中考数学分类讨论题.pdf

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1、中考数学复习分类讨论题 类型之一直线型中的分类讨论 直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三 角形高的问题尤为重要. 例 1 （沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度 数为（） A50 B 80 C65或 50D50或 80 【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50角是顶角时， 则（180 50）2=65，所以另两角是65、65； （2）当 50角是底角时， 则 180 50 2=80，所以顶角为80。故顶角可能是50或 80. 答案： D . 同步测试： 1.( ?乌鲁木齐 ) 某等腰三角形的两条

2、边长分别为3cm和 6cm ，则它的周长为（） A9cm B 12cm C15cm D12cm或 15cm 2. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD 沿 EF折叠，使点B落在边 AD上的点 B处，点A 落在点 A处， (1) 求证： BE=BF； (2) 设 AE=a，AB=b, BF=c, 试猜想a、b、c 之间有何等量关系，并给予证明. 类型之二圆中的分类讨论 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有 时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等 例 2.（?湖北罗田） 在 RtABC中，C 90 0，AC 3，BC

3、 4. 若以 C点为圆心， r 为半径所 作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r 的取值范围是_ _ 【解析】圆与斜边AB只有一个公共点有两种情况,1 、圆与 AB相切，此时r 2.4 ；2、圆与 线段相交，点A在圆的内部，点B在圆的外部或在圆上，此时3r 4。 【答案】 3 r 4 或 r 2.4 同步测试： 3. （上海市）在ABC中， AB=AC=5 ， 3 cos 5 B如果圆 O的半径为10，且经过点B、C， 那么线段AO的长等于 4. （?威 海 市）如图，点A，B在直线 MN上， AB 11 厘米， A ，B的半径均为1 厘米 A以每秒 2 厘米的速度自左向右运动，与此同时，B的半

4、径也不断增大，其半径r （厘米） 与时间 t （秒）之间的关系式为r 1+t （t 0） （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式； （2）问点 A出发后多少秒两圆相切？ 类型之三方程、函数中的分类讨论 方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行 分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况. 例 3. （上海市）已知AB=2 ，AD=4 ， DAB=90 ， AD BC （如图）E 是射线 BC上的动点 （点 E与点 B不重合），M是线段 DE的中点 （1）设 BE=x ， ABM 的面积为y，

5、求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结 BD ，交线段 AM于点 N，如果以 A、N、D为顶点的三角形与BME相似，求线段BE 的长 【解析】 建立函数关系实质就是把函数y 用含自变量x 的代数式表示。 要求线段的长，可假 设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以AND，为顶点的三角形与 BME相似”，一定要注意分类讨论。 【答案】（1）取AB中点H，联结MH， M为DE的中点，MHBE， 1 () 2 MHBEAD 又ABBE，MHAB 1 2 ABM SAB MH ，得 1

6、 2(0) 2 yxx； （2）由已知得 以线段 AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切， 11 22 MHABDE， 即 解得 4 3 x，即线段BE的长为 4 3 ； （3）由已知，以AND，为顶点的三角形与BME相似， 又易证得DAMEBM 由此可知，另一对对应角相等有两种情况：ADNBEM；ADBBME 当ADNBEM时，ADBE， ADNDBEDBEBEM DBDE，易得2BEAD得8BE； 当时，ADBE， ADBDBE DBEBME又BEDMEB， BEDMEB DEBE BEEM ，即 2 BEEM DE， 得 22222 1 2(4)2(4) 2 xxx 解得 1 2x，

7、（舍去）即线段 BE的长为 2 综上所述，所求线段BE的长为 8 或 2 同步测试： 5. （福州市 ) 如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线 为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D， 将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处 （1）直接写出点E、F的坐标； （2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴 于点 P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三 角形，求该抛物线的解析式； （3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出 周长的最小值；如果不存在，请说明理由 同步测试答案：

8、 1. 【解析】在没有明确腰长和底边长的情况下, 要分两种情况进行讨论, 当腰长是3cm ，底边 长是 6cm时，由于 3+3 不能大于6 所以组不成三角形；当腰长是6cm ，地边长是3cm时能组 成三角形 【答案】 D 2. 【解析】由折叠图形的轴对称性可知， B FBF ， B FEBFE ，从而可求得B E=BF；第 (2) 小题要注意分类讨论. 【答案】（1）证：由题意得B FBF，B FEBFE， 在矩形 ABCD 中，ADBC，B EFBFE， B FEB EF， B FB EBEBF （2）答：abc， ，三者关系不唯一，有两种可能情况： （） abc， ，三者存在的关系是 22

9、2 abc 证：连结BE ，则BEB E 由（ 1）知 B EBFc ，BEc 在ABE中，90A， 222 AEABBE AEa ， ABb， 222 abc （）abc， ，三者存在的关系是ab c 证：连结BE ，则BEB E 由（ 1）知 B EBFc ，BE c 在ABE中，AEABBE， abc 3. 【解析】本题考察了等腰三角形的性质、垂径定理以及分类讨论思想。由AB=AC=5 ， 3 cos 5 B，可得 BC边上的高AD为 4，圆 O经过点 B、C则 O必在直线AD上，若 O在 BC上 方，则 AO=3 ，若 O在 BC下方，则AO=5 。 【答案】 3 或 5 4.【解析】

10、 在两圆相切的时候，可能是外切， 也可能是内切， 所以需要对两圆相切进行讨论. 【答案】解： （1）当 0 t 5.5 时，函数表达式为d11-2t ； 当 t 5.5 时，函数表达式为d2t -11 （2）两圆相切可分为如下四种情况： 当两圆第一次外切，由题意，可得112t 11t ，t 3； 当两圆第一次内切，由题意，可得112t 1t 1，t 3 11 ； 当两圆第二次内切，由题意，可得2t 11 1t 1，t 11； 当两圆第二次外切，由题意，可得2t 11 1t 1，t 13 所以，点A出发后 3 秒、 3 11 秒、 11 秒、 13 秒两圆相切 5. 【解析】解决翻折类问题，首先

11、应注意翻折前后的两个图形是全等图，找出相等的边和 角其次要注意对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分结合这两个性质来解决在运用 分类讨论的方法解决问题时，关键在于正确的分类，因而应有一定的分类标准，如 E为顶点、 P 为顶点、 F 为顶点在分析题意时，也应注意一些关键的点或线段，借助这些关键点和线 段来准确分类 这样才能做到不重不漏解决和最短之类的问题，常构建水泵站模型解决 【答案】（1）(31)E，；(12)F， （2）在RtEBF中，90B， 2222 125EFEBBF 设点P的坐标为(0)n，其中0n， 顶点(12)F， 设抛物线解析式为 2 (1)2(0)ya xa 如图，当EFPF时

12、， 22 EFPF， 22 1(2)5n 解得 1 0n（舍去）； 2 4n (0 4)P， 2 4(01)2a 解得2a 抛物线的解析式为 2 2(1)2yx 如图，当 EPFP时， 22 EPFP， 22 (2)1(1)9nn 解得 5 2 n （舍去） 当EFEP时，53EP，这种情况不存在 综上所述，符合条件的抛物线解析式是 2 2(1)2yx （3）存在点MN，使得四边形MNFE的周长最小 如图，作点E关于x轴的对称点E， 作点F关于y轴的对称点F，连接E F，分别与 x轴、 y轴交于点MN，则点MN， 就是所求点 (31)E，( 1 2)FNFNFMEME， 43BFBE， FNNMMEF NNMMEF E 22 345 又5EF， 55FNNMMEEF，此时四边形MNFE的周长最小值是55