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1、黄冈中学 2016届高三（下）理科数学测试题（1） 命题人： 2016.2.14 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1. 根据如下样本数据： x2 3 学4 5 6 7 y-4.0 -2.5 0.5 1 2.0 3.0 得到的回归方程为abxy?，则（） A. 0a , 0b B. 0a , 0b C. 0a , 0b D. 0a , 0b 答案 ：C 由散点图得。 2 .如图程序框图中，若输入m=4 ，n=10，则输出a，i 的值分别是（） A12，4 B16，5 C 20，5 D24，6 答案C 解析：模拟执行
2、程序，可得 m=4 ，n=10， i=1 a=4 ， 不满足条件n 整除 a，i=2 ，a=8 不满足条件n 整除 a，i=3 ，a=12 不满足条件n 整除 a，i=4 ，a=16 不满足条件n 整除 a，i=5 ，a=20 满足条件n 整除 a，退出循环，输出a 的值为 20， i 的值为 5 故选： C 3. 把 89 化为五进制数的首位数字是（） A 1 B 2 C3 D4 答案： .C 解答：解： 895=174175=3235=03 故 89（10）=324（ 4）故选 C 4. 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（） Ak7 Bk6 Ck5 Dk4
3、 答案： C 解答：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 0 第一圈 2 2 是第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为k5？ 故答案选C 5. 下列四个命题： 样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度； 线性回归方程一定经过样本中心点； 某校高三一部和二部的人数分别是m 、n，本次期末考试两级部数学平均分分别是a、b， 则这两个级部的数学平均分为； 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800 名学生中抽50 名学生做牙齿健康检 查，现将800 名学生从l 到 800 进行编号已知
4、从497513 这 16 个数中取得的学生编号 是 503，则初始在第1 小组 116 中随机抽到的学生编号是7 其中真命题的个数是( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 答案： D 解析：对于，样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，样本的方差是标准 差的平方，反映了样本数据的分散程度的大小，正确； 正确 对于，高三一部和二部的总分分别为：ma和 nb，总人数为m+n ，这两个部的数学平均 分为，错误； 对于，用系统抽样方法，从全体800 名学生中抽50 名学生的分段间隔为=16，又 从 497 513 这 16 个数中取得的学生编号是503， 503=1631+7，在第1 小
5、组 1l6 中随机抽到的学生编号是007 号，正确 故选 D 6. 已知 XN（， 2）时， P（ X +）=0.6826 ，P（2X +2） =0.9544 ，P（ 3X +3 ）=0.9974 ，则 2 (1) 4 2 3 1 2 x edx=（ ） A0.043 B0.0215 C0.3413 D 0.4772 答案： B 解析：由题意， =1，=1， P（3X4） =P（ 2X4） P（ 1X3） =（ 0.9974 0.9544 ） =0.0215 ， 故选： B 7. 已知的最小值为n ，则二项式展开式中常数项是 A第 10 项 B第 9 项 C第 8 项 D第 7 项 答案：B
6、8. 某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开 有三个班，若每个班至多可再接收2 名同学，那么不同的接收方案共有 A72 种 B54 种C36 种 D 18 种 答案： .B 解析：分两类：两个班接收 22 34 18C C 三个班接收 23 43 36C A 9. 如图，四边形ABCD为矩形， AB=，BC=1 ，以 A为圆心， 1 为半径画圆，交线段AB于 E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段 BC有公共点的概率为( ) A B C D 答案：C 解析：由题意知本题是一个几何概型， 试验包含的所有事件是BAD ， 如图，连接AC交弧 DE于 P，
7、 则 tan CAB=， CAB=30 ， 满足条件的事件是直线AP在CAB内时 AP与 BC相交时，即直线AP与线段 BC有公共点 概率 P=， 故选： C 10. 过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶 点 M ，若点 M在以 AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) ABC （ 2，+）D（ 1，2） 答案 ： C 解析：设双曲线方程为=1，ab0 则直线 AB方程为： x=c，其中 c= 因此，设A（c， y0）， B（ c， y0），=1，解之得y0=，得 |AF|=， 双曲线的左焦点M （ a，0）在以 AB为直径的圆内
8、部 |MF|AF| ，即 a+c， 将 b 2=c2a2，并化简整理，得 2a 2+acc20 两边都除以a 2，整理得 e 2e20，解之得 e2（舍负） 故选： C 11. 考察正方体6 个面的中心，甲从这6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点 种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) A B C D 答案：D 解析：甲从这6 个点中任意选两个点连成直线，共有C6 2=15 条，乙也从这 6 个点中任意选 两个点连成直线， 共有 C6 2=15 条，甲乙从中任选一条共有 1515=225 种不同取法， 因正方体6 个面的中心构成一个正八面体，有六对
