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1、2019届高三 理科数学小综合专题练习数列 1设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 510 :2:1SS，则 155 :SS 3 . 4 A 1 . 4 B 1 . 2 C 7 . 4 D 2在等差数列 n a中， 159 0, 517aaa，则使其前n项和 n S取得最大值时的n值为 A10 B11 C12 D13 3设等差数列an 的前n项和为 n S，且 123789 416aaaaaa，则S9 = A30 B28 C48 D42 4数列 11 3,1 nnnnnn aaaa aAan满足，表示的前 项之积， 2010 A则等于 A2 B1 1 5用分期付款的方式购买价格为1150
2、 元的冰箱 ,如果购买时先付150 元, 以后每月付50 元, 加入欠款利 息. 若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%,那么购买冰箱钱全部付清后, 实际付出的钱数是 . 1249.75A元. 1250B元. 1255C元. 1295D元 6. 一个小球从100米高处自由落下, 每次着地后又跳回原高度的一半再落下, 设它第n次着地时共经过了 n a米, 则当2n时, 有 A. 31 2 100 nnn aa B. 21 2 100 nnn aa C. n nn aa 2 100 1 D. 2 1 2 100 2 1 n nn aa 7. 已 知 函 数( )yfx的 定 义 域 为R，
3、当 0x 时 ，()1f x， 且 对 任 意 的 , x yR ， 等 式 ()()()fxfyfxy成立若数列 n a满足 1 (0)af，且 1 1 () ( 2) n n f a fa )(Nn，则 2010 a的值为 A4016 B 4017 C4018 D4019 二、填空题： 8. 已知数列 n a的前n项和 2 41 n Snn，则 1210 |aaa 9. 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则此数列的中间项是_. 10. 数列 n a中，2 1 a且)( 2 1 211nn aaaa( * Nn) ， n S为数列 n a的前n 项和，则 n S_.
4、11. 两个等差数列，它们的前n项和之比为 12 35 n n ，则它们的第9 项之比为 . 12.已知数列 : n a 11 1,(1)(1) (1,2,3,) nn ananan nn,则通项公式 n a_. 13蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢 可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的 截面图 . 其中第一个图有1 个蜂巢，第二个图有7 个 蜂巢 ，第三个图有19 个蜂 巢，按此规律，以)(nf表示 第n幅图的蜂巢总数. 则)(nf= _ . 三、解答题： 14. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足：aSaa nn 11 , 1（a为常数） . （1）求 43
5、2 ,aaa； （2）求数列 n a的通项公式，并指出数列 n a是否为等比数列 15. 在等差数列 n a中， 1 1a，前n项和 n S满足条件 2 42 ,1,2, 1 n n Sn n Sn . （1）求数列 n a的通项公式； （2）记(0) n a nn ba pp，求数列 n b的前n项和 n T. 16设函数 2113 ( ) 424 f xxx ，对于正数数列 n a，其前n项和为 n S，且() nn Sf a，()nN. （1）求数列 n a的通项公式； （ 2）是否存在等比数列 n b，使得 1 1 122 2(21)2 n nn a ba ba bn对一切正整数n都成
6、立？ 若存在，请求出数列 n b的通项公式；若不存在，请说明理由. 17. 设数列 n a满足 * ,)(,Nna n aa nn 1 12 2 1 11 . (1) 求证 : 数列 n an 为等比数列； (2) 求数列 n a的前n项和为 n S； (3) 若不等式 nn n aSa 1 2对任意 * Nn的恒成立 , 求实数a的取值范围 . 18已知点nbaPbaPbaP nnn )(,(,),(),( 222111 * N) 都在函数xy 2 1 log的图象上 . (1) 若数列 n b是等差数列 , 求证数列 n a为等比数列； (2) 若数列 n a的前n项和为 n S= n 2
