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1、3.7 反函数 【高教版中职（基础）数学第一册第三章3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1 现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信 息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基 本的概念之一。 映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念. 有多 方面的用处， 本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法， 与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法 严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历 将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维
2、过程，感受知识的形成与发展规律 是至关重要的。 2 此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质， 对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但 毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计 更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3 考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单 的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系， 又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们 的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析，可得出： 1） 学习重点和
3、难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要 和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2） 教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知 识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。 3）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 知识目标：（ 1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。 能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并 进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标：（ 1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 （ 2）在民主、和谐
4、的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三、教学过程 教学过程设计说明 问题：函数y = 3x 与函数 y = 3 1 x 的对应法则有映射的对应 什关系？法则是学生以前 学习过且重点讲 述的的问题，所 创（教师问学生：要解决这个问题我们必须应用什么以，问题如此提 设知识呢？我们不妨亲自尝试列举一下，通过你列举的结果出使原本抽象的 问来判断这两个函数之间的关系）反函数引入问题 题简单化，既复习 情旧知识又使学生 境对本节产生兴趣 学生自主思考、讨论，体会知识的产生及形成过程，数学的新旧知 进而把握概念的实质。教师可根据实质情况进行必要的思识之间有非常紧 维点拨，使学生全面、准确的得到：密的联系，教
5、师 y = 3x y = 3 1 x 要引导学生用旧 学把-1 对应到 -3 把-3 对应到 -1 知识发现新问题 把 1 对应到 3 把 3 对应到 1 产生新需要，要 生把 2 对应到 6 把 6 对应到 2 给学生留有充分 , ,的思维空间， 启 自把 a 对应到 b = 3a 把 b = 3a 对应到 a 发学生从问题出 发，联系有关知 主函数 y = 3x 与 y = 3 1 x 的对应法则正好是相反的：识（映射、函数） y = 3x把 a 对应到 b = 3a 从不同角度、不 探 y = 3 1 x 把 b = 3a 对应到 a. 同方面认识问题。 很自然地可以把y = 3 1 x
