七年级_第章_整式的乘法与因式分解_总复习剖析.pdf

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1、第 9 章 整式的乘法与因式分解总复习 ( 一). 1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个 字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式 的次数。 如：bca 2 2的 系数为，次数为，单独的一个非零数的次数是。 2、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最 高项的次数叫多项式的次数。 如：12 2 xaba，项有 2 a、ab2、x、1，二次项为一次项为，常 数项为，各项次数分别为，系数分别为，叫二次四项式。 3、整式： 单项式和多项式统称。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项

2、式和多项式。 ( 二) 1. 单项式乘以单项式法则： 单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘，对于只在一个 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为的一个因式 注意： 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：xyzyx32 32 2、单项式乘以多项式法则： 单项式与多项式相乘，就是用项式去乘项式的每一项，再把所得的 积 即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式 ) 注意： 积是一个多

3、项式，其项数与多项式的项数相同。 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如：)(3)32(2yxyyxx 3. 多项式乘以多项式法则： 多 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 先 用 一 个 多 项 式 的乘 另 一 个多 项 式 的，再把所得的积 如： （x + 5 ） （x 6 ）= 4. 单项式除以单项式法则： 单项式相除，把、分别相除，作为商的 对于只在被除数式里含有的，连同它的作为商的一个因式。 （单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的 字母，则连同它的指数作为商的一个

4、因式。） 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 如：bamba 242 497 5. 多项式除以单项式法则： 多项式除以单项式 , 先把这个项式的每一项除以这个项式，再把所得 的商 （多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。） 即：()ambmcmmammbmmcmmabc 6. 平方差公式 ： 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为 相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：)(zyxzyx 7. 完全平方公式： 公式特征：左边是一

5、个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每 一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。 注意： abbaabbaba2)(2)( 2222 abbaba4)()( 22 222 )()()(bababa 222 )()()(bababa 文字叙述：两个数的和的平方，等于这两个数的与它们的积的倍的和； 两个数的差的平方，等于这两个数的与它们的积的 2 倍的 . 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2 倍。 8. 三项式的完全平方公式： bcacabcbacba222)( 2222 9. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的的形式的变形叫做把这个多项式因 式

6、分解 19、分解因式要注意的问题： （1）如果多项式各项含有公因式，则第一步是 （2）如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用分解因式 （3） 第一步分解因式以后， 所含的多项式还可以继续分解， ?则需要进一步分解因式 直 到每个多项式因式都为止 分解因式常用方法： 1）提取公因式法： a 是多项式 ab + ac + ad 各项都含有的因式，称为这个多项式各项的公因式 一个多项式各项的公因式常常不止一个，通常，当多项式的各项的系数都是整数时， 公因式的系数应取 各项系数的最大公约数 ；字母应取 各项相同的字母 ，而且字母的指数 取次数最低 ，例如 222 1269abcbaab各项有公因式

7、3ab, 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写 成公因式与的积的形式，这种分解因式的方法叫做 2）公式法： 运用平法差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法 3）分组分解法 ： 观察多项式： 2 aabacbc 发现：多项式中既无公因式可提，也无公式法可用， 但第一，第二项有公因式：，第三，第四项有公因式：。所以， 2 ()()aabacbcac后，又发现有公因式：，最后 2 ()()()()aabacbcac。 这种利用分组来分解因 式的方法叫做 分组分解法 4）十字相乘法： x 25x6（ ） （） ； 分析上式，我们发现，二次项的

8、系数1 分解成 1 和 1 两个因数的积；常数项6 分解成 2 和 3 两个因数的积；当我们把1, 1 ；2, 3竖写后再交叉相乘的和正好等于一次项系数 （如图） 最后横写两个一次式就是分解的结果。 像这种分解二次项的系数和常数项后交叉相乘的和等于一次项系数的方法，通常叫 做十字相乘法 。 12 13 235 考点归纳： 考点一：单项式乘以单项式 例 1. 计算下列各式 aba6 3 1 1 232 232xyyx 例 2. 计算： 例 3. 一个正方体的棱长是 2 105cm,（1）它的表面积是多少？（ 2）它的体积是多少？ 例 4. 若 543 6)3(2yxyxyx ba , 求的值与b