7、1, 过点 1 , nn PP的直线与两坐标轴所围成三角形面积为 n c, 求 使tcn 对nN 恒成立的实数t的取值范围 . 19. 数列 n b满足1 1 b，12 1nn bb，若数列 n a满足1 1 a， ) 111 ( 121n nn bbb ba)2(Nnn且. （1）求 2 b， 3 b， 4 b及 n b； （2）证明： 11 1 n n n n b b a a )2(Nnn且; （3）求证： 3 10 ) 1 1 () 1 1)( 1 1)( 1 1( 321n aaaa . 2010届高三 理科数学小综合专题练习参考答案数列 一、选择题： AAACC BD 二、填空题：
8、867 911 10 n ) 2 3 ( 3 4 11 3 8 12)2(nn 13133 2 nn 三、解答题： 14. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足：aSaa nn 11 , 1（a为常数） . （1）求 432 ,aaa； （2）求数列 n a的通项公式，并指出数列 n a是否为等比数列 解: （1）)1(4),1(2, 1 432 aaaaaa （2）由题设，当 2n 时，aSa nn 1 aSa nn1 ，得 nn aa2 1 2,2)1( 1,1 2 na n a n n 令 2 3 1 2 a a a a ，整理得)1(2)1( 2 aa，解得1a. 所以，当且仅
9、当1a时， n a是等比数列 . 当1a时，不是等比数列. 15. 在等差数列 n a中， 1 1a，前n项和 n S满足条件 2 42 ,1,2, 1 n n Sn n Sn ， （1）求数列 n a的通项公式； （2）记(0) n a nn ba pp，求数列 n b的前n项和 n T. 解： （ 1） 设等差数列 n a的公差为d, 由 2 42 1 n n Sn Sn 得： 12 1 3 aa a ， 所以 2 2a， 即 21 1daa， 又 1 21 1 1 2 2()42 2 1 2 n nn n nn anda n Sandan aa nSaa n 2(1) 1 n n an
10、a ，所以 n an。 （ 2）由 n a nnba p，得 n nbnp。所以 231 23(1) nn nTpppnpnp， 当1p时， (1) 2 n n n T； 当1p时， 2341 23(1) nn n pTpppnpnp， 23111(1) (1) 1 n nnnn n pp P Tpppppnpnp p 即 1 (1) ,1 2 1(1) ,1 11 nn n n n p T pp npp pp . 16设函数 2113 ( ) 424 f xxx ，对于正数数列 n a，其前n项和为 n S，且() nn Sf a，()nN. （1）求数列 n a的通项公式； （ 2）是否存
11、在等比数列 n b，使得 1 1 122 2(21)2 n nn a ba ba bn对一切正整数n都成立？ 若存在，请求出数列 n b的通项公式；若不存在，请说明理由. 解： （1）由 2113 ( ) 424 f xxx ，() nn Sf a，()nN 得 2 113 424 nnn Saa()nN 2 111 113 424 nnn Saa， 即 22 1111 111 () 422 nnnnnnn aSSaaaa， 即 22 11 11 ()()0 42 nnnn aaaa，即 11 ()(2)0 nnnn aaaa n a0， 1 2 nn aa，即数列 n a是公差为2 的等差数
12、列， 由得， 2 1111 113 424 Saaa ，解得 1 3a， 因此，数列 n a的通项公式为21 n an. （2）假设存在等比数列 n b，使得对一切正整数n都有 1 1 122 2(21)2 n nn a ba ba bn 当2n时， 1 12 211 2 (23) 2 n nn aba ba bn ，得2 (21) n nn a bn， 由21 n an得，2 n n b 又 1 1 1 62 (21 1)a b满足条件， 因此，存在等比数列 2 n ，使得 1 1 12 2 2 (21) 2 n n n abababn对一切正整数n都成立 17. 设数列 n a满足 * ,
