中考数学复习必备——二次函数的应用.pdf

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1、中考数学复习必备 二次函数的应用 知识点回顾： 1、二次函数y ax 2 bx c(a 0) 的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x 轴两交点间的距离？ 2. 各类二次函数顶点位置与a、b、c 的关系： ( 顶点在 x 轴上、 y 轴上、原点、经过原点) 3、求二次函数解析式的方法： 4、二次函数y ax 2bx c(a 0) 的最大 ( 或最小 ) 值？ 知识点一：求二次函数的解析式 例 1. （08 兰州）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑 料布（m2 ）与半径（m ）的函数关系式是（不考虑塑料埋在土里的部分） 分析：找准相关量之间的关系。有的题需要

2、根据题目所给条件 确定某些点的坐标，再利用一般式、或顶点式、或 交点式来求解析式。 答案： 同步检测： 1、 （ 09 庆阳）图（ 1）是一个横断面为抛物线形 状的拱桥， 当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高 点）离水面2m ，水面宽 4m 如图（ 2）建立平面 直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A 2 2yxB 2 2yx C 2 1 2 yxD 2 1 2 yx 答案： C 2、（09 芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板， 其顶点为( 1 0)A，(03)B，(0 0)O，将此三角板绕原 点O顺时针旋转90，得到A B O，一抛物线经过点 图（ 1）图（ 2） 2R 米 30 米

3、 图 1 3 2 1 1 2 1 1 A B A O 第 2 题图 B x y ABB、 、，求该抛物线解析式。 答案：抛物线过( 10)( 3 0)AB， ，设抛物线的解析式为(1)(3)(0)ya xxa 又抛物线过(03)B，将坐标代入上解析式得：)1aa，(1)(3)yxx 即满足条件的抛物线解析式为 2 ( 31)3yxx 知识点二：利用二次函数的顶点式求最值 二次函数yax2bxc0，当 x 2a b - 时， a4 bac4 y 2 最 大 （ 小 ） 值 例 2. （08 浙江台州）如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 （单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是

4、 ，那么小球运动中的最大高度 分析：将化为顶点式即可求最大高度 答案： 4.9 米 同步检测： 1、 （ 08 内江） 如图，小明的父亲在相距2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易 的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 米的小 明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米 答案： 0.5 2、(08 哈尔滨）小李想用篱笆围成一个周长为60 米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方 米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化 （ 1）求 S与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （ 2）当 x 是多少时

5、，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 答案：（1）根据题意，得 2 602 30 2 x Sxxx自变量x的取值范围是030x （2）10a，S有最大值 30 15 22( 1) b x a 22 430 225 44 ( 1) acb S a 最大 当15x时，225S最大 h 答：当 x为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是 225 平方米 知识点三：根据二次函数图像上某些点坐标解决有关问题 例 3.(08襄樊 ) 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位： m ） 与水平距离x（单位： m ）之间的关系是 2125 1233 yxx则他 将铅球推出的距离是 m 分析：推出

6、的距离转化为数学上的求y=0 时的 x 的值（取正值） 答案： 10 同步检测： 1、 （ 08 庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8 层高，房子的价格y（元 / 平方 米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5， 6，7，8） ；已知点（ x，y）都在 一个二次函数的图像上（如图所示），则 6 楼房子的价格为元/ 平方米 答案： 2080； 2、（09 江西） 某车的刹车距离y（m ） 与开始刹车时的速度x（m/s） 之间满足二次函数 2 1 20 yx （x 0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（） A40 m/s B20 m/s C 10 m/

7、s D5 m/s 答案： C 知识点四：根据二次函数图像和性质解决销售利润问题 例 4、(09 青岛）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行 情和水产品养殖情况进行了调查调查发现这种水产品的每千克售价 1 y（元） 与销售月份x （月）满足关系式 3 36 8 yx ，而其每千克 成本 2 y（元）与销售月份x（月）满足的函数 关系如图所示 （1）试确定bc、的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y（元）与 销售月份x（月）之间的函数关系式； （3） “五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 分析：（1）由题意：将（3， 25） 、 （4

8、，24）两点坐标代入可得： 25 24 y2（元） x（月） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 例 4 图 2 2 1 8 yxbxc O 2 2 1 2533 8 1 2444 8 bc bc 解得 7 1 8 1 29 2 b c （2）理解利润的正确意义： 12 yyy 231151 3629 8882 xxx 2131 6 822 xx （3） 2131 6 822 yxx 2111 (1236)46 822 xx 21 (6)11 8 x 1 0 8 a，抛物线开口向下，在对称轴6x左侧y随x的增大而增大 由题意5x，所以在4 月份出售这种水产品每千克的利润最大

9、最大利润 2 11 (46)1110 82 （元） 同步检测： 1、 （09 莆田）出售某种文具盒， 若每个获利 x元，一天可售出6x个，则当x元 时，一天出售该种文具盒的总利润y最大 答案： 3 2、 （ 09 包头）某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本 单价，且获利不得高于45% ，经试销发现，销售量y（件）与销售单价 x（元）符合一次函 数ykxb，且65x时，55y；75x时，45y （ 1）求一次函数ykxb的表达式； （ 2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价 x之间的关系式；销售单价 定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元

