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1、第2课时 统计,知识网络,要点梳理,统 计,知识网络,填一填: ,要点梳理,知识网络,1.关于三种抽样方法的比较,请完成下表:,要点梳理,知识网络,2.频率分布直方图中纵轴表示什么含义?小长方形的面积表示什么?各小长方形的面积之和等于多少? 3.什么是频率分布折线图?什么是总体密度曲线? 提示(1)频率分布折线图:把频率分布直方图中各小长方形上端的中点用线段连接起来,就得到频率分布折线图. (2)随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,这条光滑曲线就叫做总体密度曲线.,要点梳理,知识网络,4.关于茎叶图,请填写下表:,要点梳理,知识网络,
2、5.关于样本的数字特征,请填写下表:,要点梳理,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,知识网络,6.什么是散点图?什么是正相关与负相关? 提示将样本中几个数据点(xi,yi)(i=1,2,n)描在平面直角坐标系中得到的图形.若散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,则称这两个变量间的相关关系为正相关.若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内,则称这两个变量间的相关关系为负相关.,要点梳理,知识网络,7.什么是回归直线?什么是回归方程?如何求回归方程? 提示如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.回归直线对应的方程叫
3、回归直线的方程,简称回归方程.若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为:(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),则所,要点梳理,知识网络,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大.( ) (2)从100件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出一件,连续拿5次,是简单随机抽样.( ) (3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体.( ) (4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( ) (5)分层抽样
4、中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( ) (6)在频率分布直方图中,小矩形的高表示频率. ( ),要点梳理,知识网络,(7)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.( ) (8)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写,右侧的叶按从小到大的顺序写,相同的数据可以只记一次.( ) (9)在频率分布直方图中,最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.( ) (10)在频率分布直方图中,众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.( ) (11)一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大.( ) (12)利用样本点的散点图可以直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.( ) (13)任何一组
5、数据都对应着一个回归直线方程.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (9) (10) (11) (12) (13),要点梳理,专题归纳,高考体验,专题一 抽样方法的选取及应用 研究统计问题的基本思想方法就是从总体中抽取样本,用样本估计总体,因此选择适当的抽样方法抽取具有代表性的样本对整个统计问题起着至关重要的作用.高考中主要考查三种抽样方法的比较、辨析以及应用. 随机抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样这三种.三种方法的共同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的机会相同,体现了这些抽样方法的客观性和公平性.其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法.在进
6、行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样.当总体中的个体数较少时,常采用简单随机抽样;当总体中的个体数较多时,常采用系统抽样;当已知总体由差异明显的几部分组成时,常采用分层抽样.实现简单随机抽样,常采用抽签法或随机数法.,专题归纳,高考体验,用随机数法抽样时,对个体所编的号码位数要相同;当问题所给的位数不同时,要以位数较多的为准,在位数较少的数的前面添0,凑齐位数. 用系统抽样方法抽样时,如果总体容量N能被样本容量n整除,抽样间隔为 ;如果总体容量N不能被样本容量n整除,先用简单随机抽样剔除多余个体,假设多余个体数为M,则抽样间隔为,专题归纳,高考体验,例1下列问题中,采用怎样的抽样方法较为
7、合理? (1)从10种教辅图书中抽取2种进行图书质量检查; (2)已知某地小学、初中、高中学生人数分别为3 000,2 000,1 000,为了解该地学生的近视情况,拟抽取一个容量为60的样本; (3)体育彩票000001100000编号中,凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖. 分析根据三种抽样方法的特征判断.,专题归纳,高考体验,解:,专题归纳,高考体验,跟踪训练1700户家庭,其中高收入家庭225户,中等收入家庭400户,低收入家庭75户,为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本;某中学高二年级有12名足球运动员,要从中选出3人调查学习负担情况;从某厂生产的802
8、辆轿车中抽取8辆测试某项性能.则完成上述3项应采用的抽样方法是 ( ) A.用简单随机抽样,用系统抽样,用分层抽样 B.用分层抽样,用简单随机抽样,用系统抽样 C.用简单随机抽样,用分层抽样,用系统抽样 D.用分层抽样,用系统抽样,用简单随机抽样,专题归纳,高考体验,解析:对于,总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成,而所调查的指标与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样;对于,总体中的个体数较少,应用简单随机抽样;对于,总体中的个体数较多,应用系统抽样. 答案:B,专题归纳,高考体验,专题二 用样本的频率分布估计总体分布 总体分布反映了总体在各个范围内取值的概率,我们常
