《2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.3 第1课时 等差数列的前n项和 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.3 第1课时 等差数列的前n项和 .pptx（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第1课时 等差数列的前n项和,一、 数列的前n项和 1.填空: 数列的前n项和 对于数列an,一般地,我们称a1+a2+a3+an为数列an的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+an. 2.做一做: 已知数列an的通项公式an=n2+1,若其前n项和为Sn,则S3= . 解析:an=n2+1,a1=2,a2=5,a3=10, S3=a1+a2+a3=17. 答案:17,二、等差数列的前n项和 1.思考:高斯求和的故事我们一定耳熟能详,高斯是怎样求出1+2+3+100的结果的呢?,2.思考:如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多1根,最下面的一层
2、有9根.,问题(1):一共有几层?图形的横截面是什么形状? 问题(2):假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则这样一共有多少根钢管?,问题(3):原来有多少根钢管? 问题(4):能否利用这种方法推导等差数列an的前n项和公式Sn=a1+a2+an?,3.填空: (1)若an是等差数列,则Sn可以用首项a1和末项an表示为,4.从函数角度认识等差数列的前n项和公式: (1)公式的变形,(2)从函数角度认识公式 当d0时,Sn是项数n的二次函数,且不含常数项; 当d=0时,Sn=na1,Sn不是项数n的二次函数.,(3)结论及其应用 已知数列an的前n项和Sn=An2+Bn+C, 若
3、C=0,则数列an为等差数列; 若C0,则数列an不是等差数列.,5.做一做: (1)判断正误. 若数列an的前n项和Sn=4,则an不是等差数列. ( ) 若数列an的前n项和Sn=kn(kR),则an为常数列. ( ) 等差数列an的前n项和Sn一定是关于n的二次函数. ( ) 答案: (2)在等差数列an中,其前n项和为Sn,a3=7,公差d=2,则S20= . 已知数列an为等差数列,a1=2,an=10,Sn=72,则n= .,答案:440 12,三、数列中an与Sn的关系 1.思考:若已知数列an的前n项和为Sn,则Sn-1表示什么?an与Sn,Sn-1之间的关系是什么? 提示:S
4、n-1表示数列an前(n-1)项的和;an=Sn-Sn-1(n2). 2.填空: an与Sn的关系,3.做一做: (1)判断正误. 若等差数列an的前n项和为Sn,则S10+S20=S30. ( ) 公式an=Sn-Sn-1成立的条件是nN*. ( ) 答案: ,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等差数列前n项和公式及其应用 例1(1)设Sn是等差数列an的前n项和,且a1=1,a4=7,则S9= . (2)设Sn为等差数列an的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9= . (3)在等差数列an中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d= . 分析:利用等差数列的
5、通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:(1)81 (2)15 (3)-171,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1(1)设等差数列an的前n项之和为Sn,已知a2=3,a5
6、=9,则S5等于( ) A.15 B.20 C.25 D.30 (2)若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( ) A.12 B.13 C.14 D.15 (3)已知Sn为等差数列an的前n项的和,若a3=16,S20=20,Sn=110,则n= .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:(1)C (2)B (3)10或11,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用an与Sn的关系解决问题 例2(1)已知数列an的前n项和Sn=5n-1,求数列an的通项公式;,分析:利用an与Sn的关系求通项公式,注意对首项的检验.,解:(1)当n=1时,a1=S1=51
7、-1=4. 当n2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=45n-1. 由于a1=4也适合an=45n-1,因此数列an的通项公式是an=45n-1(nN*).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟已知数列an的前n项和Sn,求通项公式an的步骤 1.当n=1时,a1=S1. 2.当n2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1. 3.如果a1也满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通项公式为an=Sn-Sn-1; 如果a1不满足当n2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列an的通,探究一,探究二,探究三,思
8、维辨析,当堂检测,变式训练2已知数列an的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5ak8,则k=( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2+9(n-1)=2n-10.当n=1时,a1=S1=-8也适合,所以an=2n-10.因为5ak8,所以52k-108,解得7.5k9,故k=8. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,例3已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足,(1)求证:an为等差数列; (2)求出an的通项公式.,减,利用an与Sn的关系可消去Sn,得到an与an-1的关系,从而可判断数列an是不是等