9、相互平行但不重合的直线，则甲乙两人 所得直线相互平行但不重合共有12 对， 这是一个古典概型，所以所求概率为=， 故选 D 12. 若实数a,b,c,d满足 2 2 2 2ln3dcaab =0，则 22 ()()acbd 的最小 值为 ( ) A.2 B. 2 C. 22 D. 8 答案： .D 解析： 22 ()()acbd 的几何意义是两点( , ),( , )a bc d的距离的平方。其中( , )a b在曲线 2 3lnyxx上，( ,)c d在直线2yx上。设曲线与直线平行的切线的切点为 00 (,)xy 由 0 3 21x x ，得 0 1x，即切点M（1，-1）最小值为点M 到
10、直线距离的平方。 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分 13. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法若输入 m=209 ,n=121 , 则输出 m= _ 答案： 11 14. 假定一个家庭有两个小孩，生男、生女是等可能的，在已知有一个是女孩的前提下，则 另一个小孩是男孩的概率是 答案： 2 3 15. 现有五张连号的电影票分给甲、乙、丙三人，每人至少一张, 其中有两人各分得两张连 号的电影票，则不同的分法有种（用数字作答）. 答案：18 解析：记5 张票 12345，两人连号，三种情形：12，34,5 ；12,3,45 ；1,23,45. 故分法 3 3 3
11、A 16. 已知 10 ( )(21)f xx 1098 109810 a xa xa xa xa，则 222 223344 C aC aC a 2 1010 C a 解：对等式 10 (21)x 1098 109810 a xa xa xa xa两边求导得 9 20(21)x 987 109821 10982a xa xa xa xa继续对此等式两边求导，得 8 360(21)x 987 10982 10 99 8872 1a xa xa xa令1x得 10982 36010 9988 72 1aaaa 222 223344 2(C aC aC a 2 1010 C a） 222 22334
12、4 C aC aC a 2 1010 180C a 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x2 4 5 6 8 y30 40 50 60 70 如果 y 与 x之间具有线性相关关系， （1）求销售额关于广告费的线性回归方程； （2）预测当广告费支出为9 百万元时的销售额 附：线性回归方程 ybxa 中， 1 2 2 1 n ii i n i i x ynx y b xnx ， aybx 解：（ 1）=（2+4+5+6+8）=5，=（30+40+50+60+70）=50.=1
13、45， =1390， =7，=5075=15， 因此，所求回归直线方程为： 75yx （2）当 x=9 时，=79+15=78 即当广告费支出为9 百万元时，销售额为78 百万元 18. 某省 2015 年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000 名男生的身高服从正 态分布(170.5,16)N. 现从我校高三年级男生中随机抽取50 名测量身高，测量发现被测学 生身高全部介于157.5cm 和 187.5 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6 组：第一组 157.5 ，162.5 ，第二组 162.5 ， 167.5 ，第6 组182.5 ，187.5 ，下图是按上述分 组方法得到
14、的频率分布直方图 （）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （）求这50 名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人数； （）在这50 名男生身高在177.5cm 以上（含177.5 cm ）的人中任意抽取2 人，该 2 人 中身高排名（从高到低）在全省前130 名的人数记为，求的数学期望 参考数据： 若),( 2 N则()P=0.6826 ，(22 )P=0.9544, (33 )P=0.9974. 解：（）由直方图，经过计算我校高三年级男生平均身高为 1711.01851.01802.01753.01702.01651.0160 高于全市的平均值170.
15、5 （）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2 ，人数为0.2 5010，即这 50 名男 生身高在177.5cm 以上 ( 含 177.5 cm) 的人数为10 人. （）4997.0)435 .170435.170(P， 0013.0 2 9974. 01 )5.182(P， 0.0013 100 000=130. 所以，全省前130 名的身高在182.5 cm 以上，这50 人中 182.5 cm 以上的有5 人. 随机变量可取0,1,2，于是 9 2 45 10 )0( 2 10 2 5 C C P, 9 5 45 25 ) 1( 2 10 1 5 1 5 C CC P, 9 2 45
16、 10 )2( 2 10 2 5 C C P 1 9 2 2 9 5 1 9 2 0E. 19. 已知集合1,2,3, 4A，函数( )f x的定义域、值域都是A，且对于任意iA， iif)(. 设 4321 ,aaaa是4,3 , 2, 1的任意一个排列，定义数表 1234 1234 ()()()() aaaa f af af af a ，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是 两张不同的数表. （1）求满足条件的不同的数表的张数; (2) 若 iai(4, 3,2, 1i) ，从所有数表中任意抽取一张，记为表中)(ifai的个数， 求的分布列及期望. 解：（ 1）9 4 4 A=
