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1、章末复习课 整合 网络构建 警示 易错提醒 1“互斥事件”与“相互独立事件”的区别 “互斥事件”是说两个事件不能同时发生， “相互独立事件”是说 一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 2对独立重复试验要准确理解 (1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行； 第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只 有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 (2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(Xk)Ck np k(1p)nk， 它是 n 次独立重复试验中某事件A 恰好发生 k 次的概率其中n 是重 复试验次数， p是一次试验中某事件A 发生的概率， k 是在 n
2、 次独立试 验中事件 A 恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k 的意义，才能正确 运用公式 3(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之 间的关系要清楚 (2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力如“至少有一个发 生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等 (3)常见事件的表示已知两个事件A、B，则 A，B 中至少有一个 发生为AB；都发生为A B；都不发生为 A B ；恰有一个发生为 ( A B)(A B )；至多有一个发生为 ( A B )( A B)(A B ) 4对于条件概率，一定要区分P(AB)与 P(B|A) 5(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(
3、 ) 的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值它们都由的分 布列唯一确定 (2)D( )表示随机变量 对 E( )的平均偏离程度 D( ) 越大表明平 均偏离程度越大，说明的取值越分散；反之D( )越小， 的取值越 集中 (3)D(a b)a2D( )，在记忆和使用此结论时，请注意D(a b)aD( )b，D(a b)aD( ) 6对于正态分布，要特别注意N( ， 2)由 和 唯一确定，解 决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x . 专题一条件概率的求法 条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现， 也可能是大题中的一个部分，难度中等 例 1坛子里放着 7 个大小、形状
4、相同的鸭蛋， 其中有 4 个是绿 皮的， 3 个是白皮的如果不放回地依次拿出2 个鸭蛋，求： (1)第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率； (2)第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋的概率； (3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下， 第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率 解： 设“第 1 次拿出绿皮鸭蛋 ”为事件 A，“第 2 次拿出绿皮鸭蛋 ” 为事件 B，则“第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋 ”为事件 AB. (1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为 n()A 2 742， 根据分步乘法计数原理，n(A)A14A1624. 于是 P(A) n（A） n（） 24 42 4 7. (2)因为 n
5、(AB)A2 412， 所以 P(AB) n（AB） n（） 12 42 2 7. (3)法一由(1)(2)可得，在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2 次 拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A) P（AB） P（A） 2 7 4 7 1 2. 法二因为 n(AB)12，n(A)24， 所以 P(B|A) n（AB） n（A） 12 24 1 2 . 归纳升华 解决概率问题的步骤 第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独 立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种 第二步，判断事件的运算 (和事件、积事件 )，确定事件至少有一个 发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式 第
6、三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义： P(B|A) P（AB） P（A） .(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A) n（AB） n（A） . 变式训练 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数 点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为是多少？ 解：“第一次抛出偶数点 ”记为事件 A， “第二次抛出偶数点 ”记 为事件 B，则 P(A) 36 66 1 2，P(AB) 33 66 1 4. 所以 P(B|A) P（AB） P（A） 1 4 1 2 1 2. 专题二互斥事件、独立事件的概率 要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题， 互斥事件是不可能同时
7、发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发 生与否对另一个事件没有影响 例 2如图所示，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为T1， T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是 p，电流能通过T4的 概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有 一个能通过电流的概率为0.999. (1)求 p； (2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 解：记 Ai表示事件：电流能通过Ti，i1，2，3，4， A 表示事件： T1，T2，T3中至少有一个能通过电流， B 表示事件：电流能在M 与 N 之间通过 (1)，A1，A2，A3相互独立， P( A )P