6、 叫做 y = 3x的反函数，也可以用对比的方法得 索把 y = 3x叫做 y = 3 1 x 的反函数，他们互为反函数。到两个特殊函数 那么简要概述以上过程，同学门可以形象的表示为：的映射关系，再 和用一般字母a和 教学过程设计说明 R y=3x R b统一表示，充 研分反映了两个函 数的特殊对应关 系，同时映射的 究 y= 3 1 x 引入，又使学生积 极主动的参与 突出了知识的 形成过程。 函数 y = 3x的定义域为R1，值域为R2，既在 R1中数学概念的形成 辩每一个元素a， 在 R2中只有一个元素b , 使得 b=3a, 离不开抽象与概括， 析而函数 y = 3 1 x 又告诉我们
7、在R2中每一个元素b，因此要让学生亲自 在 R1中只有一个元素a, 使得 b = 3a, 经历由具体到抽象， 研把 b 对应到 a 的映射 y= 3 1 x 称为映射y = 3x 的反概括事物本质属性 讨数 。的过程， 以培养学 所以，想要寻找到函数y = 3x 的反函数，关键的生形成数学概念的 问题是要看在R2中每一个元素b， 在 R1中只有一个元概括能力，教师要 与素 a 形成 R2到 R2的映射，若有，则此映射既为原函数根据情况决定介入 的反函数。程度， 使概念完整 抽通过对函数y = 3 1 x 、y = 3x的研究、探讨，同学的展现在学生面前。 象们自然会考虑到一般的反函数的定义：另
8、外，这种讲解方 一般的，设函数y =f (x)的定义域为A，值域为B。 法，把反函数概念 如果对于B中的每一个元素b，在 A中只有一个元素a 的本质清晰的揭示 使得 f(a) = b, 那么把 b 对应到 a 的映射称为y=f(x)的出来，使学生能直 概反函数，记作 y = f -1 ( x ) 观的、朴素的认识 A y=f(x) B 到有反函数的条件。 括 A y = f -1 ( x ) a b=3a a b 1） 从定义得的出过程可以看出：如果函数y = f(x) 反思有利于学生 有反函数，那么对思维过程的自我 反 y = f (x)的值域 B是反函数 y = f -1 (x) 的定义域
9、，认识和自我控制， y = f(x)的定义域A是反函数y = f -1 (x) 的值域形成良好的知识 思 f (a) = b , aA f -1 (b) = a , b B 结构，从而促进新 2） 如果函数y = f(x)有反函数y = f -1(x) ，那么 的思维角度、思维 与 y = f -1 (x) 也有反函数，并且y =f -1 (x) 的反函数就是形式的变换和更新 y = f (x)，称他们互为反函数。使学生的思维能力 评 3） 不是每一个函数都有反函数，让学生讨论函数认知方式得到优化。 y = x 2 有没有反函数， 价得出：没有，理由是：对于y = x 2 的值域 R的一 个元
10、素 4，在定义域R中有两个元素2 和-2 ，使得：a 2 2 = 4 ， （-2）2 = 4 这与反函数的定义不符 创问题： 求下列函数的反函数：问题的设置又 设 1）y = 2x + 1 一次让学生明确 问 2）y = x求得函数反函数 题 3）y = 1 13 x x 的逻辑思维过程， 情这是整节课始终 境观察分析这三个函数的特点，对求对数函数的过贯穿的用映射中 程进行讨论：的对应法则来解 释反函数， 求得 反函数。 让学生充分的思考、讨论，并联系反函数定义的得出要给学生留有 过程探求问题的解决途径，可得到：充分的时间进行 首先要知道原函数y=f(x)的值域；才能判断出所求思考相互之间也
11、思出的函数是不是反函数（因为反函数必须是对于y=f(x) 可以进行讨论，使 的值域中每一个元素b，都有 y=(x) 的定义域中唯一的学生有逻辑性的寻 考一个元素a 与它对应） . 既先求出值域再求出反函数。找求反函数的过程 （书写求得反函数的过程，又完全符合前面我们分析教师要引导学生依 求得反函数定义的过程）据反函数的定义域 如： （解例一和三）得出过程来寻找， 教学过程设计说明 探并注意函数a 对应 b，而反函数b 对 究应 a 的关系。 学生观察力 辩的培养是不可忽 视的，教师要启 析发同学观察、 分析 析，寻找特征， 归 纳解答方法。 引导学生反思本节课整个的学习过程，使它们从反思有利于
12、学 知识、方法、能力三个维度上得到如下认识：生进一步搞清知识 反 1） 本节我们很好的利用映射中对应法则引入了的产生及形成过程， 两个特殊的函数，通过对比寻找它们对应法则的关系，掌握获取知识的方 思很自然的引入了反函数的概念，揭示了反函数概念的本法，提高学生分析 质，也为后来求得函数的反函数过程做好相应的铺垫。问题、解决问题的 与 2）找反函数概念的过程，应用于实际问题中求能力，以形成良好 函数的反函数，既巩固了概念，又深化了对概念的的认知结构 评理解，也感受了具体求反函数方法的科学性、重要性。 3）在学习得到和运用新概念的过程中，我们的 价收获不仅是知识，更重要的是认识知识的过程，类比 转化的思想是学习数学的重要思想。 4）引导学生反思与评价在本节课的学习活动中， 我们得到了互为反函数的两个函数，那么它们的图像 之间又有什么关系呢？（课下完成以下实验） 课外实验： 在一张薄的白纸上画一个直角坐标系Oxy，然后为下一节课做铺 画出函数y=3x 的图像l1,和 y=3x 的图像l2, 再画出垫，引出互为反函 直线 y=x. 将白纸沿直线y=x 折叠， 观察l1与 l2是数的两个函数图像 否完全重合？之间的关系 练习题作业： 或课外作业 （1） y=2x-5 (2)y= (3)y= x 1 1x