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1、第2课时 数列,知识网络,要点梳理,思考辨析,知识网络,要点梳理,思考辨析,知识网络,要点梳理,思考辨析,1.等差数列的判断方法 (1)定义法:在n2,nN*时,有an-an-1=d(d为常数)或在nN*,有an+1-an=d(d为常数); (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*); (3)函数法:an=kn+b(k,bR),Sn=An2+Bn(A,BR). 2.等比数列的判断方法,(2)等比中项: =anan+2(nN*); (3)通项特征:通项an=f(n)=cqn(c0,q0),其函数特征为常数与指数函数的乘积;前n项和公式Sn=g(n)=k(1-qn)(q1),其特征是q
2、n的系数与常数项互为相反数.,知识网络,要点梳理,思考辨析,3.等差数列与等比数列的概念、有关公式和性质,知识网络,要点梳理,思考辨析,知识网络,要点梳理,思考辨析,4.求数列通项公式的方法 (1)观察归纳法:由给出数列的前几项,猜想数列的通项公式. (2)先定性再定量法:先确定数列的通项的性质,再确定基本量.,(4)累加法与累乘法. (5)构造法.,知识网络,要点梳理,思考辨析,5.数列求和方法的比较,知识网络,要点梳理,思考辨析,知识网络,要点梳理,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)数列的通项公式是唯一的. ( ) (2)若数列an是等差数列
3、,则an+1一定是an和an+2的等差中项. ( ) (3)若b2=ac,则a,b,c一定构成等比数列. ( ) (4)若数列an+1-an是等差数列,则an必为等差数列. ( ) (5)若数列an是等差数列,且m+n+k=3l,则am+an+ak=3al. ( ) (6)若an是公比为q的等比数列,且a1+a2,a2+a3,a3+a4,也成等比数列,则q-1. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6),专题归纳,高考体验,专题一 等差数列与等比数列的基本运算,答案:A,专题归纳,高考体验,反思感悟等差数列与等比数列的基本量运算主要以通项公式和前n项和公式为基础,运用方程(
4、组)思想,解决问题.,专题归纳,高考体验,A.8 B.12 C.22 D.24,答案:C,专题归纳,高考体验,专题二 等差数列与等比数列的性质及其应用 例2已知在等差数列an中,Sn是其前n项和,且S10+S8-S9-S7=6,则S17等于( ) A.51 B.17 C.-51 D.-17 解析:利用Sn与an的关系将已知条件化简得到a9的值,再利用等差数列的性质求得S17的值. 由S10+S8-S9-S7=6,得(S10-S9)+(S8-S7)=6,即a10+a8=6,所以2a9=6,于是a9=3,故S17=17a9=173=51. 答案:A 反思感悟在解决问题时,等差数列与等比数列的性质主
5、要起到简化计算的作用,即通过运用性质,简化运算过程,快速解决问题.,专题归纳,高考体验,变式训练2已知等比数列an的前n项积记为n,若a3a4a8=8,则9=( ) A.512 B.256 C.81 D.16 答案:A,专题归纳,高考体验,专题三 等差数列与等比数列的判断与证明,数列,且当n3时,an0. (1)求证:当n3时,an为等差数列; (2)求an的通项公式. 分析:(1)利用Sn与an的关系消去Sn,然后根据an与an+1的关系式以及等差数列的定义进行证明;(2)在(1)的基础上求解,注意分类讨论.,专题归纳,高考体验,反思感悟证明一个数列是等差数列或等比数列,主要利用等差数列和等
6、比数列的定义,通过给出的递推关系式或者通过构造等方法,与欲证问题联系起来证明.,专题归纳,高考体验,变式训练3已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an). (1)证明数列lg(1+an)是等比数列; (2)求Tn及数列an的通项公式.,专题归纳,高考体验,专题四 数列通项公式的求法,分析:首先利用Sn与an的关系,消去Sn,得到an与an-1的关系式,然后利用累乘法求得通项公式.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,反思感悟累加法与累乘法是求通项公式的常用方法: (1)累加法:如果已知数列an的相邻两项an+1与an的差
7、的一个关系式,那么我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式,然后把这(n-1)个式子相加,整理并求出数列的通项. (2)累乘法:如果已知数列an的相邻两项an+1与an的商的一个关系式,那么我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式,然后把这(n-1)个式子相乘,整理并求出数列的通项.,专题归纳,高考体验,变式训练4已知在数列an中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列an的通项公式. 解:由an+1-an=3n-n, 得an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), a3-a2=32-2,a2-a1=3-1. 当n2时,以上(n-1)个等
8、式两端分别相加,得 (an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=3n-1+3n-2+3-(n-1)+(n-2)+1,专题归纳,高考体验,例5已知数列an满足a1=3,an+1-6an=3n+1(nN*),则数列an的通项公式为( ) A.an=6n-3n B.an=6n C.an=3n D.an=6n-1-3n-1 解析:根据已知条件,可在等式两边同时除以3n+1,即可构造等比数列,然后进行求解.,答案:A,专题归纳,高考体验,反思感悟构造法求通项公式,就是根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式,进行变形整理,构造出一个新的等差或等比数列,利用等差或等比数列的通项公式求解.,
9、专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题五 数列的求和 例6已知数列an的前n项和Sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3. (1)求an; (2)求数列nan的前n项和Tn.,专题归纳,高考体验,解:(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1), 则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),c=2. a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2, an=2n. 当n=1时,a1=S1=2. 综上所述,an=2n(nN*). (2)由(1)知nan=n2n, 则Tn=2+222+323+n2n, 2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2
10、n+1, 两式作差得-Tn=2+22+23+2n-n2n+1=(1-n)2n+1-2. Tn=2+(n-1)2n+1.,专题归纳,高考体验,反思感悟错位相减法求和的适用条件及关注点 1.适用条件:如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列对应项的乘积组成,那么这个数列的前n项和可用此法来求.即求数列anbn的前n项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列. 2.关注点:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.,专题归纳,高考体验,变式训练6已知
11、数列an是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求数列an的通项公式;,专题归纳,高考体验,考点一 等差数列及其前n项和 1.(2019全国高考)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( ) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn= n2-2n,答案:A,专题归纳,高考体验,2.(2018全国高考)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析:因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为
12、d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10. 答案:B 3.(2017全国高考)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案:C,专题归纳,高考体验,答案:4,专题归纳,高考体验,5.(2018全国高考)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. 解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(
13、n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,专题归纳,高考体验,考点二 等比数列及其前n项和 6.(2015课标全国高考)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84,答案:B,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,(1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,专题归纳,高考体验,10.(2018全国高考)等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,
14、求m.,专题归纳,高考体验,考点三 数列的求和问题 11.(2017全国高考)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则,专题归纳,高考体验,12.(2018天津高考)设an是等差数列,其前n项和为Sn(nN*);bn是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(nN*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn; (2)若Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.,专题归纳,高考体验,13.(2017全国高考)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n. (1)求an的通项公式;,专题归纳,高考体验,14.(20
15、17山东高考)已知an是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列an的通项公式; (2)bn为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点四 数列的综合问题,答案:A,专题归纳,高考体验,16.(2019全国高考)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式.,专题归纳,高考体验,17.(2019天津高考)设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求an和bn的通项公式;,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,18.(2017全国高考)设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.,解:(1)设an的公比为q.,