8、(1p) 3. 又 P( A )1P(A)10.9990.001， P(A3)0.90.10.90.90.10.10.90.90.989 1. 归纳升华 求解相互独立事件同时发生的概率时，要注意以下几个问题： (1)若事件 A 与 B 相互独立， 则事件 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 分 别相互独立，且有P( A B)P( A )P(B)，P(A B )P(A)P( B )，P( A B )P( A )P( B ) (2)若事件A1，A2，An相互独立，则有P(A1A2A3An) P(A1)P(A2)P(An) 变式训练 一个电路如图所示， A，B，C，D，E，F 为 6 个开关，
9、其闭合的概率都是 1 2，且是相互独立的，则灯亮的概率是多少？ 解：由题意知，四条线路是否闭合相互独立，开关A，B 与 E，F 闭合的概率相等，都是P(AB)P(A) P(B) 1 2 1 2 1 4，所以四条线路都 不闭合的概率为 P1 1 1 4 2 1 1 2 2 9 64， 所以灯亮的概率为 P1 9 64 55 64. 专题三独立重复试验与二项分布 二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式 Pn(k)Ck np k(1p)nk，k0，1，2，n，高考以解答题为主，有 时也用选择题、填空题形式考查 例 3现有 10 道题，其中 6 道甲类题， 4 道乙类题，张同学从中
10、任取 3 道题解答 (1)求张同学所取的3 道题至少有 1 道乙类题的概率； (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题， 1 道乙类题设张同学答 对每道甲类题的概率都是 3 5，答对每道乙类题的概率都是 4 5，且各题答 对与否相互独立用X 表示张同学答对题的个数，求X 为 1 和 3 的概 率 解：(1)设事件 A“ 张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题 ”， 则有 A“张同学所取的 3 道题都是甲类题 ” 因为 P( A ) C 3 6 C 3 10 1 6，所以 P(A)1P( A ) 5 6 . (2)P(X1)C 1 2 3 5 1 2 5 1 1 5C 0 2 3 5 0
11、 2 5 2 4 5 28 125； P(X3)C2 2 3 5 2 2 5 0 4 5 36 125. 归纳升华 解决二项分布问题必须注意： (1)对于公式 Pn(k)C k n p k(1p)nk，k0，1，2，n 必须在满 足“独立重复试验 ”时才能运用，否则不能应用该公式 (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立 性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试 验独立重复地进行了n 次 变式训练 一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用 这种新药的有甲、乙、丙3 位病人，且各人之间互不影响，有下列结 论： 3 位病人都被治愈的概率为0.93；
12、3 人中的甲被治愈的概率为0.9； 3 人中恰好有 2 人被治愈的概率是20.9 20.1； 3 人中恰好有 2 人未被治愈的概率是30.90.1 2. 其中正确结论的序号是 _(把正确结论的序号都填上) 解析： 中事件为 3 次独立重复试验恰有3 次发生的概率，其概 率为 0.9 3，故正确；由独立重复试验中，事件 A 发生的概率相同， 知正确；中恰有 2 人被治愈的概率为P(X2)C 2 3p 2(1p)3 0.9 20.1，从而错误；中恰好有 2 人未被治愈相当于恰好 1 人被治 愈，故概率为 C 1 30.90.1 230.90.12，从而 正确 答案： 专题四离散型随机变量的期望与方
13、差 离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是 高考的热点内容 例 4一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品 中任取 4 件做检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n.如果 n3，再 从这批产品中任取4 件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验； 如果 n4，再从这批产品中任取1 件做检验，若为优质品，则这批产 品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品 的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 1 2，且各件 产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率； (2)已知每件产品的检验费用为100 元，且抽取的每件产品都需要
14、检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求 X 的分 布列及数学期望 解：(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第 一次取出的 4 件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4 件产品都 是优质品为事件B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件B2，这批 产品通过检验为事件A，依题意有 A(A1B1)(A2B2)，且 A1B1与 A2B2 互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2) 4 16 1 16 1 16 1 2 3 64. (2)X 可能的取值为 400，500，800，并且 P(X40
15、0)1 4 16 1 16 11 16， P(X500) 1 16，P(X800) 1 4 . 所以 X 的分布列为： X 400500800 P 11 16 1 16 1 4 E(X)40011 16500 1 16800 1 4506.25. 归纳升华 (1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：明确随机变量 X 取哪些值； 计算随机变量 X 取每一个值时的概率；将结果用表 格形式列出计算概率时要注意结合排列组合知识 (2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用 E(X)x1p1x2p2xipixnpn求出均值，然后利用D(X) i1 n xiE(X) 2p i求出方差 变式训练
