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1、小专题 (五)构造全等三角形的方法技巧 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 方法 1利用补形构造全等三角形 1已知：如图，在ABC 中， BCA 90， AC BC，AE 平分 BAC ， BEAE，求证： BE 1 2AD. 方法 2利用 “截长补短法 ”构造全等三角形 2如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC ，C2B，试判断 AB，AC，CD 三者之间的数量关系，并说明理由 (想 一想，你会几种方法) 3如图，在ABC 中， A60， BD ，CE 分别平分 ABC 和 ACB ，BD ，CE 交于点 O，试判断BE，CD， BC 的数量关系，并加以证明 4如图， AD BC
2、，DC AD ，AE 平分 BAD ，E 是 DC 的中点问： AD ，BC，AB 之间有何关系？并说明理由 5.(德州中考 )问题背景： 如图 1： 在四边形ABCD 中，ABAD ， BAD 120，B ADC 90.E， F 分别是 BC， CD 上的点且 EAF 60.探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系 (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使 DGBE.连接AG ，先证明 ABE ADG ，再证明 AEF AGF，可得出结论，他的结论应是_； (2)如图 2，若在四边形ABCD 中，AB AD ， B D 180 .E，F分别是 BC，CD 上的点，且 EAF
3、 1 2 BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由 方法 3利用 “倍长中线法 ”构造全等三角形 6已知 ABC 中， AB 4 cm，BC6 cm，BD 是 AC 边上的中线，求BD 的取值范围 7已知：如图，AD ，AE 分别是 ABC 和 ABD 的中线，且BA BD.求证： AE 1 2AC. 8如图， ABAE，AB AE，AD AC ，AD AC，点 M 为 BC 的中点，求证：DE2AM. 小专题 (五)构造全等三角形的方法技巧 1延长 AC、BE 交于点 F， ACB 90， BE AE， CAD CDA 90， EDB EBD 90. CDA EDB ， CAD EBD ，
4、即 CAD CBF. 在 ADC 和 BFC 中， CAD CBF， AC BC， ACD BCF， ADC BFC.AD BF. 在 AEF 和 AEB 中， FAE BAE ， AE AE， AEF AEB ， AEF AEB. BEEF，即 BE 1 2BF. BE1 2AD. 2.AB AC CD. 理由如下：方法1：在 AB 上截取 AEAC ，连接 DE .易证 AED ACD(SAS) ， EDCD， AED C. AED B EDB ， C AED B EDB. 又 C2B， B EDB.BEDE. ABAEBE ACDEAC CD. 方法 2：延长 AC 到点 F，使 CF
5、CD，连接 DF. CFCD， CDF F. ACB CDF F， ACB 2F. 又 ACB 2B， B F. 又 BAD FAD，AD AD ， ABD AFD(AAS) ABAF.ABAFAC CFACCD. 3.证明：在BC 上截取 BFBE，连接 OF. BD 平分 ABC ， EBO FBO. EBO FBO. EOB FOB. A60， BD，CE 分别平分 ABC 和 ACB ， BOC180 OBC OCB 180 1 2ABC 1 2ACB 180 1 2(180 A) 120. EOB DOC60. BOF60， FOC DOC60. CE 平分 DCB， DCO FCO
6、. DCO FCO. CDCF.BCBFCFBECD. 4.AB AD BC.理由：作EFAB 于 F，连接 BE. AE 平分 BAD ，DCAD ，EFAB ， EFDE. DECE， EC EF. RtBFERtBCE(HL) BF BC .同理可证： AFAD. AD BCAFBFAB ，即 AB AD BC. 5.(1)EFBEDF(2)EFBEDF 仍然成立证明：延长FD 到 G，使 DGBE，连接 AG ， B ADC 180， ADC ADG 180， B ADG.在 ABE 和 ADG 中， BEDG， B ADG ， AB AD ， ABE ADG(SAS) AE AG，
7、BAE DAG. EAF 1 2BAD ， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF. EAF GAF. 在 AEF 和 AGF 中， AE AG， EAF GAF， AF AF， AEF AGF(SAS) EFFG. FGDGDF BEDF， EFBEDF. 6.延长 BD 至 E，使 DEBD.连接 CE. BD 是 AC 边上的中线，AD CD. BDA EDC， BDA EDC(SAS) CEAB. 在 CBE 中， BCCEBEBC CE， 2 cm2BD10 cm. 1 cmBD5 cm. 7.证明：延长AE 至 F，使 EFAE，连接 DF. AE 是 AB
8、D 的中线， BEDE. AEB FED， ABE FDE. B BDF ，AB DF. BABD ， BAD BDA ， BDDF. ADF BDA BDF， ADC BAD B， ADF ADC. AD 是 ABC 的中线， BD CD.DF CD. ADF ADC(SAS) AC AF2AE，即 AE 1 2AC. 8.延长 AM 至 N，使 MN AM ，连接 BN， 点 M 为 BC 的中点， BM CM. 又 BMN CMA ， AMC NMB(SAS) ACBN ， C NBM ， ABN ABC C180 BAC EAD. 又 BNAC AD ，AB EA， ABN EAD(SAS) DE NA. 又 AM MN ， DE 2AM.