中考数学复习资料：直角三角形及其应用.pdf

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1、解直角三角形及其应用 知识点回顾 知识点 1：解直角三角形 1 、解直角三角形的类型： 根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法： （1）已知两边： 两条直角边a、b其解法： c= 22 ba，用 tanA= ,求得 A， B=90 A 斜边和一条直角边c、a其解法： b= 22 ac，用 sinA= ，求得 A，B=90 A （2）一边和一锐角： 一条直角边a 和锐角 A： B=90 A；用 tanA= b a , 求得 b= ；用 sinA= c a ， 求得 c= 斜边c 和锐角A： B=90 A；用sianA= c a , 求得 a= ；用cosA= c b , 求

2、得 b= 2、解直角三角形的方法（口诀）： “有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中”这两句话的意思是：当已知和求解中 有斜边时， 就用正弦或余弦； 无斜边时， 就用正切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时， 则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用 中间数据 【友情提示】 解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差； 斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。 例 1： （08 年宁夏中考）如图，在ABC中，C=90， sinA= 5 4 ，AB=15，求ABC 的周长和tanA的值 解析： 应用直角三角形边角关系求出各边长，

3、再求出周长与tanA 的值。 解： 在Rt ABC中, C=90, AB=15 Asin= AB BC = 5 4 , 12BC 91215 2222 BCABAC ABC的周长为36 tan A= 3 4 AC BC 同步检测一： 1 （ 2009湖南省益阳市）如图3，先锋村准备在坡角 为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5 米，那么这两树在坡面上的距离AB为（） A. cos5 B. cos 5 C. sin5 D. sin 5 2 （2008 湖南益阳）AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6 米，ACB=52， 则拉线AC的长为 ( ) A. 52 6 sin 米 B. 52 6

4、 tan 米 C. 6 cos52米D. 52 6 cos 米 3. (2008年乐山市 ) 如图 AD CD ，AB 13，BC 12， CD 3，AD 4，则 sinB= （） A、 5 13 B、 12 13 、 3 5 、 4 5 答案： 1B.2 D3A 知识点 2：解直角三角形的应用 （1）仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 . 5 米 A B 图 3 A B C B D C A （2）方位角 ?指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900 的角 , 叫做 . ?如图：点A在 O的北偏东30 ?点 B在点 O的南偏西4

5、5（西南方向） 注意：方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。 （3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。 如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫 做坡度 ( 或坡比 ) ，记作 i ，即 i ，坡度通常用l ：m的形式，例如上图中的1：2 的形 式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i l h = ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。 【友情提示】在解直角三角形的应用题时，要注意以下各点： 30 45 B O A 东 西 北 南 铅 直 视线 仰角 俯角 视线 水平线 要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义

6、； 认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形，但可通 过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。 选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错； 按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求精确度确定答案，注明单位。 例 2： （08 年河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的 南偏东45方向的 B点生成， 测得 100 6kmOB台风中心从点 B以 40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C 处因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏 西60方向继续移动以O为原点建立如图12

7、 所示的直角坐标系 （1） 台风中心生成点B的坐标为， 台风中心转折点C 的坐标为； （结果保留根号） （2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为点A）位于 点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初 侵袭该城要经过多 长时间？ 解析： 过点 C作 CD OA于点 D ，构造直角三角形求出CA的长，然后根据速度求台风从生成 到最初侵袭该城要经过的时间。 解： （1）(100 31003)B，(100 3 200100 3)C，； （2）过点C作CDOA于点D，如图 2，则100 3CD 在RtACD中，30ACD，100 3CD， 3 cos3

8、0 2 CD CA 200CA 20020 6 30 ，5611， 台风从生成到最初侵袭该城要经过11 小时 x/km y/km 北 东 A O B C 60 45 图 12 x/km y/km A O B C 60 45 图 2 D A B C D 例 3：（ 09 年广东深圳） 如图，斜坡AC的坡度（坡比）为 1: 3 ， AC 10 米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩 带AB相连，AB14 米试求旗杆BC的高度 解析： 延长 BC交 AD于 E点，构造直角三角形，由坡比为1 3，可知 CAE=30 ，运用解直角三角形知识可求出CE、AE 的长度，在Rt ABE中运用勾股定理，

