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1、支持向量机（五）SMO 算法 11 SMO优化算法（ Sequential minimal optimization） SMO 算法由 Microsoft Research的 John C. Platt在 1998年提出，并成为最快的二次规划 优化算法，特别针对线性SVM 和数据稀疏时性能更优。关于SMO 最好的资料就是他本人写的 Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines了。 我拜读了一下，下面先说讲义上对此方法的总结。 首先回到我们前面一直悬而未解的问题，对偶函数
2、最后的优化问题： 要解决的是在参数上求最大值W 的问题， 至于和都是已知数。 C 由我们预 先设定，也是已知数。 按照坐标上升的思路，我们首先固定除以外的所有参数，然后在上求极值。等一下，这个 思路有问题，因为如果固定以外的所有参数，那么将不再是变量（可以由其他值推出）， 因为问题中规定了 因此，我们需要一次选取两个参数做优化，比如和，此时可以由和其他参数表示出来。 这样回带到W 中， W 就只是关于的函数了，可解。 这样， SMO 的主要步骤如下： 意思是，第一步选取一对和，选取方法使用启发式方法（后面讲）。第二步，固定除和 之外的其他参数，确定W 极值条件下的，由表示。 SMO 之所以高效
3、就是因为在固定其他参数后，对一个参数优化过程很高效。 下面讨论具体方法： 假设我们选取了初始值满足了问题中的约束条件。接下来，我们固定 ，这样 W 就是和的函数。并且和满足条件： 由于都是已知固定值，因此为了方面，可将等式右边标记成实数值。 当和异号时，也就是一个为1 ，一个为 -1 时，他们可以表示成一条直线，斜率为1。如 下图： 横轴是，纵轴是，和既要在矩形方框内，也要在直线上，因此 ， 同理，当和同号时， ， 然后我们打算将用表示： 然后反代入W 中，得 展开后 W 可以表示成。其中 a,b,c是固定值。这样，通过对W 进行求导可以得 到，然而要保证满足，我们使用表示求导求出来的，然而最
4、 后的，要根据下面情况得到： 这样得到后，我们可以得到的新值。 下面进入Platt的文章，来找到启发式搜索的方法和求b 值的公式。 这边文章使用的符号表示有点不太一样，不过实质是一样的，先来熟悉一下文章中符号的表示。 文章中定义特征到结果的输出函数为 与我们之前的实质是一致的。 原始的优化问题为： 求导得到： 经过对偶后为： s.t. 这里与 W 函数是一样的，只是符号求反后，变成求最小值了。和是一样的，都表示第i 个 样本的输出结果（1 或-1 ）。 经过加入松弛变量后，模型修改为： 由公式（ 7）代入（ 1）中可知， 这个过程和之前对偶过程一样。 重新整理我们要求的问题为： 与之对应的KK
5、T 条件为： 这个 KKT 条件说明，在两条间隔线外面的点，对应前面的系数为 0，在两条间隔线里面的对 应为 C，在两条间隔线上的对应的系数在 0 和 C 之间。 将我们之前得到L 和 H 重新拿过来： 之前我们将问题进行到这里，然后说将用表示后代入W 中，这里将代入中，得 其中 这里的和代表某次迭代前的原始值，因此是常数，而和是变量，待求。公式（24 ） 中的最后一项是常数。 由于和满足以下公式 因为的值是固定值，在迭代前后不会变。 那么用 s 表示，上式两边乘以时，变为： 其中 代入（ 24 ）中，得 这时候只有是变量了，求导 如果的二阶导数大于0（凹函数），那么一阶导数为0 时，就是极小