10、？ （ 3）若该商场获得利润不低于500 元，试确定销售单价x的范围 答案：解：（ 1）根据题意得 6555 7545. kb kb ， 解得1120kb， 所求一次函数的表达式为120yx （2）(60) (120)Wxx 2 1807200xx 2 (90)900x， 抛物线的开口向下，当90x时，W随x的增大而增大，而6087x， 当87x时， 2 (8790)900891W 当销售单价定为87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是891 元 （3）由500W，得 2 5001807200xx， 整理得， 2 18077000xx，解得， 12 70110xx， 由图象可知，要使该商场获

11、得利润不低于500 元，销售单价应在70 元到 110 元之间，而 6087x，所以，销售单价x的范围是7087x 知识点五：根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题 例5. (08新疆 ) 某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板 房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成， 矩形长为12m ，抛物线拱高为5.6m （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式 （2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在 AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为 0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少 为 0.8m请计算最多可安装几扇这样的

12、窗户？ 分析：（1）可设抛物线的表达式为 2 yax，过点(65.6)B， 可得 7 45 a抛物线的表达式为 27 45 yx （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点， D点坐标为（k，t） 已知窗户高1.6m，5.6(1.6)4t 2 7 4 45 k 12 5.075.07kk，（舍去） 5.07210.14CD （m ） 又设最多可安装n扇窗户 1.50.8(1)10.14nn4.06n 最多可安装4 扇窗户 同步检测： （08 长春） 如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1 米的处飞出（在 轴上），运动员乙在距点 6 米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面 约

13、 4 米高， 球落地后又一次弹起据实验测算， 足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物 线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半 （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式 （2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取） （3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取） 解： （1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为 由已知：当时即表达式为 （或） （2）令 （舍去） 足球第一次落地距守门员约13 米3 分 （3）如图，第二次足球弹出后的距离为 ，根据题意： （即相当于将抛物线 向下平移了2 个单位） 解得 3 分 （米） 他应再向前跑17 米 随堂检测 1、(08 恩

14、施 ). 将一张边长为30 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方 形, 然后折叠成一个无盖的长方体. 当取下面哪个数值时, 长方体的体积最大（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2、用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框, 使窗户的透光面积最大, 那么这个窗户的最大透光面积是( ) A 25 64 m 2 B 3 4 m 2 C 3 8 m 2 D 4m 2 3、 （08 吉林长春）某商店经营一种水产品，成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若 按每千克50 元销售，一个月能售出500 千克；销售价每涨1 元，月销售量就减少10 千克，针对这种水产品的销售情况，销售单

15、价定为元时，获得的利润最多. 4、(09 武汉 ) 某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每 件商品的售价每上涨1 元，则每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元） 设每件商 品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元 （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量 x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元？ 5、 （ 08 金华） 跳绳时，绳甩到最高

16、处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的 手间距AB为 6 米，到地面的距离AO和BD均为 0.9 米，身高为1.4 米的小丽站在距点O的 水平距离为1 米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如 图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax 2 bx0.9. （1）求该抛物线的解析式； （2）如果小华站在OD之间 , 且离点O的距离为3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头 顶，请你算出小华的身高； （3）如果身高为1.4 米的小丽站在OD之间 , 且离 点O的距离为t米 , 绳子甩到最高处时超过 她的头 顶, 请结合图像 , 写出t的取值范

17、围 . 6、 （08 兰州） 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图6-1 所示） ，拱高 6m，跨度 20m ，相邻两支 柱间的距离均为5m （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图6-2 所示） ，求抛物线的解析式； （2）求支柱EF的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否 并排行驶宽2m 、高 3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由 A O B D E Fx y y x O B A C 6-2 20m 10m E F 6-1 6m 7、 （ 08 四川巴中）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线 218

18、55 yxx，其中y（ m ）是球的飞行高度，x（m ）是球飞出的水平距离，结果球离 球洞的水平距离还有2m （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴 （2）请求出球飞行的最大水平距离 （3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路 线应满足怎样的抛物线，求出其解析式 8、 （ 09 黄冈）新星电子科技公司积极应对2008 年世 界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业， 建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初 期成本高， 且市场占有率不高等因素的影响，产品 投产上市一年来， 公司经历了由初期的亏损到后来 逐步盈利的过程 （公司对经营的盈亏情况每月

19、最后 一天结算1 次） 公司累积获得的利润y（万元） 与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y与x之间的关系） 对应的点都在 如图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段 OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线 BC为另一抛物线 2 52051230yxx的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4， 10，12 （1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式； （2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需 要写出计算过程） ； （3）前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利润最

20、多？最多利润是多少万元？ 9、 （09 南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上 下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道， 各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米 （1）用含x的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 米. 如果修建甬道的总费 用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7 ，花坛其余 部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米 时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？9 题图 10、