9、可求得BE ，BC=BE-CE. 解： 延长BC交AD于E点，则CEAD 在 RtAEC中，AC10， 由坡比为 13 可知：CAE30， CEAC sin30 10 1 2 5， AEACcos30 10 3 2 5 3 在 RtABE中，BE 22 ABAE 22 14(5 3) 11 BEBCCE，BCBECE 11-56（米） 答：旗杆的高度为6 米 例 4： （09 年四川成都）某中学九年级学生在 学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展 测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一 幢教学楼的高度如图， 他们先在点C测得教 学楼 AB的顶点 A的仰角为30，然后向教学 楼前进 60 米

10、到达点D，又测得点A的仰角为45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的 高度 ( 计算过程和结果均不取近似值) 解析： 由仰角的定义可知ABD=45 ， ACE=30 ，在 RtABC中运用解直角三角形知识可 以求得 BC=3AB ，由 BC-BD=CD, 得3AB-AB=60 ， AB=30 （3+1）米。 解： 如图，由已知可得ACB=30 ， ADB=45 在 RtABD中， BD=AB. 又在 RtABC中， tan30 = BC AB ， BC AB = 3 3 ，即 BC=3AB. BC=CD BD， 3AB=CD AB ，即（31）AB=60. A B C D E A B C D

11、AB= 13 60 =30（31） （米） 答：教学楼的高度为30（31）米 . 同步检测二： 1. （2009黑龙江省哈尔滨市）如图，一艘轮船以每小时20 海里的速度沿正北方向航行， 在 A处测得灯塔C在北偏西30方向，轮船航行2 小时后到达B处，在 B处测得灯塔C在北 偏西 60方向 当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离 （结果 保留根号） 2. （ 2009内蒙古包头市）如图，线段ABDC、分别表示甲、乙两建筑物的高， ABBCDCBC，从B点测得D点的仰角为 60从A点测得D点的仰角为 30，已知甲建筑物高36AB米 （1）求乙建筑物的高 DC ； （2）求甲、

12、乙两建筑物之间的距离BC（结果精确到0.01 米） （参考数据：21.41431.732，） 3. （2009山西省）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，ADBCEF，为水库的水 面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的 D 乙 C B A 甲 长为 12 米，迎水坡上DE的长为 2 米，135120BADADC ， ，求水深（精确到 0.1 米，21.411.73，3） 参考答案： 1. 解：由题意得CAB=30 ， CBD=60 ， ACB=30 ACB= CAB ， BC=AB=20 2=40 CDB=90 ， sin CBD= BC CD ，即 s

13、in60 = BC CD = 2 3 CD=BC 2 3 =40 2 3 =203 此时轮船与灯塔C的距离为 20 3海里 . 2. 解： （1）过点A作AECD于点E， 根据题意，得6030DBCDAE ， 36AEBCECAB，米， 设DEx，则36DCDEECx， 在RtAED中，tantan30 DE DAE AE ， 33AExBCAEx， 在RtDCB中， 36 tantan603 3 DCx DBC BCx ， 3361854xxxDC，（米） A B C D E F 水深 M G H D 乙 C B A 甲 E （2）3BCAEx，18x， 3 1818 1.73231.18B

14、C（米） 3. 【解析】分别过点A、D 作梯形的高，图形便分为两个直角三角形和一个矩形，在直角三 角形中利用锐角三角函数计算出AM 、DG 、DH ，即可求出水深. 【答案】解：分别过AD、作AMBC于MDGBC，于G 过E作EH DG于H，则四边形AMGD 为矩形 ,135120ADBCBADADC ， 456030BDCGGDC ， ， 在RtABM中， 2 sin126 2 2 AMABB 6 2DG 在RtDHE中， 3 cos23 2 DHDEEDH 6 21.41 1.73HGDGDH-3 6 6.7 答：水深约为6.7 米 随堂检测： 1.（09 年福建漳州）三角形在方格纸中的位

15、置如图所示，则tan的值 是（） A 3 4 B 4 3 C 3 5 D 4 5 2.（09 年河北）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表 示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150，BC的长是 8 m， 则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（） A 8 3 3 m B4 m C 4 3 m D8 m （第 1 题） A B C D 150 第 2 题 h 3. (09年湖北恩施 )如图，在 ABC中， C=90, B=60, D是 AC上一点，ABDE于E, 且, 1,2 DECD 则BC的长为 ( ) A. 2 B. 3 3 4 C. 32 D. 34 4.（09 年

16、遂宁）如图，已知ABC 中， AB=5cm ， BC=12cm ， AC=13cm ，那么 AC边上的中线BD的长为 cm. 5. （09 年益阳）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到 CBA，使点B与C重合，连结BA，则CBAtan的值为 . 6.（09 年朝阳）如图，ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DEAB于 点E，DFAC于点F若2BC，则DEDF_ 7. （09 年温州） ABC中， C=90， AB=8，cosA= 4 3 ，则 AC的长是 8.计算： 01 )2008(260cos . 9. 计算： 1 01 82sin 45(2) 3 10.

