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1、本章整合,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一 三角形中的基本计算问题 在三角形问题中,绝大多数是关于三角形的边、角以及面积等的计算问题,这是高考对解三角形考查的主要形式.求解这类问题时,可以直接利用正弦定理、余弦定理、面积公式进行求解计算或者利用正弦、余弦定理,通过边与角的互化,对已知条件进行变形、转换再求解.,专题一,专题二,专题三,专题四,答案:D,专题一,专题二,专题三,专题四,【例2】若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为( ),答案:A,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练1 (1)(2016山东高考)ABC中,角A,B
2、,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=( ),(2)已知在ABC中,B=120,AC=7,AB=5,则ABC的面积为 . 解析:(1)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A). 由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二 三角形中的范围与最值问题 解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路,一是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为边的关系,利用代数方法求解;二是通过正
3、弦定理或余弦定理将问题转化为角的关系,利用三角中的方法求解.,专题一,专题二,专题三,专题四,【例3】已知在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是( ),解析:由已知及正弦定理得a2b2+c2-bc, 由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A,答案:C,专题一,专题二,专题三,专题四,【例4】已知在ABC中,B=60, ,则AB+2BC的最大值为 .,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练2 (1) 已知在ABC中,A=30,AB=4,满足此条件的ABC有两解,则BC边的长度的取值范围为 . (2)已知在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2
4、A,则 的值等于 ,AC的取值范围为 .,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二,专题三,专题四,专题一,专题三 三角形中的综合问题 正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理,应用极为广泛,它将三角形的边和角有机地联系起来.正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量,如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础,而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据.,专题二,专题三,专题四,专题一,【例5】在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin C+cos C=1 (1)求sin C的值; (2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.,专题二,专题三,专题四,专题
5、一,专题二,专题三,专题四,专题一,变式训练3 在ABC中,sin2A=sin Bsin C.,专题二,专题三,专题四,专题一,专题四 解三角形的实际应用 正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常见的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题,解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.,专题二,专题三,专题四,专题一,【例6】在某海峡海域内,当甲方船只与乙方船只相距最近时,两船均相互鸣笛问好.一天,海面上离乙方船只A的正北方向100 n mi
6、le处有一甲方船只B正以每小时20 n mile的速度沿北偏西60的方向行驶,而乙方船只A以15 n mile/h的速度向正北方向行驶.若两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好?,专题二,专题三,专题四,专题一,变式训练4 如图,地面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB长20 m,在A处测得点P的仰角OAP=30,在B处测得点P的仰角OBP=45,又测得AOB=60,则旗杆的高度为( ),答案:C,考点1,考点2,考点3,考点1 正弦定理,答案:B,考点1,考点2,考点3,2.(2017全国2高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=ac
7、os C+ccos A,则B= .,考点1,考点2,考点3,答案:75,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,答案:1,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,7.(2015课标全国高考)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC, BD=2DC.,考点1,考点2,考点3,考点2 余弦定理,解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即5=b2+4-4b ,即3b2-8b-3=0, 又b0,解得b=3,故选D. 答案:D,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,答案:C,考点1,考点2,考点3,10.(2016山东高考)ABC中,角A
8、,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c, a2=2b2(1-sin A),则A=( ),解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c, 所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A). 由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,答案:C,考点1,考点2,考点3,答案:B,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,14.(2014课标全国高考)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1, BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积. 解:(1)由题设及余弦定理得 B
9、D2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C, BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.,考点1,考点2,考点3,考点3 正弦定理、余弦定理的综合应用 15.(2016上海高考)已知ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .,考点1,考点2,考点3,16.(2016全国乙高考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;,考点1,考点2,考点3,17.(2015课标全国高考)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC, ABD面积是ADC面积的2倍.,在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcos ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.,