e2 D.4e2e2-1答案D2.(2019届福建福州模拟,4)已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1)处的切线方程是y=12x+2,则f(1)+f (1)的值等于()A.1B.52C.3D.0答案C方法2利用导数的几何意义求曲线的切线方程1.(2019届黑龙江东安模拟,5)设点P是曲线y=x3-3x+35上的任意一点,点P处切线的倾斜角为,则角的取值范
4、围是()A.0,23 B.0,223,C.2,23 D.3,23答案B2.(2017山西孝义模拟,14)曲线f(x)=x2过点P(-1,0)的切线方程是.答案y=0或4x+y+4=03.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值是.答案3过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组1.(2018课标全国,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x答案D2.(2017课标全国,14,5分)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为.答
5、案x-y+1=03.(2016课标全国,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x4.(2015课标,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则a=.答案15.(2018课标全国,21,12分)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a1时, f(x)+e0.解析本题考查导数的几何意义、导数的综合应用.(1)f (x)=-ax2+(2a-1)x+2ex, f (0)=2.因此曲线y=f(
6、x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)当a1时, f(x)+e(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.当x-1时,g(x)-1时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)g(-1)=0.因此f(x)+e0.B组自主命题省(区、市)卷题组考点一导数的概念与几何意义 1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin x B.y=ln xC.y=ex D.y=x3答案A2.(2017天津,1
7、0,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案13.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.答案(e,e)考点二导数的运算1.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为.答案e2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为.答案33.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数,
8、f (x)为f(x)的导函数.若f (1)=3,则a的值为.答案3C组教师专用题组1.(2010课标全国,4,5分)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为() A.y=x-1 B.y=-x+1C.y=2x-2 D.y=-2x+2答案A2.(2012课标全国,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-33.(2013江西,11,5分)若曲线y=x+1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则=.答案24.(2013广东,12,5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.答案125.(2011课标,21,12分)
9、已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a,b的值;(2)证明:当x0,且x1时, f(x)lnxx-1.解析(1)f (x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx2.由于直线x+2y-3=0的斜率为-12,且过点(1,1),故f(1)=1,f (1)=-12,即b=1,a2-b=-12.解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=lnxx+1+1x,所以f(x)-lnxx-1=11-x22lnx-x2-1x.考虑函数h(x)=2ln x-x2-1x(x0),则h(x)=2x-2x2-(x2-1)x2=-(x-
10、1)2x2.所以当x1时,h(x)0,可得11-x2h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0.从而当x0,且x1时, f(x)-lnxx-10,即f(x)lnxx-1.6.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x2ex.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解析(1)由题意知,曲线y
11、=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为2,所以f (1)=2,又f (x)=ln x+ax+1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x2ex,当x(0,1时,h(x)1-1=0,所以存在x0(1,2),使得h(x0)=0.因为h(x)=ln x+1x+1+x(x-2)ex,所以当x(1,2)时,h(x)1-1e0,当x(2,+)时,h(x)0,所以当x(1,+)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,
