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1、第 26 课时两个平面垂直的判定和性质习题课（二） 教学目标： 通过本节教学提高学生解决问题能力；进一步提高学生认知图形能力、空间想象能 力；从多角度解答问题过程中，感悟等价转化思想运用；创新精神，实践能力在数学中 的体现、渗透。 教学重点： 两个平面所成二面角的棱寻求、角的求解。 教学难点： 找求问题解决的突破口，转化思想渗透。 教学过程： 1复习回顾 ： 1）二面角的平面角找法依据. 2）三垂线定理及逆定理. 2讲授新课 ： 师前面研究了如何找一个二面角的平面角，解决的途径有定义法、三垂线法、 垂面法，除此外又给了面积射影法求二面角.本节主要研究无棱二面角的求解思路、方法. 近几年的高考试
2、题涉及无棱二面角问题的题目也较突出. 找无棱二面角的棱依位置可分二类， 例 1：如图，在所给空间图形中ABCD 是正方形， PD面 ABCD ，PD=AD.求平面PAD 和面 PBC 所成二面角的大小. 师面 PAD 和面 PBC 图中只给出一个公共点， 那么怎样找棱呢？请思考. 生作线在面内进行，BCAD 则经 BC 的平面与 面 P AD 的交线应平行，由此想到经P 作 BC 或 AD 平行线， 找到棱后的主要问题就是找平面角. 解法如下： 解：经 P 在面 PAD 内作 PEAD，AE面 ABCD， 两线相交于E，连 BE BCAD 则 BC面 PAD 面 PBC面 PADPE BCPE
3、 因 PD面 ABCD，BCCD 那么 BCPC，BC面 PDC 即有 PE面 PDC PEPD，PEPC CPD 就是所求二面角的平面角 因 PDAD，而 ADDC CPD=45 即面 PAD 与面 PBC 成角为 45 . 师从整个过程可看到，找棱的过程也是经公共点作表示平面的一线的平行线， 而平面角依垂面找到并求得. 请同学归纳小结例1 的解法，并完成例2. 例 2：如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60角，侧面BCC1B1 面 ABC. 求平面 AB1C1与底面 ABC 所成二面角大小. 师首先解释一下斜三棱柱，面ABC 及 面 A1B1C1都是几何体底面且平行
4、，CC1 AA1 BB1. 生 A 是面 AB1C1和面 ABC 的一个公共点，这两个 面的棱图中也没有给出.但由上下两面平行应有交线平行 于 B1C1，此题难点就是如何找平面角. 师考虑面BB1C1C面 ABC 及棱长相等两个条件， 请同学思考 . 师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线. 解：因面ABC面 A1B1C1，则面 BB1C1C面 ABC BC 面 BB1C1C面 A1B1C1B1C1 BCB1C1，则 B1C1面 ABC 设所求两面交线为AE，即二面角的棱 则 B1C1AE，即 BCAE 经 C1作 C1DBC 于 D，因面 BB1C1C面 ABC C1D面 ABC，C1DBC
5、 又 C1CD60,CC1a 故 CD a 2 即 D 为 BC 中点 又 ABC 是等边三角形 BCAD 那么有 BC面 DAC1即 AE面 DAC1 故 AEAD，AEAC1 C1AD 就是所求二面角的平面角 . 因 C1D 3 2 a，AD 3 2 a，C1DAD 故 C1AD45. 师请同学小结该题，解决问题关键是什么，难在什么地方. 生同例1，关键是找棱、找角、而找角较难. 师继续看例3，看该问题与前两个问题相同点是什么，不同点是什么？ 例 3：如图，几何体中AA1 BB1 CC1，AA1面 ABC， ABC 为正三角形，面A1EC 面 AC1，EBB1，AA1A1B1，求面 A1E
6、C 与面 ABC 所成二面角的大小 . 师 此题显然依上述方法去找平行线已不可能.由图 B1C1与 CE 不平行 .但与前两个 问题的相同点还是两面从图形看到的只有一个公共点，依公理我们只有去找另一公共点， 观察图我们可看到CE 与 B1C1是同一平面内线，突破口就选在面B1C1CB 内，找到点后， 二面角的棱也就找到.请同学思考并表述过程. 解： A1是平面 A1EC 与平面 A1B1C1的一个公共点， 只需找到另一个公共点，即可. 因 AA1A1B1A1C1，连 AC1 则 AC1A1C，AC1A1CO 取 BB1的中点 E，连 EO 因面 ABC 是正三角形，则经B 作 BGAC 有 B
7、G面 AC1，OEBG OE面 AC1 因面 A1EC面 AC1，故 E 是 BB1中点 那么 EB1 1 2 CC1 CE 与 B1C1延长后必交于一点F， 即 F 为面 A1EC，面 A1B1C1的另一个公共点 连 A1F，则 A1F 为面 A1EC 与面 A1B1C1所成二面角的棱 因 FB1B1C1A1B1， A1B1F120 FA1B130 那么 C1A1F90即 A1C1A1F 那么 CA1A1F（三垂线定理） CAC1为面 A1EC 与面 A1B1C1所成二面角的平面角. CA1C145，因 AA1 BB1 CC1 而面 ABC面 A1B1C1 面 A1EC 与面 ABC 所成二面角大小为 45. 师找公共点F 是解此题关键，例1、2 是通过公共点作棱，例3 是通过再找公共 点而得棱 .因题条件不同而采用不同作法.例 1、2 找棱的方法不妨叫“作平行线”，例 3 的 方法叫“找公共点”. 师问题的解决不一定就一种思路，一条途径，只要多去想条件涉及到的知识点， 解决方法总会找到， “柳暗花明又一村”的境界一定能达到. 3课时小结 ： 依图形结构，对两类问题（例1、2 为一类，例3 为一类）分别用“作平行线”法及 “找公共点”法完成，但一切问题都不是绝对的。 4课后作业 ：