13、)(,Nna n aa nn 1 12 2 1 11 . (1) 求证 : 数列 n an 为等比数列； (2) 求数列 n a的前n项和为 n S； (3) 若不等式 nn n aSa 1 2对任意 * Nn的恒成立 , 求实数a的取值范围 . (1) 解 : 1 1 12 nnn aaa nnn 是等比数列 ; (2) 解: 2111 12 ()( ) 222 n n Sn 2311111 1 ()2 ( )( ) 2222 n n Sn 2 2 2 nn n S (3) 解: 1 2 211 22 2222 n nnnn nn aa 设 2 111 1 11 , 222 4 82 nnn
14、 t attt0a . 18已知点nbaPbaPbaP nnn )(,(,),(),( 222111 * N) 都在函数xy 2 1 log的图象上 . (1) 若数列 n b是等差数列 , 求证数列 n a为等比数列； (2) 若数列 n a的前n项和为 n S= n 21, 过点 1 , nn PP的直线与两坐标轴所围成三角形面积为 n c, 求使tcn 对nN 恒成立的实数t的取值范围 . 解: (1)因为数列 n b是等差数列 , 故设公差为d, 则dbb nn 1 对nN 恒成立 . 依题意 nn ab 2 1 log, n b n a 2 1 . 由0 n a, 所以 dbb n
15、n nn a a 2 1 2 1 1 1 是定值 , 从而数列 n a是等比数列 . (2) 当1n时 , 11 1 2 aS, 当2n时, n nnn SSa 2 1 1 , 当1n时也适合此式, 即数列 n a的通项公式是 n n a 2 1 . 由 nn ab 2 1 log, 数列 n b的通项公式是nbn. 所以) 1, 2 1 (), 2 1 ( 1 1 nPnP n n n n , 过这两点的直线方程是) 2 1 (2 1 n n xny , 该 直线与坐标轴的交点是)0, 2 2 ( 1n n n A和)2,0(nBn . 2 2 1(2) 22 nnn n n cOAOB.
16、因为0 2 12 2 )3()2(2 2 )3( 2 )2( 3 2 3 22 3 2 2 2 1 nnnn nn nnnnnn cc. 即数列 n c的各项依次单调递减, 所以要使 n ct对nN 恒成立 , 只要 1 ct, 又 1 9 8 c, 可得t的取值范围是 9 , 8 . 故实数t的取值范围是 9 , 8 . 19. 数列 nb 满足1 1 b，12 1nnbb ，若数列 na 满足1 1 a， ) 111 ( 121n nn bbb ba)2(Nnn且 （1）求 2 b， 3 b， 4 b及 n b； （2）证明： 11 1 n n n n b b a a )2(Nnn且； （
17、3）求证： 3 10 ) 1 1 () 1 1)( 1 1)( 1 1( 321n aaaa . 解： （1）3 2 b，7 3 b，15 4 b 1 分 由 nn nnnnn bbbbbb22)1(1) 1(2112 1 111 12 n n b3 分 （2）) 111 ( 121n nn bbb ba)2(Nnn且 121 111 nn n bbbb a ， nnn n bbbbb a1111 1211 1 111 1 1 1 111 n n n n n n n n nn n n n b b a a b a b a bb a b a )2(Nnn且 6 分 （3）由（ 2）知) 1 1 (
18、) 1 1)( 1 1)( 1 1( 321n aaaa n n a a a a a a a a1111 3 3 2 2 1 1 1 14 3 3 2 21 1 1111 n n n a a a a a a a aa a 1 14 3 3 2 3 2 n n n a b b b b b b 1 1 1 1 2 2 3 2 n n n n b a a b b ) 1111 (2 321n bbbb 8 分 而 12 1 3 1 1 1111 321 n n bbbb 9 分 当2k时， ) 12 1 12 1 (2 )12)(12( 2 ) 12)(12( 12 12 1 11 1 1 1 kkkk k kk k k 10 分 法 1： 12 1 3 1 1 n ) 12 1 12 1 () 12 1 12 1 () 12 1 12 1 (21 14332nn 3 5 ) 12 1 3 1 (21 1n 3 10 ) 1 1 () 1 1)( 1 1)( 1 1( 321n aaaa 12 分 法 3: 只须证 12 1 3 1 1 n 51 (1) 32 n 令 12 51 (1) 32 nnn cccS 则 51 3 2 n n c, 只须证 1151 25 (2) 213 2 n nn n 成立 .