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1、第六章 数 列 6.1 数列的概念及其表示,高考文数（课标专用）,考点清单 考点 数列的概念及其表示 考向基础 1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列 的项. 数列的简单表示法:列表法、图象法、通项公式法(解析式法). 2.数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类: 有穷数列项数有限的数列; 无穷数列项数无限的数列.,(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类: 递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列; 递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列; 常数列各项相等的数列; 摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的
2、前一 项的数列. 3.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以N*(或它的有限子集)为定义域的函数an= f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反 之,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数 列f(1), f(2),f(3), f(n),.,4.如果已知数列an的首项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任 一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那 么这个公式叫做数列的递推公式. 5.数列的通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么 这个公式叫做
3、这个数列的通项公式. 6.已知Sn,则an= 数列an中,若an最大,则 若an 最小,则,考向突破 考向一 数列的性质,例1 (1)(2018湖北襄樊五中12月月考,8)已知数列an满足an= (n N*),将数列an中的整数项按原来的顺序组成新数列bn,则b2 017的末 位数字为 ( ) A.8 B.2 C.3 D.7 (2)(2017湖北重点高中期中联考,12)已知数列an是递增数列,且对于任 意nN*,an=n2+2n+1,则实数的取值范围是 ( ) A.-1 B.- D.-,解析 (1)由an= ,nN*,可得此数列为 , , , , , , , , , , , , ,.an的整数
4、项为2,3,7,8,12,13,. 其规律就是各项之间是按照+1,+4,+1,+4,+1,+4,递增的, b2n-1=2+5(n-1)=5n-3,b2n=3+5(n-1)=5n-2. 由2n-1=2 017,解得n=1 009, b2 017=51 009-3=5 042.故b2 017的末位数字为2,故选B. (2)数列an是递增数列,对于任意nN*,an+1an, (n+1)2+2(n+1)+1n2+2n+1,化为- , 数列 单调递减,- .故选C.,答案 (1)B (2)C,考向二 由递推公式求通项an,例2 (2017山西四校联考,5)已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*
5、),则数列an的 通项公式是an= ( ) A.n B. C.n2 D.2n-1,解析 由an=n(an+1-an),得 = ,所以数列 为常数列,所以 = = = =1,所以an=n,故选A.,答案 A,方法技巧 方法1 利用Sn与an的关系求通项公式 已知Sn求an的三个步骤: (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替换Sn中的n,得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求 出当n2时an的表达式. (3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n2时an的表达式,如果符合,则 可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n2两段来 写.,例1 (2018广
6、东化州第二次模拟,16)已知Sn为数列an的前n项和,且 log2(Sn+1)=n+1,则数列an的通项公式为 .,解题导引,解析 由log2(Sn+1)=n+1, 得Sn+1=2n+1, 当n=1时,a1=S1=3; 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时不符合上式, 所以数列an的通项公式为an=,答案 an=,方法2 已知数列的递推公式求数列的通项公式,典型的递推数列及处理方法,其中:(1)an+1=pan+q(p0,1,q0)的求解方法是设an+1+=p(an+),即an +1=pan+p-,与an+1=pan+q比较即可知只要= . (2)an+1=pan+qpn+1(p0
7、,q0)的求解方法是两端同时除以pn+1,得 - = q,数列 为等差数列.,例2 (1)(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列an中,a1=1,an+1= 2an-2n,则a17= ( ) A.-15216 B.15217 C.-16216 D.16217 (2)(2018山东、湖北部分重点中学第二次联考,15)已知数列an的前n 项和为Sn,若a1=2,an+1=an+2n-1+1,则S10= . (3)在数列an中,a1=2,an=3an-1+2(n2),则an= .,解题导引,解析 (1)由题意可得 = - , 即 - =- , 据此可得,数列 是首项为 = ,公差为- 的等
8、差数列, 故 = +(17-1) =- , a17=-15216.故选A. (2)a1=2,an+1=an+2n-1+1an+1-an=2n-1+1 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1 an=2n-2+2n-3+2+1+n-1+a1= +n-1+2=2n-1+n. S10=1+2+22+29+1+2+3+10= + =1 078.,(3)由an=3an-1+2(n2), 得an+1=3(an-1+1)(n2), a1=2,a1+1=30, 数列an+1是以3为首项,3为公比的等比数列. 则an+1=33n-1=3n. an=3n-1.,答案 (1)A (2)1 078 (3)3n-1,