9、a 例 5. 若 44121 10)2()5bababa mnnm （，求的值nm 练习： 1. 判断正误： （1） 523 523xxx（）（2） 222 1243aaa（） （3） 933 2483bbb（）（4）yxxyx 2 623（） （5） 22 933baabab（） 2. 计算： （1） abcba 9 8 4 3 32 （2）) 4 3 (4 222nn xx 452342 3 23 4452bacbabcba (3) 2 3 )( 3 2 )( 2 3 xyyx (4) 3322 )2()5 .0( 5 2 xyxxyyx 考点二：单项式乘以多项式 例 1计算右图的面积 （

10、1）若看成一个大长方形（整体看）它的长为，宽为，面积为 （2）若看成是由 3 个小长方形组成， 每个小长方形的面积分别为、， 则大长方形的面积为 （3）根据上面的两个问题，则有等式 例 2. 计算下列各式，并说明理由： （1）2a( 1 4 a 31) （2）ababab3 2 例 3化简求值： nnnn xxxxx433129 1 ，其中2x，3n 例 4. 如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦，求住宅用地的面积 例 5已知 x 2y=3，求 2xy（x5y24x）的值 例 6当 m、 n为何值时，mxnxmxxx1 2 1 的展开式中，不含有 2 x和 3 x的项 例 7. 观察下列

11、各式的计算过程： 5 5 = 0 1100 + 25 15 15 = 1 2100 + 25 2525 = 2 3100 + 25 3535 = 3 4100 + 25 请猜想第 n 个算式（ n 为正整数）应表示为： 练习： a6 ba2 a4住宅用地 人民广场 商厦 1. 判断下列命题正确与否，错误的请改正。 （1）3xy(x 22xy)=5xy x2 （） （2）5x(2x 2y)=10x35xy（ ） （3）5mn(2m+3n 1)=10m 2n+15mn21 （ ） （4）(ab) 2(2ab2c)=2a3b4a2b2c（ ） 2. 根据单项式乘多项式的法则填空 （1） （）xxx4

12、343 2 （2）x2（ + ）xx42 2 (3) (4) 已知 a 2 (2a x -3a y )=2a 6 -3a 3 , 则 x= ,y= . 3. 解方程 2 x( x1)x(3x2)= - x( x2)12 4. 计算（1）343 32 xyxx；（2）5x 2(2xy)2x2(7x2y22x) 考点三：多项式乘以多项式 例 1. 看图回答： (1) 大长方形的长是 _，宽是 (2) 四个小长方形面积分别是_ 来源:Z。xx。k.Com (3) 由(1) ，(2) 可得出等式 _ _ （多项式乘多项式法则） _ _ 例 2、计算（1）(3x 2)( x 1) (2) yxyx352

13、 例 3、先化简再求值：323213xxxx，其中2x 例 4、解方程 (3x2)(2x 3)=(6x 5)(x 1) 1 例 5、 （1）若 2 26xmxxxn，求的值与nm a b c d 44332222 1682_)_(_2babababa （2）若cbxaxxx 2 )25)(32(，求cba的值 例 6若 (x4) (M)x 2x(N) ，M为一个多项式， N为一个整数， 则 ( ) A M x3，N12 BM x5，N20 C M x3N12 DM x5，N20 例 7若mxxnxx33 22 的展开式中不含 2 x和 3 x项，求 n m的值 练习： 1、21xx22xyxy

14、 .， 2、三个连续偶数，若中间一个为n，则它们的积是 3、 长方形一边长nm23，另一边比它长nm，则这个长方形面积为 4、 （1） ( x 2px3)( xq)的乘积中不含 x 2 项，则 ( ) ApqBpqCpqD 无法确定 （2） 若 0x1，那么代数式 (1 x)(2 x) 的值是 ( ) A一定为正B一定为负 C一定为非负数D不能确定 （3）方程 ( x4)( x5)x 220 的解是 ( ) Ax0 Bx4 C x5 D x40 5. 若 M ( a3)( a4)，N (a2)(2 a5)，其中 a 为有理数，则 M与 N的大 小关系为 ( ) A MN BMN CM N D无

