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1、第3课时 三角形中的几何计算,一、三角形的面积公式 1.思考:常用的三角形面积公式是什么?在三角形中如何用三角形的边和角表示某一条边上的高?能否用三角形的边和角表示三角形的面积?,2.填空: (1)在ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则,3.做一做: (1)判断正误. 三角形的面积等于其中两边以及它们所夹内角的正弦值的乘积. ( ),答案: (2)在ABC中,若AB=3,BC=4,B=120,则ABC的面积等于 ; 在ABC中,若a=2,b=8,SABC=4,则C= .,4.三角形面积公式的其他形式:,二、三角形中的常用结论 思考:三角形中的常用结论有哪些? 提示:(1)
2、a+bc,b+ca,c+ab. (2)a-bbABsin Asin B. (5)a=bA=B. (6)A为锐角cos A0a2b2+c2; A为直角cos A=0a2=b2+c2. (7)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.,(10)在ABC中,若cos 2A=cos 2B,则A=B.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,三角形面积公式的应用 例1计算下列各三角形的面积. (1)在ABC中,a=5,c=3,B=150; (2)在ABC中,a=8,b=8 ,A=30; (3)在ABC中,a=2,b=3,c=4. 分析:(1)可直接套用面积公式求解;(2)先利用正弦定理求出
3、角C,再利用S= absin C计算面积;(3)先利用余弦定理求出任意一角的余弦值,再求得该角的正弦值,最后套用面积公式计算.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟三角形面积的求解思路 1.求三角形面积时,由于三角形面积公式有不同形式,因此实际使用时要结合题目的条件灵活运用,必须在两边及其夹角都已知或能求出的前提下才能使用. 2.计算三角形面积时,若选择公式后有未知的边或角,应先利用正、余弦定理求出需要的边或角,再套用公式计算.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,三角形中恒等式的证明 例2在ABC中,角A,B,C的对应边
4、分别为a,b,c.,分析:解答本题可通过正、余弦定理化边为角或化角为边,即可证明. 证法一由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, 得a2-b2=b2-a2+2c(acos B-bcos A), 即a2-b2=c(acos B-bcos A),探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,三角形中的最值与范围问题 例3在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)-1=4cos Bcos C. (1)求cos A的值; (2)若a=3,求ABC面积的最大值. 分析:(1)
5、将已知条件运用两角和与差的余弦公式进行变形整理,化简为关于cos A的表达式,进而求出cos A的值;(2)运用三角形面积公式结合三角恒等变换求最值.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,反思感悟解决与面积有关的三角形的综合问题时,应选取适当的面积公式,结合正、余弦定理及三角恒等变换的知识,将问题转化为求函数的最值或范围,进而予以解决.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,延伸探究在本例(2)中,若条件不变,求ABC的周长的取值范围.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,1.已知ABC中,AB=6,A=30,B=120,则ABC的面积为( ),答案:C,答案:A,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案:2,探究一,探究二,探究三,当堂检测,4.在ABC中,A=30,AB=2,BC=1,则ABC的面积等于 .,探究一,探究二,探究三,当堂检测,5.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知cos 2A+3cos(B+C)=1. (1)求角A的大小; (2)若a=2 ,b+c=4,求ABC的面积.,