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1、2.3 变量间的相关关系,一、变量间的相关关系 1.“粮食产量与施肥量有关系吗?”“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗? 提示粮食产量与施肥量有关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高;教师的水平与学生的水平是相关的;如虎父无犬子等. 我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如: 商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关. 粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内
2、,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素,因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.,2.考察下列问题中两个变量之间的关系,想一想,它们之间的关系是函数关系吗?为什么? (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体脂肪含量与年龄. 提示都不是函数关系.因为当其中一个变量变化时,另一个变量的变化还受其他因素的影响.,3.问题2中所给两个变量之间的关系都是相关关系,那么函数关系与相关关系之间的区别与联系是怎样的? 提示函数关系中的两个变量间是一种确定性关系;相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不
3、一定是因果关系,也可能是伴随关系,函数关系与相关关系之间有着密切联系,在一定条件下可以互相转化.,4.做一做1:下列关系中,带有相关关系的是 .(填序号) 正方形的边长与面积之间的关系 水稻产量与施肥量之间的关系 人的身高与年龄之间的关系 降雪量与交通事故的发生率之间的关系 解析:两变量之间的关系有两种:函数关系和带有随机性的相关关系.正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不再发生明显的变化了,因而它们不具备相关关系.降雪量与交通
4、事故的发生率之间具有相关关系.因此填. 答案:,二、两个变量的线性相关 1.在研究学生的数学成绩与物理成绩的关系时,采集了5名学生的数学和物理成绩(单位:分)如下: 观察上述表中的数据,大体上看,随着数学成绩的降低,物理成绩是怎样变化的? 提示随着数学成绩的降低,除了C同学外,其余同学的物理成绩也逐步降低.,2.为了对问题1中的两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断,我们可以以x轴表示数学成绩,y轴表示物理成绩,在直角坐标系中描出样本数据所对应的点,得到相应的散点图.你能画出问题1中的散点图吗? 观察图形,随着数学成绩的降低,物理成绩是否也有所降低?两者是否存在线性相关关系? 提示 从散点
5、图可以看出,物理成绩随着数学成绩的提高而提高.由散点图可知,各点分布在一条直线附近,故两者之间具有线性相关关系.,3.你能说明什么是正相关,什么是负相关吗? 提示对于两个变量之间的相关关系,一个变量随另一个变量的增大而增大,成正相关,在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.一个变量随另一个变量的增大而减小,成负相关,在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域.因为随着数学成绩的提高,物理成绩也提高,所以两者是正相关关系.,4.做一做2:判断题 散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系为正相关. ( ) 答案:,5.做一做3:下列图形中,两个变量具有线性相关关系的
6、是( ) 答案:B,三、回归直线与回归方程 1.什么是回归直线?什么是回归方程? 提示如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.回归直线对应的方程叫回归直线方程,简称回归方程.,2.对两个具有线性相关关系的变量的一组数据:(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),如何刻画点(xi,yi)到回归直线y=bx+a的远近程度? 提示可以用|yi-(bxi+a)|(i=1,2,3,n)表示点(xi,yi)到回归直线y=bx+a的远近,如图:,3.为了从整体上刻画各点与回归直线y=bx+a的接近程度,选用哪个数量关系来刻画各点到直线
7、y=bx+a的“整体距离”比较合适? 提示用 |yi-(bxi+a)|来刻画各点到直线y=bx+a的“整体距离”是比较合适的.由于绝对值使得计算不方便,在实际应用中可用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2表示. 4.当a,b取什么值时,各点到直线y=bx+a的“整体距离”最小? 提示a,b的值可由下列公式给出,8.做一做4:判断题,答案:(1) (2) (3) (4),答案:C,探究一,探究二,探究三,例1 若变量x,y有如下观察的数据: (1)画出散点图; (2)判断变量x,y是否具有相关关系?如果具有相关关系,那么是正相关还是负相关? 分析对于给定一组
8、观察的数据,可以借助作散点图来判断两个变量是否具有相关关系.,相关关系的判断,当堂检测,探究一,探究二,探究三,解:(1)画出散点图如图所示. (2)具有相关关系.根据散点图,点分布在左下角到右上角的区域,变量x的值由小变大时,另一个变量y的值也由小变大,所以它们具有正相关关系.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,反思感悟判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,变式训练1以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x
9、的数据: (1)画出数据对应的散点图; (2)指出两变量是否具有相关关系; (3)关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论?,当堂检测,探究一,探究二,探究三,解:(1)数据对应的散点图如下图所示: (2)由(1)的散点图中的点的分布特点知两变量具有相关关系. (3)关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们具有相关关系.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,求回归直线方程 例2 某种产品的广告费支出x(单位:百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如下对应数据: (1)画出散点图; (2)根据散点图判断两个变量x,y之间是否具有线性相关关系;若有线性相关关系,则求出y关
