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1、金融数学复习题1.给定三种证券的方差协方差矩阵为计算等比例证券组合的方差。解：已知三种证券等比例组合，故该证券组合为，又由公式求得组合的方差为2.设和为两种证券，且它们的收益率相等，那么这两种证券的组合的前沿是什么？解：设两种证券的收益率分别为和，前沿上的证券组合的期望收益率为，方差为，得到：，所以这两种证券的组合的前沿是点。3.设和是两种证券的期望收益率，并设，求它们的有效前沿和最小方差组合。解：设证券组合的形式为，得到期望收益率和方差如下：代入数据，消去，推得有效前沿为根据抛物线性质，要使最小，代入数据得整理得：，因此，当时，最小，得到最小方差组合为。4. 设和是两种证券的期望收益率，并设
2、，设无风险利率是0.08，求切点证券组合。解：由所给出的数据：根据公式，得切点的投资比例即在风险证券投资中，把资金的购买第一种股票，以购买第二种股票。5.什么是资本市场线？什么是证券市场线？请用证券收益率的表达式写出它们的表达式，并指出它们的不同含义及相互关系。解：资本市场线：市场证券组合M的有效前沿在平面上，从点出发，过点的一条射线。，给出均衡状态下有效证券组合的期望回报率和标准差的线性关系。证券市场线：市场证券组合M的有效前沿在平面上，过和的直线。，给出均衡状态下任何风险资产的超回报和市场组合的超回报成比例关系。资本市场线给出证券组合的期望回报率和标准差的关系，证券市场线给出单个风险证券的
3、期望回报率和标准差的关系。6.设无风险利率为0.07，市场证券组合的期望回报率为0.15，计算：（1）市场风险溢价；（2）一个贝塔系数为1.25的投资所要求的回报率。解：（1）由于市场风险溢价等于期望回报率减去无风险利率，故得到（2）由CAPM，证券的均衡期望回报率为7.所有有风险资产市场组合的期望收益率为10%，无风险利率为4%，证券A的贝塔值为0.85，证券B的贝塔值为1.20，a.画出证券市场线；b.证券A和B的均衡期望收益率是多少？解：由CAPM，证券的均衡期望回报率为8.根据单因素模型，有两个组合A和B均衡期望收益率分别为9.8%和11.0%，如果因素敏感性分别为0.80和1.0，求
4、无风险利率。解：设无风险利率为，风险溢价为，根据单因素模型得到代入数据，解得9.设一风险证券与两个因素有关，且他们的期望回报率分别为0.10和0.12，无风险利率为0.04，又已知证券对两因素的灵敏度分别为0.5和0.75，用套利定价理论求该证券的期望回报率。解：根据套利定价理论，得到期望回报率为10.什么是实值期权，虚值期权和平价期权？解：在任何时刻t，对一个call，如果当时的股票价格，则称call为实值期权；如果，称call为虚值期权；如果，称call为平价期权。11.什么是期权的内在价值和时间价值？解：期权的内在价值是指期权立即履约时的价值。期权的时间价值指的就是未来转换期权的期望价值
5、。12.现在买入一个基础资产同时卖出一个欧式看涨期权，试给出该投资组合在到期日T时刻的损益表达式。（具体符号自定）解：设以卖出欧式看涨期权，基础资产的价格为，执行价为X，在到期日T时刻的证券价格，该投资组合的损益为，则13.设一个期权策略组合（称为看涨垂直差价）如下：用5元的价格买一个执行价为55元的call，以3元的价格写一个执行价为60元的call，它们的到期日一样，写出该策略组合的到期日利润和证券价格的函数关系作图显示。解：买一个call，元，元。则这种策略损益为写一个call，元，元。则这种策略损益为所以看涨垂直差价期权策略组合的损益为14.证明：put-call平价公式。命题：对同一
6、种股票，同一个执行价格及同样到期日且股票在到期日之前不分红的欧式看涨和看跌期权价格有如下关系：，put-call parity（平价）其中，为0到T期无风险利率。证明：用反证法。如果，则。考虑如表1所示投资组合。由表1看出，此时存在套利机会，故此不等式不成立。表1投资组合在0时投资在时现金流买一份看涨期权写一份看跌期权卖空股票货款总计反之，如果，则。考虑如表2所示投资组合。由表2看出，此时存在套利机会，故此不等式不成立。表2投资组合在0时投资在时现金流买一份看涨期权写一份看跌期权卖空股票货款总计由于两个不等式不成立，所以有或。15.对于一个不分红的美式看涨期权来说，为什么我们不会在到期日之前执
