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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 注： 解析仅代表个人观点，错误在所难免，谨此就教于各位。 参考公式： 样本数据 12 , n x xx的方差 22 11 11 () , nn ii ii sxxxx nn 其中 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上 . 1.若复数 12 429 ,69zi zi，其中i是虚数单位，则复数 12 ()zz i的实部为 . 20。 2.已知向量a和向量b的夹角为30，| 2,|3ab，则向量a和向量b的数量积 a b. 3 233 2 a b。 3.函数 32 ( )15
2、336f xxxx 的单调减区间为. 2 ( )330333(11)(1)fxxxxx，由(11)(1)0xx得单调减区间为 ( 1,11)。 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4 页，包含填空题（第1 题第14 题） 、解答题（第15 题第20 题） 。本卷满分 160 分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前， 请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序
3、在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 4.函数sin()( , ,yAxA为常数，0,0)A在闭区间,0上的图象如 图所示，则 . 3 2 T， 2 3 T，所以3， 5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为 2.5，2.6，2.7， 2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相 差 0.3m 的概率为 . 0.2。 6.某校甲、乙两个班级各有5 名编号为1，2，3，4，5 的
4、学生进 行投篮练习，每人投10 次，投中的次数如下表： 学生1 号2 号3 号4 号5 号 甲班6 7 7 8 7 乙班6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2 s. 2 5 。 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W. 228.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比 为 1： 4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则 它们的体积比为. 1：8。 9.在平面直角坐标系xoy中，点 P 在曲线 3 :103C yxx上， 且在第二象限内，已知曲线C 在点 P 处的切线的斜率为2，则点 P 的 坐标为. ( 2,15)。 10. 已 知 51
5、 2 a， 函 数 ( ) x f xa ， 若 实 数,m n满 足 ()()fmfn，则,m n的大小关系为. mn。 11.已知集合 2 |log2Axx，(, )Ba，若AB则实数a的取值范围是 ( ,)c，其中c . 4 1 1 2 3 3 O x y 开始 0S 1T 2 STS 10S 2TT WST 输出W 结束 Y N 由 2 log2x得04x，(0,4A；由AB知4a，所以c4。 12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； （2）若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行； （3）设和相交于直线l，若内有一条
6、直线垂直于l，则和垂直； （4）直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直. 上面命题中，真命题 的序号 （写出所有真命题的序号）. （1） （2） 。 13如图，在平面直角坐标系xoy中， 1212 ,A A B B为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的 四个顶点，F为其右焦点， 直线 12 A B与直线 1 BF相交于点 T，线段OT与椭圆的交点M 恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为. 2 75e 。 14 设 n a是 公 比 为q的 等 比 数 列 ，| 1q， 令 1 (1, 2 , nn ban若 数 列 n b有 连 续 四 项 在 集 合 53, 23,1
7、9,37,82中，则6q . 69q二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分，请在答题卡 指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15 （本小题满分14 分） 设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos , 4sin)abc （1）若a与2bc垂直，求tan()的值； （2）求|bc的最大值 ; （3）若tantan16，求证：ab. x y A1 B2 A2 O T M 所以ab. 16 （本小题满分14 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，E,F分别是 11 AB,AC的中点，点D在 11 BC上， 11 ADBC 求证： （1）EFABC平
8、面 （2） 111 AFDBBC C平面平面 17 （本小题满分14 分） 设 n a是公差不为零的等差数列， n S为其前n项和，满足 2222 23457 7aaaa ,S A B C A B1 C1 E F D （1）求数列 n a的通项公式及前n项和 n S； （2）试求所有的正整数m，使得 1 2 mm m a a a 为数列 n a中的项 . （1）设公差为d，则 2222 2543 aaaa，由性质得 4343 3 ()()d aad aa，因 为0d，所以 430aa ，即 1 250ad，又由 7 7S得 1 76 77 2 ad， 解得 1 5a，2d 18 （本小题满分1
9、6 分） 在平面直角坐标系xoy中，已知圆 22 1:( 3)(1)4Cxy和圆 22 2 :(4)(5)4Cxy （1）若直线l过点(4,0)A，且被圆 1 C截得的弦长为2 3，求 直线l的方程； （2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的 直线 12 ll和，它们分别与圆 1 C和圆 2 C相交，且直线 1 l被圆 1 C截 得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等， 试求所有满足条件的 点 P 的坐标 . 0y或 7 (4) 24 yx， x y O 1 1 . . 点 P 坐标为 3 13 (,) 2 2 或 51 (,) 22 。 19.(本小题满分16
10、 分) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价 为m元，则他的满意度为 m ma ；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为 n na .如果一个人对两种交易(卖出或买进 )的满意度分别为 1 h和 2 h，则他对这两种交易的 综合满意度为 12 hh. 现假设甲生产A、B 两种产品的单件成本分别为12 元和 5 元，乙生产A、B 两种产品的单 件成本分别为3 元和 20 元，设产品 A、B 的单价分别为 A m元和 B m元，甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为h 甲 ，乙卖出A 与买进 B 的综合满意度为h乙 (1) 求h 甲 和h 乙 关于 A
11、 m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h甲=h乙； (2) 设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 综合满意度为多少？ (3) 记(2)中最大的综合满意度为 0 h，试问能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 甲 和 0hh乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 (4) 求h 甲 和h 乙 关于 A m、 B m的表达式；当 3 5 AB mm时，求证：h甲=h乙； (5) 设 3 5 AB mm，当 A m、 B m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的 综合满意度为多少？ (6) 记(2
12、)中最大的综合满意度为 0 h，试问能否适当选取 A m、 B m的值，使得 0 hh 甲 和 0 hh 乙 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 (2)当 3 5 AB mm时， 2 2 11 =, 20511 (20)(5) (1)(1)100()251 B BB BBBB m h mm mmmm 甲 由 111 5,20, 20 5 B B m m 得，故当 11 20 B m 即20,12 BA mm时，甲乙两 人同时取到最大的综合满意度为 10 5 20 (本小题满分16 分 ) 设a为实数，函数 2 ( )2()|f xxxaxa . (1) 若(0)1f，求a的取值范围； (
13、2) 求( )f x的最小值； (3) 设函数( )( ),( ,)h xf x xa，直接写出 (不需给出演算步骤)不等式( )1h x的 解集 . (4)若(0)1f，则 2 0 | 11 1 a a aa a (5)当xa时， 22 ( )32,f xxaxa 2 2 min ( ),02,0 ( ) 2 ( ),0 ,0 3 3 f a aaa f x a a fa a 当xa时， 22 ( )2,f xxaxa 2 min 2 (),02,0 ( ) ( ),0 2,0 faaaa f x f aa aa 综上 2 2 min 2,0 ( ) 2 ,0 3 aa f x a a (3) ( ,)xa时，()h x得 22 3210xaxa， 222 412(1)128aaa 当 66 22 aa或时，0,( ,)xa；