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1、待定系数法求二次函数解析式 一、【基础知识精讲】 ( 一） 、中考导航图 1. 二次函数的 意义 ;2. 二次函数的 图象 ;3. 二次函数的 性质 顶点 对称轴 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a 0) 4. 二次函数待定系数法确定函数解析式一般式： y=ax2+bx+c(a 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x2)(a 0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a、b、c 之间的关系。 （二） 、中考知识梳理 1.二次函数的图象 在画二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象时通常先通过配方配成y=a(x+
2、 b 2a ) 2+ 4a 2 4ac-b 的形式 , 先 确定顶点 (- b 2a , 4a 2 4ac-b ), 然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由a 的符号来确定, 当 a0 时, 在对称轴左侧y 随 x 的增大而减小 ; 在对称轴的右 侧,y 随 x 的增大而增大; 简记左减右增 , 这时当 x=- b 2a 时,y 最小值= 4a 2 4ac-b ; 反之当 a0 时, 抛物线开口向上; 当 a0 时, 抛物线交y 轴于正半轴 ; 当 c0 时, 抛物线交y 轴于负半 轴;b 的符号由对称轴来决定. 当对称轴在y?轴
3、左侧时 ,b 的符号与a 的符号相同 ; 当对称轴在y 轴右侧 时,b 的符号与a 的符号相反 ;? 简记左同右异 . 6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,? 应用数形结合思想来解决有关的综合 性问题 . 二、 【典型例题精析】 一般式： 例 1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3) 、C(2,6);求它的解析式。 分析 : 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式. 可根据已知条件中的不同条件分别设出 函数解析式 , 列出方程或方程组来求解. 解: 设解析式为y=ax 2+bx+c, 把 A(-1,3) 、B(1,3) 、C(2,6) 各点代入上式得 3,
4、 3, 642. abc abc abc 解得 1, 0, 2. a b c 解析式为y=x 2+2. 变式： 已知一个二次函数，当x=-1 时， y=3；当 x=1 时， y=3；当 x=2 时，y=6。求这个二次函数的 解析式。 解: 设解析式为y=ax 2+bx+c, 把 A(-1,3) 、B(1,3) 、C(2,6) 各点代入上式得 3, 3, 642. abc abc abc 解得 1, 0, 2. a b c 解析式为y=x 2+2. 顶点式： 例 2 已知一个二次函数的图象过点(0 ， 1) ，它的顶点坐标是(8 ，9) ，求这个二次函数的关系式。 分析：二次函数yax 2bx
5、c 通过配方可得 y a(x h) 2k 的形式称为顶点式， ( h，k) 为抛 物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9) ，因此，可以设函数关系式为： y a(x 8) 29 由于二次函数的图象过点(0 ，1)，将 (0 ，1) 代入所设函数关系式，即可求出a 的值。 请同学们完成本例的解答。 变式 1： 已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值 -8 ，求它的解析式。 解法 1: 由 A(-1,0)、 B(3,0) 得抛物线对称轴为x=1, 所以顶点为 (1,-8).? 设解析式为y=a(x-h) 2+k, 即 y=a(x-1) 2-8. 把 x=
6、-1,y=0代入上式得0=a(-2) 2-8, a=2. 即解析式为y=2(x-1) 2-8, 即 y=2x2-4x-6. 解法 2: 设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为 (1,-8)同上 , 把 x=1,y=-8? 代入上式得 -8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, 解析式为y=2x 2-4x-6. 解法 3: 图象过A(-1,0),B(3,0)两点 , 可设解析式为 :y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. 函数有最小值-8. 2 4 ( 3 )( 2 ) 4 aaa a =-8. 又 a 0, a=2. 解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x
7、-6. 变式 2： 已知抛物线对称轴是直线x2，且经过 (3，1) 和(0 ， 5) 两点，求二次函数的关系式。 解法 1： 设所求二次函数的解析式是yax 2bxc， 因为二次函数的图象过点(0 ， 5)，可求得c 5， 又由于二次函数的图象过点(3 ，1)，且对称轴是直线x2，可以得 b 2a2 9a 3b6 解这个方程组，得： a 2 b 8 所以所求的二次函数的关系式为y 2x 28x5。 解法二： 设所求二次函数的关系式为y a(x 2) 2k， 由于二次函数的图象经过(3 ，1) 和(0 ， 5) 两点，可以得到 a(3 2) 2k1 a(0 2) 2k 5解这个方程组，得： a
8、2 k3 所以，所求二次函数的关系式为y 2(x 2) 2 3，即 y 2x28x 5。 变式 3： 已知抛物线的顶点是(2 ， 4) ，它与 y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 解法 1： 设所求的函数关系式为ya(x h) 2 k，依题意，得 ya(x 2) 2 4 因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0 ，4) ，于是 a(0 2)2 44，解得 a2。所以，所求二次函数的关系式为y2(x 2) 24，即 y2x28x4。 解法 2：设所求二次函数的关系式为yax 2bxc?依题意，得 b 2a 2 4acb 2 4a 4 c4 解这个方程组，得： a2
9、 b 8 c4 所以，所求二次函数关系式为y2x 28x4。 变式 4： 一条抛物线yxmxn 1 4 2 经过点()0 3 2 ，与()4 3 2 ，。求这条抛物线的解析式。 分析：解析式中的a值已经知道，只需求出mn ,的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次 函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点( ,),(,)0 3 2 4 3 2 的特征入手：这两点关于抛物 线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x2，这样又可以从抛物线的顶点式入手。 解：抛物线yxmxn 1 4 2 经过点（0 3 2 ,）和( ,)4 3 2 ， 这条抛物线的对称轴是直线x2。 设所求抛物线的解析式为y
10、xh 1 4 2 2 ()。 将点( ,)0 3 2 代入，得 1 4 02 3 2 2 ()h，解得h 1 2 。 这条抛物线的解析式为yx 1 4 2 1 2 2 ()，即yxx 1 4 3 2 2 。 点评：当点 M （x y 11 , ） 和 N （ xy 22 , ） 都是抛物线上的点时，若 yy 12， 则对称轴方程为x xx 12 2 ， 这一点很重要也很有用。 两根式： 例 3 已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是6. 求它的解析式。 解: 由顶点坐标 (-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1, 又图象与x 轴两交点的距离为6, 即 AB=6.