16、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的 随机变量 ， ，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6 环，且甲射中 10，9，8，7 环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2. (1)求 ，的分布列； (2)求 ，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术 解：(1)由题意得： 0.53aa0.11，解得 a0.1. 因为乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，所以乙射中 7 环的概率为 1(0.30.30.2)0.2. 所以 ，的分布列分别为： 10987 P 0.50.30.10.1 10987
17、P 0.30.30.20.2 (2)由(1)得： E( )100.590.380.170.19.2； E( )100.390.380.270.28.7； D( )(109.2) 20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)2 0.10.96； D( )(108.7) 20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)2 0.21.21. 由于 E( )E( )，D( )D( )，说明甲射击的环数的均值比乙高， 且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. 专题五正态分布及简单应用 高考主要以选择题、 填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质， 抓住其对称轴是关键 例 5为了
18、解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高 度(单位： cm)，其频率分布直方图如图所示. (1)求该植物样本高度的平均数x和样本方差 s 2(同一组中的数据用 该组区间的中点值作代表)； (2)假设该植物的高度Z 服从正态分布 N( ， 2)，其中 近似为样 本平均数 x， 2 近似为样本方差s 2， 利用该正态分布求 P(64.5Z96) (附： 11010.5.若 ZN( ， 2)，则 P( Z )0.682 6， P( 2 Z 2 )0.954 4) 解：(1)x550.1650.2750.35850.3950.0575， s 2 (5575) 20.1(6575)2 0.2(75
19、75)20.35(8575)2 0.3(9575)20.05110. (2)由(1)知，ZN(75，110)， 从而 P(64.5Z75) 1 2P(7510.5Z7510.5) 1 20.682 6 0.341 3， P(75Z96)1 2P(75210.5Z75210.5) 1 20.954 4 0.477 2， 所以 P(64.5Z96)P(64.5Z75)P(75Z96)0.341 3 0.477 20.818 5. 归纳升华 求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要结合3原 则以及正态曲线与x 轴之间的面积为1. 变式训练 某镇农民年收入服从 5 000元，200 元的正态
20、分布则该镇农民平均收入在5 0005 200 元的人数的百分比是 _ 解析： 设 X 表示此镇农民的平均收入，则XN(5 000，200 2) 由 P(5 000200X5 000200)0.682 6. 得 P(5 000X5 200)0.682 6 2 0.341 3. 故此镇农民平均收入在5 0005 200 元的人数的百分比为 34.13%. 答案： 34.13% 专题六方程思想 方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的 分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想即根据题设 条件列出相关未知数的方程(或方程组 )求得结果 例 6甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一
21、种零件，已知甲 机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 4， 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 12，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 2 9. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等 品的概率 解：记 A，B，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一 等品的事件 由题设条件有 P（A B ） 1 4， P（B C ） 1 12， P（AC） 2 9， 即 P（A）1P（B）1 4， P（B）1P（C） 1 12， P（A）P（C） 2 9
22、. 由得 P(B)19 8P(C)，代入得 27P(C) 251P(C)220. 解得 P(C) 2 3或 P(C) 11 9 (舍去) 将 P(C)2 3分别代入 可得 P(A) 1 3，P(B) 1 4. 故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是 1 3， 1 4， 2 3. (2)记 D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个 一等品的事件 则 P(D)1P( D )11P(A)1P(B)1P(C)12 3 3 4 1 3 5 6. 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品 的概率为 5 6. 归纳升华 (1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：p1 0，i1，2，3，n； i1 n pi1，列出方程或不等式求出未知数 (2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程 或方程组求出未知数 变式训练 若离散型随机变量 的分布列为： 01 P 9a 2a 38a 求常数 a 及相应的分布列 解：由离散型随机变量的性质得 9a 2a38a1， 09a2a1， 038a1， 解得 a 2 3 (舍去)或 a 1 3. 所以，随机变量的分布列为： 01 P 2 3 1 3