17、216 （2） p(=1) = 9 1 , p(=2) = 9 7 p(=3) = 9 1 因此，的分布列如下： 123 P 9 1 9 7 9 1 E =2 20. 设 M是焦距为2 的椭圆 E： 22 22 1(0) xy ab ab 上一点， A、B是椭圆 E的左、右顶 点，直线MA与 MB的斜率分别为k1，k2，且 k1k2= （1）求椭圆E的方程； （2）已知椭圆E： 22 22 1(0) xy ab ab 上点 00 (,)N xy处切线方程为 00 22 1 x xy y ab ，若 P是直线 x=2 上任意一点，从P向椭圆 E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定 点，并
18、求出该定点坐标 解：设 A（ a， 0）， B（a，0）， M （m ，n），则+=1， 即 n 2=b2? ， 由 k1k2=，即?=，即有=， 即为 a 2=2b2，又 c2=a2b2=1， 解得 a 2=2，b2=1 即有椭圆E的方程为+y 2=1； （2）证明：设点P（2， t ），切点C（x1，y1）， D（x2，y2）， 则两切线方程PC，PD分别为： +y1y=1， +y2y=1， 由于 P点在切线PC ，PD上，故 P（2，t ）满足+y1y=1， +y2y=1， 得： x1+y1t=1 ，x2+y2t=1 ， 故 C（x1，y1）， D（x2，y2）均满足方程x+ty=1 ，
19、 即 x+ty=1 为 CD的直线方程 令 y=0，则 x=1， 故 CD过定点（ 1， 0） 21. 已知函数 ( )ln(2 ) x m f xex （）设 1x 是函数 ( )f x 的极值点，求 m的值并讨论 ( )f x 的单调性； （）当 2m 时，证明： ( )ln 2f x 解： f （ x）=e xm ln （2x），f （ x）=e xm ， 由 x=1 是函数 f （x）的极值点得f （ 1） =0， 即 e 1m 1=0，m=1 于是 f （ x）=e x1ln （2x），f （ x）=ex1 ， 由 f （ x）=e x1+ 0 知 f （ x）在 x（ 0，+）上单
20、调递增，且f （ 1）=0， x=1 是 f （ x） =0的唯一零点 因此，当x（ 0，1）时， f （x） 0，f （x）递减； x（ 1，+）时， f （x） 0，f （x）递增， 函数 f （x） 在（ 0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增 （）证明：当m 2， x（ 0，+）时， e xm e x2 ， 又 e xx+1，exmex2x 1 取函数 h（x）=x1ln （2x）（ x0），h（ x）=1， 当 0x1 时，h（ x） 0，h（ x）单调递减；当x1 时，h（ x） 0，h（x）单调递 增，得函数h（x）在 x=1 时取唯一的极小值即最小值为h（1）=ln2 f
21、（ x）=e xm ln （2x）e x2ln （2x）x 1ln （ 2x） ln2 ， 而上式三个不等号不能同时成立，故f （x） ln2 请考生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写 清题号。 22. 选修 4-1 ：几何证明选讲 如图， AB是的O直径， CB与O 相切于 B，E为线段 CB上一点，连接AC 、AE分别交O 于 D、G两点，连接DG交 CB于点 F （）求证： C、D、G 、E四点共圆 （）若F为 EB的三等分点且靠近E，EG=1 ， GA=3 ，求线段CE的长 （）证明：连接BD ，则 AGD= ABD ， ABD+ DAB=
22、90 ， C+ CAB=90 C= AGD ， C+ DGE=180 ， C， E，G ， D四点共圆 （）解： EG?EA=EB 2，EG=1 ，GA=3 ， EB=2 ， 又F 为 EB的三等分点且靠近E， ， 又FG?FD=FE?FC=FB 2， ， CE=2 23. 选修 4-4： 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，以 O为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为sin 2=4cos，直线 l 的参数方程为：（t 为参数），两 曲线相交于M ，N两点 （）写出曲线C的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （）若P（ 2， 4），求 |PM|+|P
23、N| 的值 解：（）根据x=cos、y=sin ，求得曲线C的直角坐标方程为y 2=4x， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程xy2=0 （）直线l 的参数方程为：（t 为参数）， 代入 y 2=4x，得到 ，设 M ，N对应的参数分别为t1， t2， 则 t 1+t2=12，t1?t2=48，|PM|+|PN|=|t1+t2|= 24. 选修 4-5: 不等式选讲 已知函数f(x)= x-a ，其中a1. (I) 当 a=3 时，求不等式f(x) 4- x-4 的解集 ; ( ) 若函数 h(x)=f(2x+a)-2f(x)的图象与x、y 轴围成的三角形面积大于a+4, 求 a 的取值 范围 . 解： （）当3a时， 27,3, ( )41,34, 27,4. xx f xxx xx 当3x时，由 ( )44f xx 得，274x，解得 3 2 x； 当34x时，( )44f xx，无解； 当4x时，( )44f xx得，274x，解得 11 2 x ( )44f xx的解集为 311 22 x xx 或 （）记( )(2)2 ( )h xfxaf x，则 2 ,0, ( )42 ,0, 2 ,. a x h xxaxa a xa 所以 1 24 22 a Saa，解得4a.