9、差数列,再根据a1=S1可求出a1的值,即得an的通项公式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2,这与数列an的各项均为正数相矛盾; 若an-1=an-1,即an-an-1=1,因此an为等差数列. (2)由(1)知,an为等差数列,且a1=3,公差d=1,所以an=3+(n-1)=n+2,故an的通项公式为an=n+2.,反思感悟利用an与Sn的关系求数列an的通项公式. 已知an与Sn的关系式求an时,可根据已给出的关系式,令n取n+1或n取n-1,再写出一个关系式,将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或
10、an与an-1的关系,从而确定数列an是等差数列或其他数列,求出其通项公式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,延伸探究在本例中,若条件变为“数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足8Sn=(an+2)2”,求数列an的通项公式. 解:当n=1时,8a1=(a1+2)2, 解得a1=2. 当n2时,8Sn-1=(an-1+2)2,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0. 因为数列an的各项均为正数,所以an+an-10, 所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4,所以数列an为首项为2,公差为4的等差数列,故an=2+4(n-1)=4n-2.,探究一,探究二,探
11、究三,思维辨析,当堂检测,等差数列在实际生活中的应用 例4 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1 150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:设每次交款数额依次为a1,a2,a20, 则a1=50+1 0001%=60, a2=50+(1 000-50)1%=59.5, a10=50+(1 000-950)1%=55.5, 即第10个月应付款55.5元. 由于an是
12、以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,即全部付清后实际付款1 105+150=1 255(元). 反思感悟建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?,整理得n2+13n-140=0.解得n=7,n=-20(舍去). 所以第
13、1次相遇是在开始运动后7分钟. (2)设n分钟后第2次相遇,由题意,整理得n2+13n-420=0. 解得n=15,n=-28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,已知Sn求an时,忽视n=1的情况致误 典例已知数列an的前n项和Sn=n2+2,求此数列的通项公式. 错解:an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1. 提示:错解中忘记了对a1的值是否符合求出的通项公式的检验,导致结果错误. 正解:当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+2-(n-1)2-2=2n-1;当n=1时,a1=S1=12+2=3,不适合上式,探究一
14、,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,防范措施已知数列an的前n项和公式Sn,求an时应分三步.第一步:利用a1=S1求a1;第二步:当n2时,求an=Sn-Sn-1;第三步:检验a1是否适合当n2时得到的an,若适合,则an即为所求;若不适合,将an用分段函数表示.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.设Sn为等差数列an的前n项和,公差d=-2,若S10=S11,则a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24,答案:B,2.已知数列an的前n项和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,则k的值等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析:当n2时,an=Sn-Sn-
15、1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也适合上式,所以an=-2n+4(nN*),由ak+1=-16,得-2(k+1)+4=-16,解得k=9. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.设等差数列an的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则an的通项an= . 解析:设an的公差为d,故an=2+(n-1)2=2n. 答案:2n,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.某电影院中,从第2排开始,每一排的座位数比前一排多两个座位,第1排有18个座位,最后一排有36个座位,则该电影院共有座位 个. 解析:从第1排开始每排座位数形成等差数
16、列an,其中a1=18,an=36.公差为d=2,则36=18+2(n-1),解得n=10.该电影院共,答案:270,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.已知数列an的前n项和为Sn=-2n2+3n+1. (1)求数列an的通项公式; (2)数列an是否为等差数列? 解:(1)当n=1时,a1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-2n2+3n+1)-2(n-1)2+3(n-1)+1=-4n+5.又当n=1时,a1=2不满足上式,(2)由(1)知,当n2时,an+1-an=-4(n+1)+5-(-4n+5)=-4, 但a2-a1=-3-2=-5,所以数列an不是等差数列.,