15、法确定 6. 化简求值 2 ()()()(2)ab ababaab，其中 2 1 1, 3 2 ba 7. 若 61051 232 xxxbaxxx恒成立，试求 a、b的值 考点四：乘法公式 四1完全平方式 例 1. 若将右图看成一个大正方形，则它的面积为 若将右图看成是由两个小长方形和两个小正方形组成的图形，则它的面积为 由此得到等式 例 2. 计算 2 4x 2 3yx 例 3. 计算： 2 23xy 2 2mn66abab 例 4. 计算： (1)99.8 2 (2)2012 例 5.填空 （ 1） 222 ()()9xxy(2) 22 ()12()aaab (3) （）2+ 2 3 x

16、y +y 2 = （ + ）2（4）x 2 + 6xy + =( + )2 例 6. 已知7 2 ba，3 2 ba，求ab和 22 ba的值 . 例 7. 已知421 2 yxxx，求代数式 22 22 2 1 yxyx 例 8（ 2014 巴中）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“ 杨辉三角 ” 它的发现比西 方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“ 杨辉三角 ” 中有许 多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排 列的项的系数例如， （a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1 恰好对

17、应图中第三行的数字；再 如， （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1 恰好对应图中第四行的数字请认真观察 此图，写出（a+b） 4 的展开式，（a - b） 4= 例 9. 已知x + y+ z = 2 , xy + yz + xz = - 5 , 求 222 zyx的值 练习： 1下列运算中，正确的是 ( ) A ( m n) 2m2 n 2 B ( 3pq) 23p26pqq2 C 2 2 2 11 2xx xx D(a2b) 2 a 22ab4b2 2. 计算（1）( 2ab) 2 ; (2)( a6) 2； (3)(2 x3y) 2(2 x3y)2 (

18、4) 2 2 1 99 (5) 2 1 100 2 3. 填空：（1） 2 2 16x；（2） 2 2 aab； （3） 22 abab（4） 22 abab 4. 计算（ 1） 2 ()abc（2） 2 2abc 5. 已知4)() 1( 2 baaa，求ab ba 2 22 的值 四2. 平方差公式 例 1边长为 b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上， 如右图， 你能用不同方法求出未被盖住的部分的面积吗？ a a 例 2. 计算： （1）)4)(4(yxyx（2）)32)(23(mnnm 来源: 学#科# 网 例 例 3. 下列各式 : (2a+5b)(2a-5b); (9-2a

19、)(9+2a); (-7+x)(7-x); 10397 其中能用平方差公式计算进行的是 例 4. 只要你动动脑筋，相信你一定可以找到更简便的方法： （1） 22 75175（2） 22 5.175 .27 （3）6258 （4） 7 1 30 7 6 29 例 5. （2014.包头）计算： （x+1）2 - （x+2）(x-2)= 例 6. （2014? 益阳）若 x29=（x3） （x+a） ，则 a= 例 7. 计算：2(31)(3 21)(341)(3321)1 例 6.先化简，再求值： 3 2 1 2 1 22 aaa，其中2a 例 7. 探究题： 观察下列式子：（x 21）（ x1

20、）x1； （x 31）（ x1）x2x1； （x 41）（ x1）x3x2x1 （x 51）（ x1）x4x3x2x1 .你能得到一般情况下（ x n1）（x1）的结果吗？（ n 为正整数） .根据的结果计算： 122 22324262263. 练习： 2. 下列多项式乘法中，可以用平方差公式的是 ( ) A ( m n)( m n) B(2m n )(2 m n) C ( abc)( abc) D( m n)( m n) 3. 填空： 4)(2( 2 aa 2 25)5)(xx )42(ba（）= 22 416ab )( nn yx（）= nn yx 22 （） （） = 22 196169

21、yx )5)(5( 22 mnnm（） 2. 计算：（1）10298 （2） 9 1 20 9 8 19 （3）)3)(3(baba（4）)14)(14(aa （5） )2 2 1 )(2 2 1 (xyxy （6）)2 2 1 )(2 2 1 (yxyx 3（ 2014?浙江宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图、两种方式摆放，则图 的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是多少？（用a、b 的代数式表示） 4. 通过计算探索规律： （1） 152 =225 可写成 1 2100 + 25 252 =625 可写成 23100 + 25 352 = 1225 可写成 34100 + 25

