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1、第2课时 an与Sn的关系及裂项求和法,1.an与Sn的关系 因为Sn=a1+a2+a3+an,当n2,且nN+时,Sn-1=a1+a2+an-1,所以Sn=Sn-1+an,即an=Sn-Sn-1;而当n=1时,a1=S1,即S1为数列an的首项. 因此,如果已知数列an的前n项和Sn的公式,那么这个数列是确定 的,并且 【做一做1】已知数列an的前n项和Sn=n2+2n,则an的通项公式为 . 答案:an=2n+1,名师点拨利用Sn求an的方法 已知数列an的前n项和求通项公式an,一般要使用公式an=Sn-Sn-1(n2),但必须注意它成立的条件是n2,除此之外还要注意以下几点: (1)求
2、a1时不能使用an=Sn-Sn-1,因为S0在数列前n项和中无意义,而应该是a1=S1; (2)由an=Sn-Sn-1求得的an,代入n=1时,若恰好a1=S1,则an=Sn-Sn-1就是其通项公式; (3)由an=Sn-Sn-1求得的an,代入n=1时,若a1S1,则数列的通项公式就用分段的形式来表示,即,2.裂项求和法 裂项法求和是数列求和的一种常用方法,它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两项),并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相抵消,进而可求出数列的前n项和. 【做一做2】,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”
3、. (1)已知数列an的前n项和为Sn=2n+2,则an的通项公式为an=2n+1. ( ) (2)已知数列an的通项公式为an=18-3n,Sn是an的前n项和,Tn是|an|的前n项和,则一定有TnSn. ( ) (3)数列-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,(-1)nn,的前n项和为 . ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例1】 (1)已知数列an的前n项和为Sn=2n2-8n+10,求通项公式an,并判断数列是否为等差数列; (2)已知数列an的前n项和公式 ,求其通项公式. 分析:根据an与Sn的关系求an,要注意分类讨论. 解:(
4、1)当n2时,Sn-1=2(n-1)2-8(n-1)+10=2n2-12n+20, an=Sn-Sn-1=2n2-8n+10-2n2+12n-20=4n-10. 当n=1时,a1=S1=2-8+10=4,当n2时,an-an-1=4n-10-4(n-1)+10=4, 数列an从第2项起构成等差数列,但an不是等差数列.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.已知Sn求an时,应分为以下三步: (1)当n2时,由an=Sn-Sn-1求出an; (2)当n=1时,由a1=S1求出a1,并判断a1的值是否适合(1)中求得的an; (3)写出a
5、n的表达式. 2.在由Sn求an时,若忽视对n=1时情况的讨论,将可能导致错误.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练1 已知数列an的前n项和为Sn(Sn0),探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例2】 已知正项数列an的前n项和为Sn,且8Sn=(an+2)2. (1)求证:an为等差数列; (2)求an的通项公式. 分析:(1)根据an=Sn-Sn-1消去Sn,得到an与an-1的关系后进行判断;(2)由a1=S1代入求出a1的值,结合(1)求得通项公式.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,(1)证明:因为8Sn=(
6、an+2)2, 所以当n2时,8Sn-1=(an-1+2)2, 所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0. 又an为正项数列,所以an+an-10, 从而an-an-1-4=0,即an-an-1=4, 故an是公差为4的等差数列. (2)解:当n=1时,得8S1=(a1+2)2, 即8a1=(a1+2)2,解得a1=2, 所以an的通项公式an=2+(n-1)4,即an=4n-2.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟在给出数列的an与Sn的关系式时,可根据an=Sn-Sn-1(n2)将关系式中的Sn(或an)消去,从而求得an与an-1(或Sn与Sn-1)的关系,然后借
7、助等差数列或其他特殊数列中的方法求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练2 已知在各项均为正数的数列an中,a1=1,Sn是数列an的前n项和,对任意nN+,有2Sn= +pan-p(pR). (1)求常数p的值; (2)求数列an的通项公式.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例3】已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn. (1)求an及Sn; (2)令 (nN+),求数列bn的前n项和Tn. 分析:(1)设出公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)先由(1)求
8、出bn的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟1.通常情况下,当数列的通项公式是分式的形式,且分子是一个常数,分母是两个相邻的正整数之积时,可考虑用裂项法求和. 2.用裂项法求和时,首先要将通项公式进行变形,化为两项相减的形式,然后将数列的各项用改写后的通项公式形式表示,最后将正、负项抵消即得前n项和.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练3,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,【例4】 在数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(nN+). (1)求数
9、列an的通项公式; (2)设Sn=|a1|+|a2|+|an|,求Sn. 分析:(1)根据等差数列的定义可知an是等差数列. (2)先找出数列an中的非负项,再分类讨论.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,解:(1)由题意知,an+2-an+1=an+1-an, 所以an为等差数列.设公差为d,由a1=8,a4=2,得2=8+3d,解得d=-2,所以an=8-2(n-1)=10-2n. (2)由(1)知an=10-2n,令10-2n0,得n5,即数列an的前5项为非负数,后面为负数,所以当n5时,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对数列|an|的求和问题,首先要明确数列
10、类型,然后要清楚a1+a2+a3+an与|a1|+|a2|+|an|的区别与联系,找出数列an中出现正负转换时的临界是解决问题的关键.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,因错用裂项求和法而出错,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,纠错心得1.在用裂项法求和时,要注意最后剩余的项不一定就是最前面的一项和最后面的一项. 2.对于错解1,显然通项公式的变形是错误的.抵消项时也出现了错误;错解2对通项公式变形虽然正确,但抵消项时出现了错误.,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练 已知数列an是递增的等差数列,a1,a2是方程x2-3x+2=0的两根. (1)求数列an的通项
11、公式; (2)求数列 的前n项和Sn. 解:(1)方程x2-3x+2=0的两根为1,2, 由题意得a1=1,a2=2. 设数列an的公差为d,则d=a2-a1=1, 所以数列an的通项公式为an=n.,1,2,3,4,5,1.设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 解析:a8=S8-S7=82-72=15. 答案:A,1,2,3,4,5,2.已知数列an的前n项和Sn=2n-1,则其通项公式为( ) A.an=2n B.an=2n-1 C.an=2n+1 D.an=2n-1-1 解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)
12、=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1适合上式,故an=2n-1(nN+). 答案:B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.已知数列an的通项公式为an=26-6n,则数列|an|的前10项和为 . 解析:令26-6n0,得n4,即数列an的前4项为非负数,后面为负数,所以当n4时,答案:158,1,2,3,4,5,5.已知在等差数列an中,公差d0,又a2a3=15,a1+a4=8. (1)求数列an的通项公式; (2)记数列 ,数列bn的前n项和记为Sn,求Sn. 解:(1)由等差数列的性质得a2+a3=a1+a4=8. 又a2a3=15,a2,a3是方程x2-8x+15=0的两根, 结合d0解得a2=3,a3=5,d=2, an=a2+(n-2)d=2n-1.,