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1、大题冲关集训 ( 五) 1.(2013 年高考安徽卷 ) 设椭圆 E: +=1 的焦点在 x 轴上. (1) 若椭圆 E的焦距为 1, 求椭圆 E的方程 ; (2) 设 F1,F2分别是椭圆 E的左、右焦点 ,P 为椭圆 E上第一象限内的 点, 直线 F2P交 y 轴于点 Q,并且 F1PF1Q,证明: 当 a 变化时 , 点 P在某 定直线上 . (1) 解: 因为焦距为 1, 所以 2a 2 -1= , 解得 a 2= . 故椭圆 E的方程为+=1. (2) 证明:设 P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0), 其中 c=. 由题设知 x0c, 则直线 F1P的斜率=, 直线 F
2、2P的斜率=. 故直线 F2P的方程为 y=(x-c). 当 x=0 时,y=, 即点 Q坐标为 0,. 因此, 直线 F1Q的斜率为=. 由于 F1PF1Q, 所以2=2=-1. 化简得= -(2a 2-1).(*) 将(*) 代入椭圆 E的方程, 由于点 P(x0,y0)在第一象限 , 解得 x0=a 2,y 0=1-a 2, 即点 P在定直线 x+y=1 上. 2. (2013 四川资阳市二模 ) 已知椭圆 C: + =1(ab0) 经过(1,1) 与 （ ,）两点. (1) 求椭圆 C的方程; (2) 过原点的直线 l 与椭圆 C交于 A、B两点, 椭圆 C上一点 M满足 |MA|=|
3、MB|. 求证:+为定值 . (1) 解: 将(1,1) 与（,）代入椭圆 C的方程 , 得 解得 a 2=3,b2= . 椭圆 C的方程为+=1. (2) 证明:由|MA|=|MB|, 知M在线段 AB的垂直平分线上 ,由椭圆的对称 性知 A、B关于原点对称 . 若点 A、B是椭圆的短轴顶点 , 则点 M是椭圆的一个长轴顶点, 此时 += + + =2(+ )=2. 同理, 若点 A、B是椭圆的长轴顶点 , 则点 M是椭圆的一个短轴顶点 , 此时 += + + =2(+ )=2. 若点 A、B、M不是椭圆的顶点 , 设直线 l 的方程为 y=kx(k 0), 则直线 OM 的方程为 y=-
4、x, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 解得=,=, |OA| 2=|OB|2= + = , 同理|OM| 2= , 所以+=+=2, 故+为定值 2. 3.(2014 广州市高三调研测试 )如图, 已知抛物线 P:y 2=x, 直线 AB与抛 物线 P交于 A,B 两点,OAOB,+=,OC与 AB交于点 M. (1) 求点 M的轨迹方程 ; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值 . 解:(1) 设 M(x,y),A(,y1),B(,y2), +=, M是线段 AB的中点 . x=, y=. OA OB, 2=0. +y1y2=0. 依题意知 y1y20, y1y2=-1.
5、 把、代入得 :x=, 即 y 2= (x-1). 点 M的轨迹方程为 y 2= (x-1). (2) 依题意四边形 AOBC 为矩形, 四边形 AOBC 的面积为 S=|OA|2 |OB| =2 = = = + 2|y1y2|=2, 当且仅当 |y1|=|y2| 时等号成立 . S=2. 四边形 AOBC 面积的最小值为2. 4.(2013 四川绵阳第三次诊断 )已知抛物线 C:y 2=2px(p0),M 点的坐 标为(12,8),N点在抛物线 C上, 且满足=,O 为坐标原点 . (1) 求抛物线 C的方程 ; (2) 以点 M为起点的任意两条射线l1,l2关于直线 l:y=x-4对称,
6、并且 l1与抛物线 C交于 A、B两点,l2与抛物线 C交于 D 、E两点, 线段 AB、 DE的中点分别为 G 、H两点. 求证: 直线 GH过定点 , 并求出定点坐标 . 解:(1) =, 点 M的坐标为 (12,8), 点 N的坐标为 (9,6), N点在抛物线 C上, 6 2=18p, p=2,所以抛物线 C的方程为 y 2=4x. (2) 证明:由条件可知 , 直线 l1的斜率存在且不为0, 设 l1:y=k(x-12)+8,由 l1,l2关于直线 l:y=x-4对称, 则 l2的方程为 y= (x-12)+8, 由 得 ky 2-4y+32-48k=0, 设 A(x1,y1),B(
