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1、3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生,一、随机数的产生 通过做大量重复的试验来计算事件发生的频率,再由频率的稳定值估计概率,是十分费时费力的.有没有其他方法可以代替试验呢?我们设想通过用计算机模拟试验来解决这些矛盾. 1.我们要产生125之间的随机整数,可以把25个大小形状相同的小球分别标上1,2,3,24,25,放入一个袋中,把它们充分搅拌,然后从中摸出一个,这个球上的数就称为随机数,这种产生随机数的方法是什么? 提示是简单随机抽样中的抽签法.,2.我们也可以利用计算器或计算机产生随机数,利用计算机或计算器产生的并不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.如何利用
2、计算器产生10个在125之间的取整数值的随机数? 提示方法如下: 反复按ENTER键10次,就可以产生10个125之间的随机数.,3.以掷均匀硬币为例,如何利用计算机中的Excel软件不断地产生0,1这两个随机数? 提示用Excel演示: (1)选定A1格,键入“=RANDBETWEEN(0,1)”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的0或1;(2)选定A1格,点击复制,然后选定要产生随机数的格,比如A2至A100,点击粘贴,则在A2至A100的数均为随机产生的0或1,这样我们就很快就得到了100个随机产生的0,1,相当于做了100次随机试验. 4.如果需要统计抛掷一枚质地均匀的骰子30
3、次时各面朝上的频数,但是没有骰子,你有什么办法得到试验的结果? 提示由计算器或计算机产生30个16之间的随机数.,5.一般地,如果一个古典概型的基本事件总数为n,在没有试验条件的情况下,你有什么办法进行m次试验,并得到相应的试验结果? 提示将n个基本事件编号为1,2,n,由计算器或计算机产生m个1n之间的随机数.,6.做一做1:判断题 (1)随机模拟方法只适用于试验结果有限的试验. ( ) (2)随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数. ( ) (3)用计算器或计算机产生的随机数是伪随机数. ( ) (4)不能用伪随机数估计概率. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),7.做一做2:
4、用掷质地均匀的硬币的方法可产生 个随机数,掷质地均匀的骰子可产生 个随机数. 解析:掷硬币,用正面表示一个数,反面表示一个数,则可产生两个随机数,类似地,掷骰子可产生六个随机数. 答案:2 6,二、随机模拟方法 1.对于古典概型,我们可以将随机试验中所有基本事件编号,利用计算器或计算机产生随机数,从而获得试验结果.这种用计算器或计算机模拟试验的方法,称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.你认为这种方法的最大优点是什么? 提示不需要对试验进行具体操作,可以广泛应用到各个领域.,2.如果用随机模拟方法抛掷一枚质地均匀的硬币100次,那么如何用计算机统计出这100次试验中“出现正面朝上”的频数和频率? 提
5、示利用计算机统计频数和频率,用Excel演示如下: 选定C1格,键入频数函数“=FREQUENCY(A1A100,0.5)”, 按Enter键,则此格中的数是统计A1至A100中,比0.5小的数的个数,即0出现的频数,也就是反面朝上的频数.选定D1格,键入“=1-C1/100”,按Enter键,在此格中的数是这100次试验中出现1的频率,即正面朝上的频率.,3.做一做2:通过模拟试验,产生了20组随机数: 6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138
6、6754 如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,表示恰有三次击中目标,则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 . 解析:表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共5组数,而随机数总共20组,所以所求的概率约为 =25%. 答案:25%,探究一,探究二,探究三,思维辨析,例1 某校高一全年级20个班共1 200人,期中考试时如何把学生分配到40个考场去? 分析用计算机产生的随机数给1 200名学生编号,把学生按分到的随机数从小到大排列. 解:(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机; (2)用随机函数RANDBETWEEN(1,1 200)按顺序给每个学生一
7、个随机数(每人的都不同); (3)使用计算机排序功能按随机数从小到大排列,即可得到考试号从1到1 200人的考试序号.(注:1号应为0001,2号应为0002,用0补足位数.前面再加上有关信息号码即可),随机数的产生,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.产生随机数的方法有抽签法、利用计算机或计算器产生随机数的随机模拟方法等.抽签法产生的随机数能保证机会均等,而计算器或计算机产生的随机数是伪随机数,不能保证等可能性,但是后者较前者速度快,操作简单,省时省力. 2.用产生随机数的方法抽取样本要注意以下两点:(1)进行正确的编号,并且编号要连续;(2)正确把握抽取的范围和容量.,
8、当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1一体育代表队共有21名水平相当的运动员,现从中抽取11人参加某场比赛,其中运动员甲必须参加.写出利用随机数抽取的过程. 解:(1)把除甲之外的20名运动员编号,号码为1,2,3,19,20; (2)用计算器的随机函数RANDI(1,20)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,20)产生10个120之间的整数值随机数,如果有重复,就重新产生一个; (3)以上号码对应的10名运动员与甲运动员就是要抽取的对象.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,例2 盒中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率:
9、(1)任取一球,得到白球; (2)任取三球,都是白球. 分析将这7个球编号,产生1到7之间的整数值的随机数,(1)一个随机数看成一组即代表一次试验;(2)每三个随机数看成一组即代表一次试验.统计组数和事件发生的次数即可.,估计古典概型的概率,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球. (1)步骤: 利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为n; 统计这n组数中小于6的组数m; 则任取一球,得到白球的概率近似为 . (2)步骤: 利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组(每组中数不重复),统计组数为
10、n; 统计这n组数中,每组三个数字均小于6的组数m; 则任取三球,都是白球的概率近似为 .,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑: (1)试验的基本事件是等可能的时,基本事件总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个基本事件; (2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数; (3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高; (4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的.,当堂检测,探究一,探究