17、 （08 年绍兴）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援如图，汽车在一条南 F E B C D A （第 6题图） A C(B) B A C （第 5 题） 图5 E D CB A （第 3 题） （第 4 题） 北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载 GPS （全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏 西25方向，汽车以35km/h 的速度前行2h 到达B处， GPS显示村庄C在北偏西52方向 （1）求B处到村庄C的距离； （2）求村庄 C到该公路的距离 （结果精确到 0.1km） （参考数据：sin 260.438 4，cos260.898 8，sin 520.788 0， cos520.

18、615 7） 11. （08 年青岛）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘 制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB2 米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一 年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角 为 18.6 ，最大夹角 为 64.5 请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效 数字） （参考数据：sin18.6 0.32 ，tan18.6 0.34 ，sin64.5 0.90 ，tan64.5 2.1 ） 12. （09 年广东省）如图所示，A、B两城市相距100km 现计划在这两座城市间修筑一 条高速公路（即线段AB

19、） ，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东 30 和B城市的北 偏西45的方向上 已知森林保护区的范围在以P点为圆心， 50km为半径的圆形区域内请 问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？ （参考数据：31.73221.414，） A D B A N B C （第 10 题图） 13. （ 09 年黄冈） 如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心 （记作点M）位于滨海市 （记 作点A）的南偏西15，距离为61 2千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60 3 千米处台风中心正以72 千米 / 时的速度沿北偏东60的方向移动（假设台风在移动过 程中的风力保持不变） ， 距离台风中心6

20、0 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭 （1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由 （2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？ 随堂检测答案： 1.A 2.B 3.B 4. 2 13 5. 3 1 6.37. 6 8.解：原式 =1 2 1 2 1 =2 9.解： 1 01 82sin 45(2 ) 3 2 22213 2 22 10.解：过C作CDAB，交AB于D （1）52CBD，26A， A M B （滨海市） （临海市） A 第12 题 B F E P 45 30 A N B C 26BCA ， 70BCAB， 即B处到村庄C的距离为70km

21、 （2）在Rt CBD 中， sin 52CDCB700.788055.2 即村庄 C到该公路的距离约为 55.2km 11.解：设 BC的长为 x 米，则 AC的长为（ 2x）米， 由于 为 18.6 ， 为 64.5 ，所以 ADC ， CDB 在 RtACD中， AC（ x2）米， ACD 90， ADC 64.5 ， CD 0 tan64.5 AC 在 RtBCD中， BCx 米， ACD 90， BDC 18.6 ， CD 0 tan18.6 BC 0 tan64.5 AC 0 tan18.6 BC ， tan18.6 （ x2） tan64.5 x 即 x1.5 ， BC1.5 米

22、， CD 1.5 0.32 4.7 （米） 答：遮阳蓬中CD的长是 4.7 米. 12.解：过点P作PCABC，是垂足， 则3045APCBPC ， ACPC tan30BCPE ，tan45, ACBCAB， PC tan30PCtan45=100， 3 1100 3 PC ， P 答案 12 题图 F B C A E 50 335031.73263.450PC 答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路 不会穿越保护区 13. 解： （1）设台风中心运行的路线为射线 MN 于是601545AMN ，906030BMN 过点A作 1 AHMN于H，故 1

23、 AMH为等腰直角三角形 61 2AM，故 1 6160AH 滨海市不会受到台风的侵袭 再过B作 2 BHMN于 2 H由于60 3MB， 2 30H MB ， 故 2 30 360BH 故临海市会受到台风侵袭 （2）以点B为圆心， 60 为半径作圆与射线MN分别交于 12 T T故 12 60BTBT 在 12 BT H中， 2 12 1 30 33 sin 602 BH BT H BT 故锐角 12 60BTH 又 12 BTBT，故 12 BT H为等边三角形 12 TT 当台风中心点Q位于线段 12 TT内时， 1 60QBT B，点B在以Q为圆心， 60 为半径的圆的圆形区域内，此时临海市会受到台风侵袭，即台风中心经过线段 12 TT上所用的时间 605 726 （小时） 临海市受到台风侵袭时间为 5 6 小时 A M B （滨海市） （临海市） 60 3 61 2 T1 H1 H2 T2