11、 由抛物线的对称性可得A、 B两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x 1) (x-x2), 将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8. 变式：已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x1= 3，x2=1，且与 y 轴交点为 (0， 3)， 求这个二次函数解析式。 想一想 :还有其它方法吗? 点评 : 一般地 , 已知三个条件是抛物线上任意三点( 或任意 3 对 x,y 的值 ) 可设表达式为y=ax2+bx+c, 组成三元一次方程组来求解;? 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值, 可选用y=a(x-h) 2+k
12、来 求解 ;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x2). 根据图像求解析式： 例 1如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图象可知，A点坐标是 (8 ，0) ，C点坐标为 (0 ，4) 。从图中可知对称轴是直线x3，由 于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点B的坐标是 (2，0)，问题转 化为已知三点求函数关系式。 解：观察图象可知，A、 C两点的坐标分别是(8 ，0)、(0 ， 4)，对称轴是直线x3。因为对称轴是 直线 x 3，所以 B点坐标为 ( 2，0) 。 设所求二次函数为yax 2bxc，由已知，这个图
13、象经过点 (0，4) ，可以得到c4，又由于其 图象过 (8 ，0) 、( 2，0)两点，可以得到 64a8b 4 4a2b 4 解这个方程组，得 2 3 4 1 b a 所以，所求二次函数的关系式是y 1 4 x 23 2x 4 练习： 一条抛物线yax 2bxc 经过点 (0 ， 0) 与(12 ，0) ， 最高点的纵坐标是 3，求这条抛物线的解析式。 三、 【同步练习】 1. 已知二次函数当x 3 时，有最大值1，且当 x0 时， y 3，求二次函数的关系式。 解法 1：设所求二次函数关系式为yax 2bx c，因为图象过点 (0，3)，所以c3，又由于二次函 数当 x 3 时，有最大值
14、1，可以得到： b 2a 3 12ab 2 4a 1 解这个方程组，得： a 4 9 b 8 3 所以，所求二次函数的关系式为y 4 9x 28 3x 3。 解法 2：所求二次函数关系式为ya(xh) 2k，依题意，得 ya(x3)21 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3 a(03) 21 解得 a 4 9 所以，所求二次函数的关系为y44/9(x 3) 21，即 y4 9x 28 3x3 小结：让学生讨论、 交流、 归纳得到： 已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标， 应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。 2已知二次函数yx 2px q的图象的顶点坐标是 (5，
15、2)，求二次函数关系式。 简解：依题意，得 p 25 4qp 2 4 2 解得： p 10,q23 所以，所求二次函数的关系式是yx 210x 23。 3. 已知抛物线的顶点坐标为( 1， 3) ，与 y 轴交点为 (0， 5) ，求二次函数的关系式。 4函数 y x2 pxq 的最小值是4，且当 x2 时， y5，求 p 和 q。 5若抛物线y x2bxc 的最高点为 ( 1， 3)，求 b 和 c。 6已知二次函数yax2bxc 的图象经过A(0，1)， B(1，0) ，C(1，0) ，那么此函数的关系 式是 _。如果 y 随 x 的增大而减少，那么自变量x 的变化范围是_。 7已知二次函
16、数yax 2bxc 的图象过 A(0， 5) ，B(5，0) 两点，它的对称轴为直线x2，求 这个二次函数的关系式。 四、 【创新探究】 美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散 会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？ 为解决该问题，我们可把该班人数n 与握手次数s 间的关系用下面的模型来表示 （ 1）若把n 作为点的横坐标，s 作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标 系中，找出相应5 个点，并用平滑的曲线连接起来 （ 2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该 函数的表达式 （ 3）根据（ 2）中的表达式，求该班56 名同学间共握了多少次手？