6、值了。 假设其二阶导数为0 （一般成立），那么上式化简为： 将 w 和 v 代入后，继续化简推导，得（推导了六七行推出来了） 我们使用来表示： 通常情况下目标函数是正定的，也就是说，能够在直线约束方向上求得最小值，并且。 那么我们在（30 ）两边都除以可以得到 这里我们使用表示优化后的值，是迭代前的值，。 与之前提到的一样不是最终迭代后的值，需要进行约束： 那么 在特殊情况下，可能不为正，如果核函数K 不满足 Mercer定理，那么目标函数可能变得非正 定，可能出现负值。即使K 是有效的核函数，如果训练样本中出现相同的特征x，那么仍有 可能为 0 。SMO 算法在不为正值的情况下仍有效。为保证
7、有效性，我们可以推导出就是的 二阶导数，没有极小值，最小值在边缘处取到（类比），时更是单调函 数了，最小值也在边缘处取得，而的边缘就是L 和 H。这样将和分别代入中 即可求得的最小值，相应的还是也可以知道了。具体计算公式如下： 至此，迭代关系式出了b 的推导式以外，都已经推出。 b 每一步都要更新，因为前面的KKT 条件指出了和的关系，而和 b 有关，在每一步计 算出后，根据KKT 条件来调整b 。 b 的更新有几种情况： 来自罗林开的ppt 这里的界内指，界上就是等于0 或者 C 了。 前面两个的公式推导可以根据 和对于有的 KKT 条件推出。 这样全部参数的更新公式都已经介绍完毕，附加一点
8、， 如果使用的是线性核函数，我们就可以继 续使用 w 了，这样不用扫描整个样本库来作内积了。 w 值的更新方法为： 根据前面的 公式推导出。 12 SMO中拉格朗日乘子的启发式选择方法 终于到了最后一个问题了，所谓的启发式选择方法主要思想是每次选择拉格朗日乘子的时候，优 先选择样本前面系数的作优化 （论文中称为无界样例），因为在界上 （为 0 或 C） 的样例对应的系数一般不会更改。 这条启发式搜索方法是选择第一个拉格朗日乘子用的，比如前面的。那么这样选择的话，是 否最后会收敛。可幸的是Osuna定理告诉我们只要选择出来的两个中有一个违背了KKT 条 件，那么目标函数在一步迭代后值会减小。违背
9、KKT 条件不代表，在界上也有可能 会违背。是的，因此在给定初始值=0后，先对所有样例进行循环，循环中碰到违背KKT 条 件的（不管界上还是界内）都进行迭代更新。等这轮过后，如果没有收敛，第二轮就只针对 的样例进行迭代更新。 在第一个乘子选择后，第二个乘子也使用启发式方法选择，第二个乘子的迭代步长大致正比于 ，选择第二个乘子能够最大化。即当为正时选择负的绝对值最大的，反 之，选择正值最大的。 最后的收敛条件是在界内（）的样例都能够遵循KKT 条件，且其对应的只在极小 的范围内变动。 至于如何写具体的程序，请参考John C. Platt在论文中给出的伪代码。 13 总结 这份 SVM 的讲义重
10、点概括了SVM 的基本概念和基本推导，中规中矩却又让人醍醐灌顶。起初 让我最头疼的是拉格朗日对偶和SMO ， 后来逐渐明白拉格朗日对偶的重要作用是将w 的计算提 前并消除w ，使得优化函数变为拉格朗日乘子的单一参数优化问题。而 SMO 里面迭代公式的推 导也着实让我花费了不少时间。 对比这么复杂的推导过程，SVM 的思想确实那么简单。它不再像logistic回归一样企图去拟合 样本点（中间加了一层sigmoid函数变换），而是就在样本中去找分隔线，为了评判哪条分界 线更好，引入了几何间隔最大化的目标。 之后所有的推导都是去解决目标函数的最优化上了。在解决最优化的过程中，发现了w 可以由 特征向量内积来表示，进而发现了核函数，仅需要调整核函数就可以将特征进行低维到高维的变 换，在低维上进行计算，实质结果表现在高维上。由于并不是所有的样本都可分，为了保证 SVM 的通用性， 进行了软间隔的处理，导致的结果就是将优化问题变得更加复杂，然而惊奇的是松弛 变量没有出现在最后的目标函数中。最后的优化求解问题，也被拉格朗日对偶和SMO 算法化解， 使 SVM 趋向于完美。 另外，其他很多议题如SVM 背后的学习理论、参数选择问题、二值分类到多值分类等等还没有 涉及到，以后有时间再学吧。其实朴素贝叶斯在分类二值分类问题时，如果使用对数比，那么也 算作线性分类器。