9、常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布,有时也利用茎叶图来描述其分布,然后用样本的频率分布去估计总体分布,样本容量越大,这种估计就越精确. 用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理.作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤.,专题归纳,高考体验,例2 某中学高一女生共有450人,为了了解高一女生的身高情况,随机抽取部分高一女生测量身高,所得数据整理后列出频率分布表如下: (1)求出表中字母m,n,M,N所对应的数值; (2)在给出的平面直角坐标系中画出频率分布直方图; (3)估计该校高一女生身高在149.5165.5 cm范围内的有多少人?,专题归纳
10、,高考体验,分析利用频率分布表的特征求出m,n,M,N,根据画频率分布直方图的步骤画出频率分布直方图,最后利用图形估计总体的分布.,专题归纳,高考体验,解:(1)由题意 =50,落在区间165.5169.5内数据频数m=50-(8+6+14+10+8)=4, 频率n=0.08,总频率N=1.00. (2) (3)该校高一女生身高在149.5165.5 cm之间的比例为0.12+0.28+0.20+0.16=0.76,则该校高一女生在此范围内的人数为4500.76=342.,专题归纳,高考体验,跟踪训练2高三年级有500名学生,为了了解数学学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数
11、学成绩,制成如下频率分布表:,专题归纳,高考体验,(1)表格中处的数值分别为 、 、 、 ; (2)在图中画出85,155的频率分布直方图; (3)根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在129,155中的频率.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,(3)利用组中值算得平均数为900.025+1000.05+1100.2+1200.3+1300.275+1400.1+1500.05=122.5, 总体落在129,155上的频率为 0.275+0.1+0.05=0.315, 即总体平均数约为122.5,总体落在129,155中的频率约为0.315.,专题归纳,高考体验,专题三 用样本的数字
12、特征估计总体的数字特征 为了从整体上更好地把握总体的规律,我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计.众数就是样本数据中出现次数最多的数值;求中位数时先把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,若数据的个数是奇数,中位数就是处于中间位置的数;若数据的个数是偶数,中位数就是中间两个数据的平均数.平均数就是所有样本数据的平均值,用 表示;标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其计算公式如下: 有时也用标准差的平方s2方差来代替标准差,二者实质一样.,专题归纳,高考体验,例3 某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30 mi
13、n抽取一包产品,称其质量(单位:kg),分别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99 乙:110,115,90,85,75,115,110 (1)这种抽样方法是哪一种? (2)将这两组数据用茎叶图表示; (3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定. 分析(1)由三种抽样的特点判断.(2)“茎”上写十位或十位、百位,“叶”上写个位.(3)计算方差的大小比较稳定性.,专题归纳,高考体验,解:(1)根据三种抽样的特点可知为系统抽样. (2)茎叶图为:,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,跟踪训练3 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔一小时抽
14、一包产品,称其质量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得质量数据茎叶图如图所示. (1)写出甲的众数和乙的中位数; (2)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车间的产品的质量相对稳定.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题四 频率分布直方图和茎叶图与数字特征的综合应用 1.利用频率分布直方图估计数字特征. (1)众数是最高矩形的底边中点; (2)中位数左右两侧直方图的面积相等; (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标; (4)中间小矩形最高,两侧小矩形较矮,说明方差、标准差较小,这组数据比较集中;反之,中间小矩形较矮,两侧小矩形较
15、高,说明方差、标准差较大,这组数据比较分散. 说明:利用直方图求出的众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致,但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.,专题归纳,高考体验,2.利用茎叶图估计数字特征. 方法一,根据茎叶图读出所有数据,并根据定义,求出平均数、众数、中位数、方差、标准差的大小;方法二,粗略估计:每个叶上出现次数最多的数字,其对应的数据是众数;每个叶上的数字按由小到大排列,位于“中间”的数字,其对应的数据是中位数;位于“中间”叶上的数字,其对应的数据是平均数;“叶”越集中,说明数据越集中,方差、标准差越小;“叶”越分散,说明数据越分散,方差、标准差越大.,专题归纳
16、,高考体验,例4 为了研究某降血压药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.根据试验数据制成的频率分布直方图如图所示.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( ) A.6 B.8 C.12 D.18,专题归纳,高考体验,答案:C,专题归纳,高考体验,跟踪训练4为比较甲、乙两地某月12时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中12时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下
17、结论: 甲地的平均气温低于乙地的平均气温; 甲地的平均气温高于乙地的平均气温; 甲地气温的标准差小于乙地气温的标准差; 甲地气温的标准差大于乙地气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) A. B. C. D.,专题归纳,高考体验,解析:由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙两地某月12时的气温抽取的样本温度分别为: 甲:26,28,29,31,31 乙:28,29,30,31,32 可得,甲地该月12时的平均气温: (26+28+29+31+31)=29, 乙地该月12时的平均气温: (28+29+30+31+32)=30, 故甲地该月12时的平均气温低于乙地该月12时的平均气温