10、于x的回归直线方程;若无线性相关关系,试说明理由. 分析首先根据已知数据画出散点图,然后根据散点图判断两个变量之间的相关关系,最后将数据代入公式求解回归直线方程中的系数值.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,解(1)散点图如图所示.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,(2)由散点图可知,x,y之间存在线性相关关系. 列出下表,并用科学计算器进行有关计算.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,反思感悟1.已知x与y呈线性相关关系时,无需进行相关性检验,否则,应首先进行相关性检验,如果两个变量之间本身不具有线性相关关系,或者说,它们之间的相关关系不显著,即使求出回归方程也是毫无意义的,而且用其估计和
11、预测的量也是不可信的. 2.求回归直线方程的一般步骤 (1)收集样本数据,设为(xi,yi),(i=1,2,n)(数据一般由题目给出). (2)作出散点图,确定x,y具有线性相关关系. (3)把数据制成表格.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,变式训练2给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: (1)画出上表的散点图; (2)求出回归方程.,解:(1)散点图如下图:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,(2)根据表中的数据进行具体计算,列成以下表格:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,线性回归分析的应用 例3 如图是我国2013年至2019年生活垃圾无害化处理量(
12、单位:亿吨)的折线图: (1)根据折线图来看,可用线性回归模型拟合y与t的关系,试说明理由; (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2025年我国生活垃圾无害化处理量.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,分析(1)根据折线图中对应散点的分布即可进行判断;(2)将所得数据代入线性相关系数的计算公式中求值,然后算出2025年所对应的t值,再代入线性回归直线方程中求值.,解(1)由折线图可知,散点图中的点都在一条直线附近,y随t的增大而增大,所以两者之间存在线性相关关系. (2)由折线图中数据和附注中参考数据得,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,探究一,探究二,探究三,反
13、思感悟回归分析的步骤 (1)判断两个变量是否线性相关.可以利用经验,也可以画散点图. (2)求线性回归方程.注意运算的正确性. (3)根据回归直线进行预测估计.注意估计值不是实际值,两者之间会有一定的误差.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,变式训练3从2016年1月1日起,广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围.其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表:,当堂检测,探究一,探究二,探究三,经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系,下面是随机采集的8组数据(x,y)(其中x(单位:万元)表示购车价格,y(单位:元)表示商业车险保费
14、):(8,2 150),(11,2 400),(18,3 140),(25,3 750),(25,4 000),(31,4 560),(37,5 500),(45,6 500). (2)广东李先生在2019年1月购买了一辆价值20万元的新车, 估计李先生购车时的商业车险保费; 若该车今年2月已出过一次险,现在又被刮花了,李先生到4S店询价,预计修车费用为800元,保险专员建议李先生自费(即不出险),你认为李先生是否应该接受建议?说明理由.(假设车辆下一年与上一下都购买相同的商业车险产品进行续保),当堂检测,探究一,探究二,探究三,(2)价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为117.820+
15、1 055=3 411(元). 由于该车已出险一次,若再出险一次,则保费要增加25%,即增加3 41125%=852.75(元). 因为852.75800,即若出险,明年增加的保费已超800元,故应接受建议.,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,1.下列两个变量中,具有相关关系的是( ) A.正方体的体积与棱长 B.匀速行驶的汽车的行驶路程与时间 C.人的身高与体重 D.人的身高与视力 解析:A选项中,正方体的体积与棱长是函数关系,不是相关关系; B选项中,匀速行驶的汽车的行驶路程与时间是函数关系,不是相关关系; C选项中,人的身高会影响体重,但不是唯一因素,所以人的身高与体重是相关关
16、系; D选项中,人的身高与视力无任何关系. 答案:C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,2.一位母亲记录了儿子3岁到9岁的身高,建立的儿子身高(单位:cm)与年龄(单位:岁)的回归直线方程为 =7.19x+73.93,用这个方程预测儿子10岁时的身高,则下面的叙述正确的是( ) A.身高一定是145.83 cm B.身高在145.83 cm以上 C.身高在145.83 cm左右 D.身高在145.83 cm以下 解析:由回归直线方程预测儿子10岁时的身高 =7.1910+73.93=145.83(cm).利用回归直线方程进行预测,只能说身高在某一预测值附近. 答案:C,探究一,探究二,探究三,当堂检测,答案:D,4.正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为 =0.72x-58.2,张明同学(20岁)身高178 cm,他的体重应该在 kg左右. 解析:用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测,当x=178时, =0.72178-58.2=69.96(kg). 答案:69.96,