21、（09 日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设 施该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2 米，BC=1 米；上部CDG是等边三角形，固定点E 为AB的中点 EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，MN是可 以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆 （1）当MN和AB之间的距离为0.5 米时，求此时EMN的面积； （2）设MN与AB之间的距离为x米，试将EMN的面积S（平方米） 表示成关于x的函数； （3）请你探究EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求 出这个最大值；若没有，请说明理由 E A B G N D M C

22、（第 10 题图） 随堂检测参考答案 1、C 2 、C 3、70 4、 ： （1） 2 (21010 )(5040)101102100yxxxx（015x 且x为整数）； （2） 2 10(5.5)2402.5yx 100a，当5.5x时，y有最大值2402.5 015x，且x为整数， 当5x时，5055x，2400y（元） ，当6x时，5056x，2400y（元） 当售价定为每件55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400 元 （3）当2200y时， 2 1011021002200xx，解得： 12 110xx， 当1x时，5051x，当10x时，5060x 当售价定为每件5

23、1 或 60 元，每个月的利润为2200 元 当售价不低于51 或 60 元，每个月的利润为2200 元 当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时，每个月的利润不低于2200 元（或当售价分 别为 51，52，53，54，55，56， 57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于2200 元） 5、 （ 1）由题意得点E（1,1.4 ）, B(6,0.9), 代入y=ax 2+bx+0.9 得 0.91.4 3660.90.9 ab ab 解得 0.1 0.6 a b 所求的抛物线的解析式是y= 0.1x 20.6 x+0.9. （2）把x=3 代入y=0.1x 20.6 x+0.9

24、 得y=0.1 3 20.6 3+0.9=1.8 小华的身高是1.8 米 （3）1t 5 6、解：（1）根据题目条件，ABC， ，的坐标分别是( 10 0) (10 0) (0 6)，设抛物线的解 析式为 2 yaxc，将BC，的坐标代入 2 yaxc，得 6 0100 c ac ， 解得 3 6 50 ac，所以抛物线的表达式是 2 3 6 50 yx （2）可设(5) F Fy，于是 2 3 564.5 50 F y 从而支柱MN的长度是104.55.5米 y x O B A C G N D H （3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(7 0)，过G点作GH 垂直AB

25、交抛物线于H，则 2 3 763.063 50 Hy 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车 7、解：（1） 2 18 55 yxx 2 116 (4) 55 x 抛物线 218 55 yxx开口向下，顶点为 16 4 5 ，对称轴为4x （2）令0y，得： 2 18 0 55 xx解得： 1 0x， 2 8x 球飞行的最大水平距离是8m （3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 抛物线的对称轴为5x，顶点为 16 5 5 ， 设此时对应的抛物线解析式为 216 (5) 5 ya x 又点(0 0)，在此抛物线上， 16 250 5 a 16 1

26、25 a 2 1616 (5) 1255 yx 2 1632 12525 yxx 8、 （ 1） 2 2 10 (1,2,3, 4) 1080120(5,6,7,8,9) 502051230(10,11,12) x x yxxx xxx （2） 10(1,2,3,4) 2090(5,6,7,8,9) 10210(10,11,12) x sxx xx （3）由（ 2）知当1,2,3,4x时， s 的值均为 10；当5,6,7,8,9x时，当9x时 s 有 最大值 90； 而在10,11,12x时，10210sx, 当10x时， s 有最大值110； 因此第 10 月公司所获利润最大，它是110

27、万元。 9、 （ 1）横向甬道的面积为： 2120180 150m 2 xx （2）依题意： 21120180 280150280 82 xxx 整理得： 2 1557500xx 解得 12 5150xx，（不符合题意，舍去） 甬道的宽为5 米 （3）设建设花坛的总费用为y万元 2 120180 0.028016015025.7 2 yxxxx 2 0.040.5240xx 当 0.5 6.25 22 0.04 b x a 时，y的值最小 因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 米，6x当米时，总费用最少 最少费用为： 2 0.0460.56240238.44万元 10、 （1）由题意，当MN

28、 和 AB之间的距离为0.5 时， MN 应位于 DC下方，且此时MN=AB=2 ， EMN 中 MN 边上的高为0.5 米， SEMN= 1 2 0.50.5 2 ( 平方米 ) （2）当MN在矩形ABCD区域滑动，EMN底 MN=AB=2 ，高为x，即01x时， SEMN 1 2 2 xx; 当 MN在 CGD 区域滑动，即131x时，连接EG交 CD于 F点，交 MN于点 H。 E 为 AB中点， F 为 CD中点， GF CD且 FG=3。又 MN CD, MNG DCG 。 GHMN GFCD . 312( 31 , 2 33 xMNx MN ） 即， EMN 的高 EH=x ， SEMN 1 2 MN 2333 33 EHxx。 综上即有： 2 (01) 333 (13 1) 33 xx S xxx （3）当 MN在矩形区域滑动时，Sx，所以 S有最大值，最大值为1 平方米； 当 MN在三角形区域滑动时，S 23312 33 () 326 x， 31 2 x时， S有最大值， S 2 33 6 . 2 33 1 6 S有最大值，最大值为 2 33 6 平方米。