22、85 2 = 7225 可写成 （2）从第一小题的结果，归纳，得（10n + 5 ）2 （3）根据上面的归纳，计算 2005 2 考点五：因式分解 : （ 注意：因式分解的结果要分解到不能再分解为止。） 五1：提公因式法 例 1. 把下列各式的公因式写在式子的边上. （1）3x 2 x （2）4x6 （3）3mb 22nb （4）7y 221y （5）8a 3b212a2bab （6）7x 3y242x2y3 例 2. 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）6x 2y22x2y3y； （ ）（2）abacd=a(bc) d（） （3） a 21=(a1)(a 1)（ ）（4）(a 1

23、)(a 1) = a 21（ ） （5） x 21=x(x 1 x ) （）（6）ab=(a+b) （） 例 3. 将下列各式因式分解 . （1）4 x 2-12 x3； （2）yxyyx54 2 () 32 4 (1)2(1)qpp (4) (2ab)(2 a3b) 3a(2 ab) 例 4（2014? 毕节地区）下列因式分解正确的是（） A 2x 22=2（x+1）（x1） B x 2+2x1=（x1）2 C x 2+1=（x+1）2 D x 2x+2=x（x1）+2 例 6. 计算下列各式的值 . (1)8.19588 .19238.1965 (2) 22 200420032003 例

24、7. 已知.6, 5 xyyx求多项式 22 33xyyx的值. 例 8. 试说明 20051003669 3109427能被 7 整除。 练习： 1. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？ （1） ab+a c+d=a(b+c)+ d； （2） a 2-1=( a+1)( a-1) ； （3）( a+1)( a-1)= a 2-1 2、将下列各式因式分解 . yxyy253)1( 2 ababba1596)2( 22 (3) 8a 2b24a2b2ab (4) 10(ab) 25( ba)3 3. 将下列各式因式分解 . (1)78)(1211()87)(43(abbaba

25、ba (2)()(xbxaabbxxaa 4. 若23 2 xx，求xxx462 23 的值。 5. 已知12 96 可以被在60 至 70 之间的两个整数整除， 则这两个整数是多少？ 五2：公式法（平方差公式和完全平方公式） （一）因式分解之平方差公式 例 1.把下列各式分解因式 . （1） 2 2536a（2） 22 916yx 22 )2()()3(baba 2 2 4)(9)4(nmnm 例 2.把下列各式分解因式 4435 62516)2(273)1 (nmxx 24 )()(3(abba 例 3.（2014年广东）已知 a+b=4，ab=3，则 a2b2= 例 4. （ 2014?

26、 福建泉州）分解因式x 2yy3 结果正确的是（） Ay（x+y）2By（xy）2Cy（x2y2）Dy（x+y） （xy） 例 5. （2014? 呼和浩特）某商品先按批发价a 元提高 10%零售，后又按零售价降低 10% 出售，则它最后的单价是（）元 AaB0.99aC1.21aD0.81a 例 6. 已知：904nm，1032nm，求 2 2 3)2(nmnm的值 例 7利用因式分解计算: 练习： 1. 判断下列各式是否是因式分解. （1）dcbadacab（）（2）111 2 aaa（） （3）422 2 aaa（） （4）bababa323294 22 （） 3. （ 2014?广西贺

27、州，第13 题 3 分）分解因式：a 34a= 2把下列各式因式分解 . 2 04.0)1(b 22 121 4 9 1 )2(nm 2 2 4)(9)3(baba 22 )25()23(4nmnm 3.（2014?武汉）分解因式：a 3a= 4. 计算： (1 2 2 1 )(1 2 3 1 )(1 2 4 1 ) (1 2 9 1 )(1 2 10 1 ) （二） . 因式分解之完全平方公式 例 1. （ 2014?安徽省）下列四个多项式中，能因式分解的是（） A a2+1 B a 26a+9 Cx2+5y Dx 25y 例 2. 把下列各式分解因式 (1) 2510 2 xx (2) 2

