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1、第2课时 等差数列的性质及应用,等差数列的性质 1.思考:给出等差数列an:1,5,9,13,其通项公式是什么?从函数的角度看,an是关于n的什么函数?其图象有什么特点? 提示:通项公式为an=4n-3;an是关于n的一次函数,其图象是直线y=4x-3上的一些孤立的点. 2.填空: (1)等差数列的图象 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d=0时,an是关于n的常数函数;当d0时,an是关于n的一次函数,点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,且是这条直线上的一列孤立的点. (2)公差d与斜率 等差数列an的图象是一条直线上的孤立的点,而这条直线的斜率,3.思考
2、:在等差数列中,怎样用数列的任意其他项(非首项)和公差来表示通项an?在等差数列中,怎样由am,an求公差d?,4.填空: (1)在等差数列an中,an=am+(n-m)d;,5.做一做: 已知等差数列an,a3=5,a8=35,则其公差d= .,答案:6,6.思考:结合具体实例分析判断:若an,bn均为等差数列,则pan+qbn(p,qR)是否也是等差数列?在an中,由奇数项组成的数列、偶数项组成的数列是否都能构成等差数列? 提示:是等差数列;都能构成等差数列. 7.填空: (1)若an,bn分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列pan+qbn(p,qR)是公差为pd1+qd2的等差数列.
3、 (2)若an是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)构成公差为md的等差数列.,8.做一做: 已知an是等差数列,则下列数列bn也为等差数列的是( ),解析:若an的公差为d,则当bn=a3n时,bn+1-bn=a3n+3-a3n=3d,故bn是公差为3d的等差数列. 答案:C 9.思考:请你观察几个具体的等差数列,通过计算分析判断:与首末两项“等距离”的两项之和是否等于首项与末项的和?当m+n=p+q时,是否有am+an=ap+aq?特别地,当m+n=2t时,am,an,at之间的关系是什么? 提示:等于;有am+an=ap+aq;am+an=2at.,10.填空
4、: (1)等差数列的项的对称性:在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=; (2)在等差数列an中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2t,则am+an=2at.,11.做一做: (1)判断正误. 在等差数列的通项公式中,an是关于n的一次函数. ( ) 在等差数列an中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q. ( ) 等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列. ( ) 摆动数列不可能是等差数列. ( ) 在等差数列an中,若m+n=p,则am+an=ap. ( ) 在等差数列a
5、n中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at. ( ) 答案: (2)在等差数列an中,若a5=7,a9=19,则a2+a12= ,a7= . 解析:a2+a12=a5+a9=7+19=26. 因为a5+a9=2a7=26,所以a7=13. 答案:26 13,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等差数列性质的应用 例1(1)已知等差数列an,a5=10,a15=25,求a25的值; (2)已知等差数列an,a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值; (3)已知数列an,bn都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值. 分析:利用等差
6、数列的性质解决各个问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(方法2)因为5+25=215,所以在等差数列an中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=225-10=40. (方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40. (2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28. (3)令cn=an-bn,因为an,bn都是等差数列,所以cn也是等差数列,设
7、其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+182=41.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟在等差数列中,一般存在两种运算方法:一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1(1)已知数列an为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9= . (2)已知an为等差数列,a15=8,a60=20,则a75= . 解析:(1)因为数列an为等差数列,
8、所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2. (2)因为an为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,则a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24. 答案:(1)2 (2)24,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等差数列的综合问题 例2(1)设an是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值; (2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之
9、积比中间两数之积少18,求此等差数列. 分析:(1)利用等差数列的性质求解;(2)可设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解:(1)设an的公差为d,a1+a3=2a2, a1+a2+a3=15=3a2,a2=5. 又a1a2a3=80,an是公差为正数的等差数列, a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去), a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105. (2)设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则,因为该数列是递增数列,所以d0,故此等差数列为-1,2,5,
10、8或-8,-5,-2,1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下: (1)当等差数列an的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,. (2)当等差数列an的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,这样可减少计算量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(2)已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.,答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当
11、堂检测,(2)解:方法一:设这三个数分别为a,b,c,则,故这三个数分别为4,6,8. 方法二:设这三个数分别为a-d,a,a+d,由已知可得,由得a=6,代入得d=2. 该数列是递增的,d=-2舍去,d=2,这三个数分别为4,6,8.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,等差数列的实际应用 例3九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积共3升,最下面3节的容积共4升,则从上往下数,第5节的容积为( ),分析:设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.,解析:设所构成的等差数列an的首项为a1,公差为d,则,答案:B,探究一,探究
12、二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 1.解答数列实际应用问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;(3)判型,即判断该数列是否为等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所求结果还原到实际问题中. 2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,以后每4年举行一次,如因故不能举行,届数照算,那么2020年将在日本东京举行的奥运会
13、是( ) A.第30届 B.第31届 C.第32届 D.第33届 解析:依题意知举行奥运会的年份构成以1 896为首项,4为公差的等差数列,通项公式为an=1 896+4(n-1),令2 020=1 896+4(n-1),解得n=32. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,错用等差数列的性质致误 典例在等差数列an中,若a6=10,a15=1,求a21的值. 错解:因为an是等差数列,所以a21=a6+a15=10+1=11. 提示:错解是运用了“ap+aq=ap+q”这一结论得到的.事实上,在等差数列中,根本没有这样的性质.,防范措施必须熟记等差数列的性质以便灵活运用,在性
14、质“若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq”中,等式两边各有两项相加,项数相同,不能出现“am+an=am+n”的错误.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.已知等差数列an,a7+a19=19,a5=1,则a21的值为( ) A.20 B.18 C.15 D.17 解析:因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18. 答案:B 2.已知数列an,bn为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列2an-3bn的公差为( ) A.7 B.5 C.3 D.1 解析:2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)
15、-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.已知等差数列an的各项均为正数,a1=1,且a2+a6=a8.若p-q=10,则ap-aq= . 解析:设等差数列an的公差为d0. a1=1,且a2+a6=a8, 2+6d=1+7d,解得d=1. 若p-q=10,则ap-aq=10d=10. 答案:10 4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于 . 解析:设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是345. 答案:345,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.某公司2017年经销一种数码产品,获利200万元,从2018年起,预计其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将出现亏损? 解:记2017年为第1年,由题设可知第1年获利200万元,第2年获利180万元,第3年获利160万元,则每年获利构成等差数列an,且当an11, 即从第12年起,也就是从2028年开始,该公司经销此产品将出现亏损.,