11、二,探究三,思维辨析,变式训练2从甲、乙、丙、丁4人中,任选3人参加志愿者活动,请用随机模拟的方法估计甲被选中的概率. 解:用1,2,3,4分别表示甲、乙、丙、丁四人. 利用计算器或计算机产生1到4之间的随机数,每三个一组,每组中数不重复,得到n组数,统计这n组数中含有1的组数m,则估计甲被选中的概率为 .,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,n次重复试验恰好发生k次的概率 例3一份测试题包括6道选择题,每题只有一个选项是正确的.如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案,用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率. 分析试验的结果有两个,但是两个结果“猜对”“猜错”不是等可能的用计算机
12、或计算器做模拟试验,模拟每次猜对的概率是25%.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题.利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数.我们用0表示猜的选项正确,1,2,3表示猜的选项错误,这样可以体现猜对的概率是25%.因为共猜6道题,所以每6个随机数作为一组.例如,产生25组随机数. 330130 302220 133020 022011 313121 222330 231022 001003 213322 030032 100211 022210 231330 321202 031210 232111 210010 212020 23
13、0331 112000 102330 200313 303321 012033 321230 就相当于做了25次试验,在每组数中,如果恰有3个或3个以上的数是0,则表示至少答对3道题,它们分别是001003,030032,210010,112000,共有4组数,由此可得该同学6道选择题至少答对3道的概率近似为 =0.16.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟如果事件A在每次试验中发生的概率都相等,那么可以用随机模拟方法估计n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率,其步骤是: (1)按事件A的概率确定表示各个结果的数字个数及总个数; (2)利用计算机或计算器产生整数随机数,然后n
14、个整数随机数作为一组分组.每组第1个数表示第1次试验,第2个数表示第2次试验,第3个数表示第3次试验,第n个数表示第n次试验.n个随机数作为一组共组成N组数; (3)统计这N组数中恰有k个数字在表示试验发生的数组中的组数m. 则n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率近似为 .,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3一个袋中有7个大小、形状相同的小球,6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验,计算恰好第三次摸到红球的概率. 解用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取
15、整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.如下,产生20组随机数: 666 743 671 464 571 561 156 567 732 375 716 116 614 445 117 573 552 274 114 662 就相当于做了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,不理解随机数的意义,弄错随机数的范围而致误 典例 同时抛掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟法求所得点
16、数之和是偶数的概率. 错解(1)用计算器产生110之间取整数值的随机数. (2)统计所产生的随机数总个数N. (3)把所产生的随机数两两分组,再相加,统计和是偶数的个数N1. (4) 即是点数之和是偶数的概率近似值. 以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如何防范? 错因分析骰子的点数为16之间的整数,故随机数的范围应设为16,并且每个数代表骰子出现的点数.错解中,没有理解随机数产生范围的含义,错误地把随机数的范围当作110,因此所求结果是错的.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,正解抛掷两枚骰子,可以看作一枚骰子抛掷两次,用两个随机数字作为一组即可. (1)抛掷一
17、次只能出现6个等可能基本事件,所以用16之间的数字进行标注. (2)用计算器或计算机产生16之间的取整数值的随机数,并用两个随机数值作为一组. (3)统计随机数总组数N及两个随机数之和为偶数的组数N1.则所得点数之和为偶数的频率值就是 . 当模拟次数足够大时,可用频率近似作概率值,即所求概率约为 . 防范措施1.明确随机数的取值范围. 2.该种模拟用于试验结果是有限个的情况,每次模拟得到的近似概率不一定相同.,当堂检测,1.用计算机随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于( ) A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数 C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法 解析:随机数容量越大,概
18、率越接近实际数. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,2.用计算器或计算机随机模拟掷质地均匀的骰子的试验,估计出现2点的概率,下列步骤中,不正确的是( ) A.用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x,如果x=2,我们认为出现2点 B.我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验,用计数器m记录其中有多少次出现2点,掷n=0,m=0 C.出现2点,则m的值加1,即m=m+1;否则m的值保持不变 D.程序结束,出现2点的频率 作为概率的近似值 解析:计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数,包括7,共7个整数,而骰子只有6个面,A不正确,故选A. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.抛掷一枚质地均匀的骰子两次,用随机模拟方法估计朝上面的点数和为8的概率,共进行了两次试验,第一次产生了60组随机数,第二次产生了200组随机数,那么这两次估计的结果相比较,第 次准确. 解析:用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数组数越多,估计的结果越准确,所以第二次比第一次准确. 答案:二,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,