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1、8.4 正定二次型,授课题目：8.4 正定二次型 授课时数：4学时 教学目标：掌握正定二次型的定义、性质及 判定 教学重点：正定二次型的性质及判定条件 教学难点：正定二次型的判定条件,数域F上文字x1, x2, xn的二次型 f (x1, x2, xn)=XTAX 可以看成是定义在Fn上的n元数值函数，对任意 =(c1,c2,cn)TF n有f (c1,c2,cn)=TA 为F中惟一确定的数，即f：F nF为以F n中的向 量为变量的数值函数从这一观点出发，我们可 以根据下列定义，对二次型进行适当分类,一. 实二次型的分类,定义1 n元实二次型f(x1, x2, xn)=XTAX，如 果对任意
2、一组不全为零的实数(c1,c2,cn),都有 1)f(c1,c2,cn)0, 则称该二次型为正定的； 2)f(c1,c2,cn) 0, 则称该二次型为负定的； 3)f(c1,c2,cn)0, 则称该二次型为半正定的； 4)f(c1,c2,cn)0, 则称该二次型为半负定的； 5)f(c1,c2,cn)0,即不是半正定的又不是半 负定的, 则称其为不定的,f(x1, x2, xn)=,是正定的，但二次型,(rn)不是正定二次型，二次型,+,由定义不难看出，二次型 f(x1, x2, xn)=,f(x1, x2, xn)=,正定的充分必要条件是：d i0, i=1,2, ,n.,二. 实二次型正定
3、性的判定,定理8.4.1 可逆线性替换不改变实二次型的正定 性,1. 可逆线性替换与实二次型的正定性,证 若f(x1, x2, xn)XTAX正定，经可逆线性 替换X=PY化为g(y1, y2, , yn)=YTBY (其中B=PTAP), 对任意一组不全为0的实数 =(c1,c2,cn)T, 注意到P可逆且0，有 P0, 从而有,g(c1,c2,cn)=TB= T(PTAP)=(P)TA(P)0 这说明二次型g(y1, y2, , yn)=YTBY正定,反之，若二次型g(y1, y2, , yn)=YTBY正定，对任 意一组不全为0的实数=(c1,c2,cn)T有P-10, 从而 TAP=T
4、(P-1)TB(P-1)=(P-1)TB(P-1)0. 这说明二次型f(x1, x2, xn)=XTAX正定,定理8.4.2 若n元实二次型f(x1, x2, xn)=XTAX 的秩为r，正惯性指标为p，则,2. 实二次型正定性的判定,推论1 n元实二次型,正定的充分必要条件是：它的典范形为,三. 正定矩阵,必要条件是： 正定,显然，n元实二次型 是负定的充分,1. 实正定矩阵的定义,证明 设A是实对称矩阵，若A是正定的，则实,是正定的(负定的,半正定的,半负定的,不定的), 则相应的实对称矩阵A称为是正定的(负定的, 半正定的,半负定的,不定的).,定义2 若实二次型,推论2 实对称矩阵A是
5、正定的充分必要条件是： 它与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵C,使A=CTC,2. 实正定矩阵的性质及判定,故存在可逆矩阵C, 使得A=CTIC=CTC, 反之亦然. 推论3 若A正定，则,是正定的, 由推论1知, 正定二次型的典范形为,证明 若A正定，由推论2知，存在可逆矩阵C， 使A=CTC，从而,二次型,定义3 设A=(aij)是实对称矩阵，对于1kn， 位于的前k行k列交叉处的元素所构成的行列式,称为A的k阶顺序主子式,(aij=aji)是正定的，以Ak表示位于A的前k行k列交 叉处的元素所构成的矩阵, 则以Ak为矩阵的实二 次型,定理8.4.3 实对称矩阵A是正定的充分必要条件 是：A的
6、一切顺序主子式皆大于0 证明 必要性, 设二次型,对任意一组不全为0的实数,有,(1kn).所以二次型,是正定的，由推论3知,充分性 对A的阶n用数学归纳法.n1结论显然. 假设对n1充分性成立，即对于n1阶的实对 称矩阵An-1若其一切顺序主子式皆大于0则其必 为正定的,要证明对于n充分性也成立,只需证明再添加条件,时，A为正定矩阵由归纳假设知，,矩阵An-1与单位矩阵I n-1合同，即有n1阶可逆 矩阵Q使得QT An-1AQ= I n-1，将A分块为,其中,令,则,于是,再令,同样地,于是,其中,将上式两边求行列式得,又令,也有,从而C,的行列式有,因而对可逆矩阵C有,这说明矩阵A合同于
7、单位矩阵In，故A正定,=In,推论4 n元实二次型,正定的充分必要条件是：实对称矩阵A的一切顺 序主子式皆大于0 例1 判断实二次型,是否正定 解 该二次型的矩阵为,由定理8.4.3知，该二次型是正定的 例2 设二次型,A的一切顺序主子式为,的顺序主子式Pi均不为0，则存在可逆线性替换 X=CY使,证明 用数学归纳法n1结论显然假设结 论对n1成立，考虑n令, 其中,为齐次线性方程组,矛盾）于是对二次型,作可逆线性替换X=C1Y,得,两端取行列式得,所以,从而有,令,由归纳假设知，存在,使得,令, 取C=C1C2 , 则二次型,经可逆线性替换X=CY有,3. 实半正定矩阵的判定,定理8.4.4 对于实二次型,下列条件等价,2）,的正惯性指标与秩相等；,1）,是半正定的；,3）有可逆实矩阵C，使得,其中di 0, i=1,2, ,n； 4）有可逆实矩阵C，使ACTC； 5）A的所有主子式皆大于或等于0 所谓主子式就是行指标与列指标相同的子式,