7、x2,y2), 则 y1+y2= , 又 y1+y2=k(x1+x2-24)+16, x1+x2= -+24, 点 G的坐标为 (- +12, ), 用 代替 k, 得到点 H坐标为 (2k 2-8k+12,2k), kGH= = =, 直线 GH的方程为 y-2k=x-(2k 2-8k+12), 令 y=0, 则 x=10, 所以直线 GH过定点(10,0). 5. 已知椭圆 C: + =1(ab0) 的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为. 以原点为圆心 , 椭圆的短轴长为直径的圆与直线x-y+=0相切. (1) 求椭圆 C的方程; (2) 如图,若斜率为 k(k 0)的直线 l 与 x
8、轴、椭圆 C顺次相交于 A,M,N(A 点在椭圆右顶点的右侧 ), 且NF2F1=MF2A.求证直线 l 过定 点(2,0),并求出斜率 k 的取值范围 . 解:(1) 由题意知 e= = , e 2= = = , 即 a 2=2b2. 又b=1, a 2=2,b2=1, 椭圆方程为+y 2=1. (2) 由题意 , 设直线 l 的方程为 y=kx+m(k0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得(2k 2+1)x2+4kmx+2m2-2=0. 由=16k 2m2-4(2k2+1)(2m2-2)0, 得 m 2b0) 的离心率为, 且过点 (,1). (1) 求椭圆的方程 ; (2)
9、若过点 C(-1,0) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点A,B, 试问在 x 轴上是否存在点M,使2+是与 k 无关的常数 ?若存 在, 求出点 M的坐标; 若不存在 , 请说明理由 . 解:(1) 椭圆离心率为, = , = . 又椭圆过点 (,1), + =1. 解得 a 2=5,b2= . 椭圆方程为+ =1, 即 x 2+3y2=5. (2) 假设在 x 轴上存在点 M(m,0), 使2+是与 k 无关的常数 , 直线 l 过点 C(-1,0) 且斜率为 k, l 方程为 y=k(x+1), 由 得(3k 2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A(x1,y1),
10、B(x2,y2), 则 x1+x2=,x12 x2=. =(x1-m,y1),=(x2-m,y2), 2+ =(x1-m)(x2-m)+y1y2+ =(x1-m)(x2-m)+k 2(x 1+1)(x2+1)+ =(1+k 2)x 1x2+(k 2-m)(x 1+x2)+m 2+k2+ =(1+k 2) +(k 2-m) +m 2+k2+ = 设常数为 t, 则=t. 整理得 (3m 2+6m-1-3t)k2+m2 -t=0 对任意的 k 恒成立, 解得 m=, 即在 x 轴上存在点 M( ,0), 使2+是与 k 无关的常数 . 7.(2013 四川广元第二次诊断 )已知点 F(0,1),直
11、线 l:y=-1,P为平面 上的动点 , 过点 P作直线 l 的垂线 , 垂足为 Q,且2=2. (1) 求动点 P的轨迹 C的方程; (2) 已知圆 M过定点 D(0,2), 圆心 M在轨迹 C上运动, 且圆 M与 x 轴交 于 A、B 两点, 设|DA|=l1,|DB|=l2, 求 + 的最大值 . 解:(1) 设 P(x,y),则 Q(x,-1), 2=2, (0,y+1) 2 (-x,2)=(x,y-1)2 (x,-2), 即 2(y+1)=x 2-2(y-1), 即 x 2=4y, 所以动点 P的轨迹 C的方程 x 2=4y. (2) 设圆 M的圆心坐标为 M(a,b), 则 a 2=4b. 圆 M的半径为 |MD|=. 圆 M的方程为 (x-a) 2+(y-b)2=a2+(b-2)2. 令 y=0, 则(x-a) 2+b2=a2+(b-2)2, 整理得 x 2-2ax+4b-4=0. 由、解得 ,x=a 2. 不妨设 A(a-2,0),B(a+2,0), l1=,l2=. + = = =2 =2, 当 a0 时, 由得, + =22=2. 当且仅当 a=2时, 等号成立 . 当 a=0 时, 由得 , + =2. 故当 a=2时, + 的最大值为 2.