18、; 甲地该月12时温度的方差为: 乙地该月12时温度的方差为: 答案:B,专题归纳,高考体验,专题五 线性回归分析 两个变量之间的相关关系的研究,通常先作变量的散点图,再根据散点图判断这两个变量最接近于哪种关系,本章学习了线性相关关系,通过建立回归方程就可以根据其部分观测值来预测两个变量之间的整体关系,重点是作散点图和求回归直线方程.,专题归纳,高考体验,例5下表数据是退水温度x(单位:)对黄酮延长性y(单位:%)效应的试验结果,y是以延长度计算的,且对于给定的x,y为正态变量,其方差与x无关. (1)画出散点图; (2)指出x,y是否线性相关; (3)若线性相关,求y关于x的回归方程; (4
19、)估计退水温度是1 000 时,黄酮延长性的情况. 分析画散点图线性相关性的判断求出回归直线方程进行 估计,专题归纳,高考体验,解:(1)散点图如下. (2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近,可见y与x线性相关.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,跟踪训练5高三(1)班的10名学生每周用于数学学习的时间x(h)与数学成绩y(分)之间有如下对应数据: 如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程.(保留2位小数),专题归纳,高考体验,解:列出下表,并用科学计算器进行有关计算.,专题归纳,高考体验,考点一:统计图表的分析 1.(2018全国1高考)某地区经过一
20、年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:,专题归纳,高考体验,则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为20.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6
21、,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D正确,故选A. 答案:A,专题归纳,高考体验,2.(2017全国3高考)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( ),专题归纳,高考体验,A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 解析:由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.
22、答案:A,专题归纳,高考体验,3.(2015课标全国高考)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( ) A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关,专题归纳,高考体验,解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D错误. 答案:D,专题归纳,高考体验,考点二:用样本估计总体 4.(2017全国1高考)为评估一种农作物的种植效果,选了n
23、块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A.x1,x2,xn的平均数 B.x1,x2,xn的标准差 C.x1,x2,xn的最大值 D.x1,x2,xn的中位数 解析:标准差和方差可刻画样本数据的稳定程度,故选B. 答案:B,专题归纳,高考体验,5.(2019全国3高考)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在
24、小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:,甲离子残留百分比直方图,乙离子残留百分比直方图,专题归纳,高考体验,记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 解:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05.
25、乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.,专题归纳,高考体验,6.(2019全国2高考)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01),专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,7.(2018全国1高考)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日
26、用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,专题归纳,高考体验,(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图: (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.),专题归纳,高考体验,解(1) (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.0
27、5=0.48, 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点三:线性回归分析 8.(2018全国2高考)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.,专题归纳,高考体验,为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型: =-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,
28、求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下: (i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016
29、年的数据建立的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.,专题归纳,高考体验,9.(2016全国丙高考)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. 注:年份代码1-7分别对应年份2008-2014.,专题归纳,高考体验,(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注:,专题归纳,高考体验,解:(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.,专题归纳,高考体验,