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1、4.3简单线性规划的应用课后篇巩固探究A组1.已知点(x,y)构成的平面区域如图阴影部分,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为()A.-720B.720C.12D.720或12解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则-m=kAC=225-31-5=-720,解得m=720.答案:B2.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C23,45是该目标函数z=ax-y唯一的最优解,则a的取值范围是() A.-103,-512B.-125,-310C.310,125D.-125,310解析:最优解为点C,则目标函数表示的直
2、线斜率在直线BC与AC的斜率之间.因为kBC=-310,kAC=-125,所以a-125,-310.答案:B3.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件x+y-30,x-2y-30,xm,则实数m的最大值为.解析:由约束条件作出其可行域如图.由图可知,当直线x=m过直线y=2x与x+y-3=0的交点(1,2)时,m取得最大值,此时m=1.答案:14.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B类产
3、品140件,则所需租赁费最少为元.解析:设甲种设备需要生产x天,乙种设备需要生产y天,此时该公司所需租赁费为z元,则z=200x+300y.又因为5x+6y50,10x+20y140,xN,yN,即x+65y10,x+2y14,xN,yN.画出该不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.解x+65y=10,x+2y=14,得x=4,y=5,即点A(4,5).由z=200x+300y,得直线y=-23x+z300过点A(4,5)时,z=200x+300y取得最小值,为2 300元.答案:2 3005.导学号33194075设不等式组x+y-110,3x-y+30,5x-3y+90表示的平面区域为
4、D.若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是.解析:画出可行域如图阴影部分,易知当a(0,1)时不符合题意,故a1.由x+y-11=0,3x-y+3=0得交点A(2,9).由图像可知,当y=ax的图像经过该交点A时,a取最大值,此时a2=9,所以a=3.故a(1,3.答案:(1,36.某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5 kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50 000 kg,问饲料怎样混合,才使成本最低?解设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y
5、 kg,每周总的饲料费用为z元,则x+y35 000,y15x,0x50 000,y0,而z=0.28x+0.9y,如图,作出不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x+0.9y=t.其中经过可行域内的点A时,z最小,又直线x+y=35 000和直线y=15x的交点A87 5003,17 5003.即x=87 5003,y=17 5003时,饲料费用最低.答:谷物饲料和动物饲料应按51的比例混合,此时成本最低.B组1.某学校用800元购买A,B两种教学用品,A种用品每件100元,B种用品每件160元,两种用品至少各买一件,要使剩下的钱最少,A,B两种用品应各买的件数为() A
6、.1件,4件B.3件,3件C.4件,2件D.不确定解析:设买A种用品x件,B种用品y件,剩下的钱为z元,则x1,xN,y1,yN,100x+160y800,求z=800-100x-160y取得最小值时的整数解(x,y),用图解法求得整数解为(3,3).答案:B2.已知x,y满足条件y0,yx,2x+y+k0(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=()A.-16B.-6C.-83D.6解析:由z=x+3y得y=-13x+z3.先作出y0,yx的图像,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以直线2x+y+k=0过直线x+3y=8与直线y=x的交点A,由x+3y=8,y=x,解得A
7、(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6.故选B.答案:B3.已知在图中的可行域内(阴影部分,且包括边界),目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a的值为()A.-3B.3C.-1D.1解析:当a=0时,z=x.仅当直线x=z过点A(1,1)时,目标函数z有最小值1,与题意不符.当a0时,y=-1ax+za.斜率k=-1a0,仅当直线z=x+ay过点A(1,1)时,直线在y轴的截距最小,此时z也最小,与目标函数取得最小值的最优解有无数个矛盾.当a0,为使目标函数z取得最小值的最优解有无数个,当且仅当斜率-1a=kAC,即-1a=13,故a=-3.答案:A4.导学号33194
8、076已知点M在不等式组x-20,3x+4y4,y-30所表示的平面区域上,点N在曲线x2+y2+4x+3=0上,则|MN|的最小值是()A.12B.1C.2103-1D.2103解析:如图,画出平面区域(阴影部分所示),由圆心C(-2,0)向直线3x+4y-4=0作垂线,圆心C(-2,0)到直线3x+4y-4=0的距离为|3(-2)+40-4|32+42=2,又圆的半径为1,所以可求得|MN|的最小值是1.故选B.答案:B5.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景,于是先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,则他们合理设计租船方案后,所付租金最少为
9、元.船型每只船限载人数租金/(元/只)大船512小船38解析:设租大船x只,小船y只,则xN,yN,5x+3y48,租金z=12x+8y,作出可行域如图,由图可知,当直线z=12x+8y经过点(9.6,0)时,z取最小值,但x,yN,所以当x=9,y=1时,zmin=116.答案:1166.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表:ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.解析:设购买铁矿石A,B分别为x万吨和y万吨,购买铁矿石的费用为z百万元,则
10、0.5x+0.7y1.9,x+0.5y2,x0,y0,目标函数z=3x+6y,作出可行域如图.由0.5x+0.7y=1.9,x+0.5y=2,得x=1,y=2.记P(1,2),当目标函数z=3x+6y过点P(1,2)时,z取到最小值15.答案:157.导学号33194077(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于
11、30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为70x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,即7x+6y60,x+y6,x-2y0,x0,y0,该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-125x+z25,这是斜率为-125,随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距,当z25取得最大值时,z的值最大.图1图2又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距z25最大,即z最大.解方程组7x+6y=60,x-2y=0,得点M的坐标为(6,3).所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.