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1、第1课时 等差数列的概念及通项公式,一、等差数列 1.观察下列三个数列:100,150,200,250,300,;0,-4,-8,-12,-16,;,思考:(1)你能否写出每个数列后面的各项?依据是什么?(2)这几个数列的共同特征是什么?,2.填空: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 3.等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征); (3)公差d是每一项(从第2
2、项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒; (4)公差可以是正数、负数、零; (5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d0时,是递增数列;当d0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.,4.做一做: (1)判断正误. 如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数,那么这个数列是等差数列. ( ) 若数列an满足an-an-1=d(d是常数),则an是等差数列. ( ) 答案: (2)判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. 1,3,5,7,9,; 9,6,3,0,-3,; 1,3,4,5,6,; 7,7,7,7,7,;,解:是,a1=1,d=2;是,a1=9,d=
3、-3;不是;是,a1=7,d=0;不是.,二、等差中项 1.思考:在下面两个数之间,插入一个怎样的数,这三个数就可以构成等差数列?插入的数唯一吗? (1)2, ,6;(2)10, ,-30;(3)9, ,9. 提示:插入的数分别是4,-10,9,插入的数是唯一的. 2.填空: 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.,3.做一做: (1)判断正误. 任何两个实数都有等差中项,且其等差中项是唯一的. ( ) 在等差数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它前一项和后一项的等差中项. ( ) 答案: (2)若a,b是
4、方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为( ),答案:C,三、等差数列的通项公式 1.给出等差数列an:1,4,7,10,13,请根据下列两种思路探求其通项公式 (1)根据等差数列的定义,an的递推公式可以如何表示?利用累加法能否求得an的通项公式? (2)根据等差数列的定义,能否将an的各项都利用首项和公差表示出来?由此归纳an的通项公式. 提示:(1)an的递推公式是a1=1,an-an-1=3(n2),累加可得an=3n-2. (2)a1=1,a2=a1+3,a3=a2+3=a1+23,an=a1+(n-1)3.,2.填空: 等差数列的通项公式 以a1为首项,d为公差的等差数列
5、an的通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.做一做: (1)等差数列an:5,0,-5,-10,的通项公式是 . (2)若等差数列an的通项公式是an=4n-1,则其公差d= . 解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)(-5)=10-5n. (2)公差d=an-an-1=(4n-1)-4(n-1)-1=4. 答案:(1)an=10-5n (2)4,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等差数列的通项公式及其应用 例1(1)已知数列an是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2 022,则n=( ) A.504 B.505 C.506 D.507 (2)在等差数列
6、40,37,34,中,第一个负数项是 ( ) A.第13项 B.第14项 C.第15项 D.第16项 (3)在等差数列an中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为 . 分析:(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:(1)C (2)C (3)an=5n-3,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差. 2.等差数列a
7、n的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”. 3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1在等差数列an中,求解下列各题:,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等差中项及其应用 例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项; (2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差
8、数列,求这三个数. 分析:(1)先根据条件求出通项公式,再代入求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟等差中项的应用策略 1.求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得A= . 2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等差数列的判断与证明 例3判断下列数列是否为等差数列
9、. (1)在数列an中,an=3n+2; (2)在数列an中,an=n2+n. 分析:根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数. 解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN*),故该数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法,其步骤为: (1)作差an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关
10、的代数式时,数列an不是等差数列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3已知数列an:a1=a2=1,an=an-1+2(n3). (1)判断数列an是否为等差数列?说明理由; (2)求an的通项公式. 解:(1)当n3时,an=an-1+2,即an-an-1=2, 而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n3), an不是等差数列. (2)当n2时,an是等差数列,公差为2. 当n2时,an=1+2(n-2)=2n-3, 又a1=1不适合上式,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(1)求证:数列bn是等差数列; (2)求数列an的通项公式. 分析:先用an表示bn
11、+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列an的通项公式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.判断等差数列的方法: (1)定义法:an+1-an=d(nN*)或an-an-1=d(n2,且nN*)数列an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an为等差数列. (3)通项公式法:数列an的通项公式an=pn+q(p,q为常数)数列an为等差数列. 注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列an的公差;若an+1-an=an-an-1(n2,且nN*)成立,则无法确定等差数列an的公差.(
12、3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 2.已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,延伸探究在本例中,若将条件改为“已知数列an满足,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,对等差数列的定义理解不深致误 典例已知数列an满足a1=1,an+1=an+2n,求数列an的通项公式. 错解:由已知,得an+1-an=2n,所以an是公差为2n的等差数列,于是an=1+(n-1)2n=2n2-2n+1. 提示:错解中由an+
13、1-an=2n推出an是等差数列,这是由于对等差数列的定义理解不深刻而造成的,事实上,“2n”并不是一个常数,因此an不是等差数列.,正解:由已知,得an+1-an=2n,所以a2-a1=21,a3-a2=22,a4-a3=23,an-an-1=2(n-1), 以上各式相加,得an-a1=21+2+3+(n-1)=n(n-1),所以an=n2-n+1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,防范措施等差数列的定义是判断或证明一个数列是不是等差数列的重要依据,要说明an是等差数列,应证明an+1-an=d,其中d必须是一个与n无关的常数.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.已
14、知数列an的通项公式an=2n+5,则此数列( ) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 解析:an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, 数列an是公差为2的等差数列. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,答案:D,3.在数列an中,a1=2,an+1=an+2,则a20=( ) A.38 B.40 C.-36 D.-38 解析:an+1=an+2,an+1-an=2,数列an是公差为2的等差数列.a1=2,a20=2+(20-1)2=40. 答案:B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为 . 解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.,答案:3,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.在等差数列an中,a1=23,公差d为整数,若a60,a70,a70,又公差d为整数,所以d=-4. (2)因为等差数列an的首项为23,公差为-4, 所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.,