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1、5 不等式的应用,1.不等式的几个重要性质 (1)ab,cda+cb+d; (2)ab,c0acbc, ab,c0acbc;,2.几个常用平均值不等式,名师点拨 在利用平均值不等式“和式积式”求最值时要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件.简记为“一正、二定、三相等”.,【做一做1】 用长度为24 m的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 ( ) A.3 m B.4 m C.6 m D.12 m 解析:设隔墙的长度为x m,则矩
2、形的宽为x m, S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18, 当x=3时,S取最大值,故选A. 答案:A,答案:A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)对于任意的实数x,y,都有x2+y22xy.( ) (2)对于任意的实数x,y,z,都有x3+y3+z33xyz.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 1.利用平均值不等式求最值的三个条件:各项或因式应为正;和或积为定值;各项或各因
3、式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”. 2.两个正数的和与积的转化:平均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用平均值不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.本例(3)的解法2就是利用了这种方法.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,【例2】制造一个能盛放108 kg水的无盖长方体水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省? 分析所谓用料最省,是指长方体的表面积最小. 解设长方体的长、
4、宽分别为a dm和b dm,高为h dm,易知该水箱的容积为108 dm3,即abh=108. 设该水箱的用料面积为S, 则S=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh 即S108(dm2). 当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,等号成立. 故水箱底面是边长为6 dm的正方形,高为3 dm的长方体时用料最省.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟 利用平均值不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意设变量,设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,利用平均值不等式求出函数的
5、最值; (4)验证不等式中等号成立的条件,得出结论.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= 吨. 答案:20,探究一,探究二,思维辨析,纠错心得 错解中虽然对代数式进行了变形与分解,也构造了定值,但等号成立的条件无法满足,因此所求最值是错误的,在利用平均值不等式求最值时,三个条件缺一不可.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练已知x0,求y=x(1-x2)的最大值.,1,2,3,4,5,答案:C,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,3.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 答案:B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大?,1,2,3,4,5,