7、行它？解：由美式和欧式期权的定义知，在相同条件下，一份美式期权的价值不会低于相应欧式期权的价值，由知，对欧式看涨期权有不等式，所以，这个不等式对美式看涨期权也适用。如果在到期日T之前的某个时刻，美式期权持有者要执行的话，则获利，显然，。另一方面，如果持有者在时把期权出售的话，由知，把0换成，此时期权的价格必不低于。由上述两式得结论：在时出售期权比当时行使权利要好。16.设一个股票上的看跌期权执行价现值是20元，看涨期权价格是5元，看跌期权的价格为7元，股票市场现价是22元，那么是否应该购买该股票上的看跌期权？解：由put-call平价公式，得元，即均衡的看跌期权价格为3元小于7元，故不应购买。
8、17.考虑一个一年期的欧式看涨期权，执行价为125元，股票现价是100元，在一年后有可能上涨到200元，也可能下跌到50元，无风险利率为0.08，你愿意花多少钱购买这样一个期权？解：因为：，得到：，所以：，将愿意出26.85元买此期权。18.某种股票的目前的价格为50元，一年后将变为58或43元，一年期的无风险利率为4%，股票不分红，根据二叉树定价模型，问该种股票的买入期权（执行价格为50元，一年后到期）的公平价值为多少？解：因为：，得到：，所以：，该股票买入期权的公平价值为4.62元。19.假设一个股票在相邻的交易日价格上涨50%的概率是，下跌10%的概率是，如果该股票交易日周一开始交易，价
9、格是2元，那么预期周四价格的期望值是多少？请用股价的二叉树模型求解。解：因为：，所以：期望值（元）20.考虑一个三期的欧式看涨期权。假设股票价格参数为：，初始价格，执行价格，利率，求该期权的价格。解：由所给出的数据：，期权价格：21.考虑一个二期的欧式看涨期权，假设股票价格参数为：，初始价格，执行价格，利率，并设置向下并敲出的障碍为65，求该障碍期权的价格。解：由所给出的数据：，（因为此时的，期权被取消）22.股票现在的价值为50美元，一年后，它的价值可能为55美元或40美元，假设一年期利率为4%，试计算执行价为48美元的看涨期权的价格和执行价为45美元的看跌期权价格。解：因为：，得到：，由于
10、：，所以：，执行价为48美元的看涨期权的价格为5.38元，执行价为45美元的看跌期权的价格为0.96元。23.考虑，其中，和为常数，为标准布朗运动，利用求的微分方程。解：其中：，所以：24.什么是公式？其中的每一个参数是什么意义？解：公式：无风险年利率 时间 股票价格衍生证券的价格 股票回报率的方差25.由公式出发，可定义许多灵敏度参数，这些参数通常用希腊字母表示，对于欧式看涨期权来说，这些参数有，试根据公式，求出这些字母的表达式，并根据偏导数的意义来指出这些字母的作用。解：公式：意味着标的资产价格增加，看涨期权的价值也增加。意味着欧式看涨期权关于股票价格的曲线总是凸的。意味着在其他参数一样的
11、条件下，到期日离现在越长的期权，价值越大。意味着欧式看涨期权的价值都随波动度的增加而增加。说明随着无风险利率增加，看涨期权的价值也增加。意味着，当股票价格变动1%，期权价格变动超过1%。26.对于欧式看涨期权来说，其定价当然是执行价格的递减函数即执行价越高期权越便宜，但是从公式来看，是否一定有？解：公式：所以一定有27.设，若V满足方程，求。解：公式：，代入公式得：解得：28.设表示标准正态随机变量，求。解：29.该股票A现在的价格为58.875元，年无风险利率为8%，设股票年回报标准差为0.22，试计算3个月后到期，执行价为60元的欧式看跌期权的价格。解：由题意，我们有，/年，/年，。可求得，所以30.假设股票价格服从几何布朗运动，若买一份股票，需要如何对冲？解：设S是某个资产的价格，此价格服从几何布朗运动：设C是在S上的任何一个衍生证券在时刻t的价值，根据得到：使投资组合变成无风险，设m称为对冲比，则投资，得到由于随机变量z是不确定因素，所以，要使投资组合变成无风险，必须令得到对冲比：