28、2 9124baba (1) 4)(4)( 2 nmnm (2) 222 ) 1()(aaa 例 3. 把下列各式分解因式 (1) 22 442256456 (2) 2 234612144 例 4.已知 2xy=b，x3y=1 求：14y(x3y) 24(3 yx) 3 的值. 例 6. （ 2014?孝感）若 ab=1，则代数式a 2b22b 的值为 例 7.（2014?菏泽）分解因式：2x34x2+2x= 2x（x1）2=_ 例 8. 已知4)2()2( 2 baaa，求代数式ab ba 2 22 的值. 例 9. 若、为ABC的三边长，试判断代数式的值 是正数，还是负数 练习： 1. 请

29、补上项，使下列多项式成为完全平方式： （1）4m 2 n 2(2m )2 （2）x 2 16y 2( )2； （3）4a 29b2 ( ) 2 （3）2pq1( ) 2. 2 （ 2014?广西玉林市）下面的多项式在实数范围内能因式分解的是（） Ax 2+y2 Bx 2 y Cx 2+x+1 Dx 22x+1 3 （ 2014浙江金华）把代数式 2 2x18分解因式，结果正确的是【】 A 2 2 x9B 2 2 x3C2 x3x3D2 x9x9 4. 把下列各式分解因式：（1） 2 2 2 1 16 yxy x （2） 222 168cabcba （3）144 2 yxyx（4） 222 4)

30、 1(mm (5) 2222 484axaxa (6)01.02.09 .99 .9 2 5.（2014?邵阳）将多项式m 2n2mn+n 因式分解的结果是 6 （ 2014? 浙江）（1）化简：（a+b） 2+（ab） （a+b） 2ab； 7. 已知 ab=5，ab=3，求代数式 a 3b2a2b2ab3 的值. 8已知 xy=4 xy=2 求 2x 3y4x2y22xy3 的值 五3 因式分解的分组分解法 例 1. 把下列多项式分解因式 (1)22(2)33acbcabaaxbbx 例 2. 把下列多项式分解因式： 2 (1)a mbnanabm （3）（4）. 32 2 aabab 例

31、 3已知 a,b,c 是三角形 ABC的三边，且满足 222 2222220abcabbcac 试判别三角形的形状 . 练习： 1 用分组分解 a 2 b 2 c 22bc 的因式，分组正确的是 （） 2把下列各式分解因式 （3）x 26xy9y2a2 （4）14a 2b24ab 3. 已知 a,c 是等腰三角形 ABC的两边，且满足 22 468130acac，试求三角形的 周长 五4. 因式分解的十字相乘法 例 1. 用十字相乘法分解： x 27x12=（ ） （） 画图： )2().( )2().( 222 222 bccbaC bcbcaA )2(. 2).( 222 222 bccb

32、aD bccbaB xyxyx21565)2( 2 baaba3217)1( 2 1 1 x 2 x6 x 2x6 注意：竖分解，横书写 例 2（用十字相乘法进行二次项系数不是1 的二次三项式的因式分解） 1. 把下列多项式因式分解 2x 2 +3x+1 2y 2 +y-6 4m 2 +8mn+3n 2 = = = 例 3综合使用因式分解的方法进行因式分解 365 24 xx 32 1516xxx =（x 2-9 ）(x2+4) = = 60)(17)( 222 xxxx3)2(2)2( 222 xxxx 例 4. （ 2014?株洲）分解因式：x 2+3x（x3） 9 练习： 1、把下列多项

33、式分解因式： （1）1110 2 aa（2）30 2 xx (3). 22 82yxyx（4） 1 1 1 1 1 2 19 14 2 ()5()6abab 2如果)( 2 bxaxqpxx，那么 p 等于 ( ) Aab Bab Cab D( ab) 3如果305)( 22 xxbxbax，则 b 为 ( ) A5 B6 C5 D6 4多项式axx3 2 可分解为 ( x5)( xb)，则 a，b 的值分别为 ( ) A10和2 B10 和 2 C10和 2 D 10和2 565 2 mm(m a)( m b) a_，b_ 6. 多项式 2 12xpx可以分解为xaxb ， , a b为整数 ，则 p= . 7若 xy6， 36 17 xy，则代数式 3223 2xyyxyx的值为 _ 8把下列各式分解因式： 22 (1)98(2)310xxxx 63 (3)815xx 22 (4)812m xmx