12、2)内存在唯一的根x0,且x(0,x0)时, f(x)g(x),所以m(x)=(x+1)lnx,x(0,x0,x2ex,x(x0,+).当x(0,x0)时,若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0),由m(x)=ln x+1x+10,可知00,m(x)单调递增;x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减,可知m(x)m(2)=4e2,且m(x0)m(2).综上可得函数m(x)的最大值为4e2.【三年模拟】时间:50分钟分值:70分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018广东佛山一中期中考试,11)已知f(x)=(x+a)ex的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直,则a=() A.-
13、1B.0C.1D.2答案A2.(2017四川名校一模,6)已知函数f(x)的图象如图, f (x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是()A.0f (2)f (3)f(3)-f(2)B.0f (3)f (2)f(3)-f(2)C.0f (3)f(3)-f(2)f (2)D.0f(3)-f(2)f (2)0),若曲线f(x)上存在不同两点A,B,使得曲线f(x)在点A,B处的切线垂直,则实数a的取值范围是()A.(-3,3)B.(-2,2)C.(-3,2) D.(-2,3)答案A5.(2018广东广州第一次调研,8)已知直线y=kx-2与曲线y=xln x相切,则实数k的值为()A.ln
14、2B.1C.1-ln 2D.1+ln 2答案D6.(2018河南天一大联考,10)已知f(x)是定义在R上的单调函数,满足ff(x)-ex=1,则曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程为()A.y=x+1 B.y=x-1C.y=-x+1 D.y=-x-1答案A7.(2019届河南洛阳模拟,11)已知函数f(x)=ex+ax2(aR),若曲线y=f(x)在点P(m, f(m)(m1)处的切线为l,且直线l在y轴上的截距小于1,则实数a的取值范围是()A.-12,+B.-1,+)C.-12,+D.-1,-12答案B二、填空题(共5分)8.(2017广东韶关六校联考,14)已知函数f(x)=l
15、n x-ax2,且曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线的斜率是-12,则a=.答案14三、解答题(共30分)9.(2017河南新乡第一次调研,20)已知函数f(x)=ex-x2+2ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ex-x2+2x,f (x)=ex-2x+2,f (1)=e,f(1)=e+1,所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.(2)f (x)=ex-2x+2a,f(x)在R上单调递增,f (x)0在R上恒成立,ax-ex2在R上恒成立.令g(
16、x)=x-ex2,则g(x)=1-ex2,令g(x)=0,得x=ln 2,在(-,ln 2)上,g(x)0,在(ln 2,+)上,g(x)0,g(x)在(-,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+)上单调递减,g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,aln 2-1,实数a的取值范围为ln 2-1,+).10.(2019届河南郑州模拟,21)设函数f(x)=ax2-(x+1)ln x,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的斜率为0.(1)求a的值;(2)求证:当012x.解析(1)f (x)=2ax-ln x-1-1x,由题意可得f (1)=2a-2=0,a=1.(2)证明:当012x,
17、只需证x-lnxx-ln x12,即证x-ln xlnxx+12.令g(x)=x-ln x,h(x)=lnxx+12,则g(x)=1-1x,h(x)=1-lnxx2.令g(x)=1-1x=0,解得x=1,易知g(x)在(0,1)上递减,在(1,2上递增,故g(x)min=g(1)=1.由h(x)=1-lnxx2可知:h(x)在(0,2上递增,故h(x)max=h(2)=1+ln221=g(x)min,故h(x)12x.11.(2017皖南八校12月联考,21)已知函数f(x)=ex-ax2-2ax-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程;(2)当x0时, f
18、(x)0恒成立,求a的取值范围.解析(1)当a=1时, f(x)=ex-x2-2x-1, f(-1)=1e,所以切点坐标为-1,1e.因为f (x)=ex-2x-2,所以f (-1)=1e,故曲线y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程为y-1e=1ex-(-1),即y=1ex+2e.(2)对f(x)=ex-ax2-2ax-1求导得f (x)=ex-2ax-2a,令g(x)=f (x)=ex-2ax-2a(x0),则g(x)=ex-2a(x0).当2a1,即a12时,g(x)=ex-2a1-2a0,所以g(x)=ex-2ax-2a在(0,+)上为增函数,所以g(x)g(0)=1-2a0,则f(x)在(0,+)上为增函数,所以f(x)f(0)=1-0-0-1=0,故a12时符合题意.当2a1,即a12时,令g(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a0,当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表,x(0,ln 2a)ln 2a(ln 2a,+)g(x)-0+g(x)减函数极小值增函数当x(0,ln 2a)时,g(x)g(0)=1-2a0,即f (x)0.所以f(x)在(0,ln 2a)上为减函数,所以f(x)f(0)=0,与条件矛盾,故舍去.综上,a的取值范围是-,12.