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1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义,目标导航,新知导学,课堂探究,1.向量的数乘运算 (1)向量的数乘运算的概念: 实数与向量a的积是一个 ,这种运算叫做 ,记作a,其长度与方向规定如下: |a|= ;,向量,新知导学素养养成,向量的数乘,|a|,0,0,0,0,(2)向量数乘的运算律: (a)= ; (+)a= ; (a+b)= . (3)向量的线性运算:向量的 运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有(1a2b) = .,()a,a+a,a+b,加、减、数乘,1a2b,思考1:若a=0,则=0对吗? 提示:不对.当a=0时,=0或a=0.,2.共线向量定理
2、 向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使得 .,b=a,思考2:若a与b共线,一定有a=b吗? 提示:不一定.当b=0,a=0时,有无数个值;当b=0,a0时,无解;只有当b0时,才有a=b. 思考3:与非零向量a共线的单位向量是什么?,名师点津,(1)从数、形两个角度看向量的数乘 代数角度:是实数,a是向量,它们的积仍是向量;另外,a=0的条件是=0或a=0. 几何角度:对于向量的长度而言,当|1时,有|a|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(1)或反方向(-1)上伸长到|a|的|倍;当0|1时,有|a|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(-10)
3、上缩短到|a|的|倍. (2)对向量共线定理的理解 定理本身包含了正、反两个方面:若存在一个实数,使b=a(a0),则a与b共线;反之,若a与b共线(a0),则必存在一个实数,使a=b.,定理中,之所以限定a0是由于若a=b=0,虽然仍然存在,可是不唯一,定理的正、反两个方面不成立. 若a,b不共线,且a=b,则必有=0.,课堂探究素养提升,题型一 向量的线性运算,解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.,(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.,解:(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.,方法技巧,向量的线性运算类似于实数的运算,其化简的方法与
4、代数式的化简类似,可以运用去括号、移项、合并同类项等变形手段.,备用例1 已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),则x= .,解析:因为(x-a)-(b-x)=x-(a+b),所以2x-a-b=x-a-b,即x=0. 答案:0,(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.,方法技巧,(1)本题充分利用了向量共线定理,即b与a(a0)共线b=a,因此用它既可以证明共线问题,也可以根据共线求参数的值. (2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,从而判断共线.,互动探究:在本例中,若将非零不共线向量e1,e2改为共线向量e1,e
5、2,在(1)题中其他条件不变,试判断A,B,D三点是否共线?,方法技巧,用已知向量表示待求向量的两个常用方法: (1)直接法,(2)方程法 当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的 方程.,纠错:点C在线段AB的延长线上,并没有讲清楚A,B,C位置关系,实际有两种:(1)点C在靠近B点的位置; (2)点C在靠近A点的位置,应该分情况讨论.,学霸经验分享区,(1)实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如+a,-a是没有意义的.,(3)共线向量定理是证明三点共线的重要工具,即三点共线问题通常转化为向量共线问题.,课堂达标,C,解析:向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有|3a|不是向量.,2.下列计算正确的个数是( ) (-3)2a=-6a;2(a+b)-(2b-a)=3a;(a+2b)-(2b+a)=0. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,解析:因为(-3)2a=-6a故正确;中左边=2a+2b-2b+a=3a成立,故正确;中左边=a+2b-2b-a=0,故正确.,D,4.已知e1,e2是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2,若a与b是共线向量,则实数k= .,答案:-2,点击进入 课时作业,点击进入 周练卷,