高三数学试卷(文科).pdf

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1、高三数学试卷（文科） 本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试 时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷 与答题纸一并交回。 1. 设集合1Px x，(1)0Qx x x，下列结论正确的是 APQBPQR CPQDQP 2. 下面四个点中，在区域 4,yx yx 内的点是 A(0,0)B(0,2)C( 3,2)D( 2,0) 3. 设等差数列 n a的前n项和为 n S， 24 6aa，则 5 S等于 A10B12C15D30 4. 若0mn，则下列结论正确的是 A22 mn B 11 ( )( )

2、 22 mn C 22 loglogmn D 11 22 loglogmn 5. 甲乙两名运动员在某项测试中的6 次成绩如茎叶图所 示， 12 ,x x分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均 数， 12 ,s s分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准 差，则有 A 12 xx， 12 ssB 12 xx， 12 ss C 12 xx， 12 ssD 12 xx， 12 ss 6. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 开始 1,1xy zxy 8 3 5 5 7 2 9 4 5 5 6 1 2 0 1 乙甲 A 13 21 B 21 13 C 8 13 D 13 8 7. 已知

3、双曲线 2 2 1 3 y x的左顶点为 1 A，右焦点为 2 F，P为双曲线右支上一点，则 12 PA PF的最小值为 A2B 81 16 C1D0 8. 如图，平面平面，直线l，,A C是内 不同的两点 ,B D是内不同的两点，且,A B C D直 线l, ,M N分别是线段,AB CD的中点 . 下列判断正确的是： A 当2CDAB时，,MN两点不可能重合 B 当2CDAB时，线段,AB CD在平面上正投影的长度不可能相等 C,MN两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交 D 当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共

4、 30 分. 9. i是虚数单位， 1 i 1i _. l B A C D M N 10. 在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则点P到点A的距离小于1的概率为 _. 11. 已知2a，3b，,a b的夹角为60，则2ab_. 12. 已知 2 ,0, ( ) 12lg,0, xxx f x xx 若( )2f x，则x_. 13. 在ABC中，C为钝角， 3 2 AB BC ， 1 sin 3 A， 则角C_，sin B_. 14. 设函数( )f x的定义域为 D，若存在非零实数l使得对于任意()xM MD ，有 xlD，且()( )f xlf x，则称( )f x为M上的l高调函数

5、. 现给出下列命题： 函数 1 ( )( ) 2 x f x为R上的1高调函数； 函数( )sin2f xx为R上的高调函数； 如果定义域是 1,)的函数 2 ( )f xx为 1,)上的m高调函数，那么实数 m的取值范围是2,). 其中正确的命题是_. （写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.（本小题满分12 分） 一个盒子中装有4 张卡片，每张卡片上写有1 个数字，数字分别是1、2、3、4，现从 盒子中随机抽取卡片. （）若一次抽取3 张卡片，求3 张卡片上数字之和大于7 的概率； （） 若第一次抽1

6、张卡片， 放回后再抽取1 张卡片， 求两次抽取中至少一次抽到数字 3 的概率 . 16.（本小题满分12 分） 已知为锐角，且tan()2 4 . （）求 tan 的值； （）求 sin2cossin cos2 的值 . 17.（本小题满分14 分） 如图 1，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图2 所示 . （）证明： AD 平面PBC； （）求三棱锥DABC的体积； （）在ACB的平分线上确定一点Q，使得/PQ平面ABD，并求此时PQ的长 . 18.（本小题满分14 分） 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的

7、离心率为 3 2 ，且过点2 0（ ， ）. （）求椭圆C的方程； （）设直线:lyxm与椭圆C交于两点,A B，O为坐标原点，若OAB为直角 三角形，求m的值 . 19.（本小题满分14 分） 设数列 n a为等比数列， 数列 n b满足 121 (1)2 nnn bnanaaa，n * N， A B C P D 4 4 4 2 2 2 2 2 2 图 1 图 2 正（主） 视图侧（左）视图 已知 1 bm， 2 3 2 m b，其中0m. () 求数列 n a的首项和公比； () 当 1m 时，求 n b； ( ) 设 n S为数列 n a的前n项和，若对于任意的正整数n， 都有1,3 n

8、 S， 求实数m 的取值范围 . 20.（本小题满分14 分） 已知函数 2 ( )() e x f xxmxm（mR）. （）若函数( )f x存在零点，求实数m的取值范围； （） 当 0m 时，求函数( )fx的单调区间；并确定此时( )f x是否存在最小值，如果 存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由. 北京市西城区 2019 年抽样测试参考答案 高三数学试卷（文科）2019.4 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B C D B D A C 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 11 i

9、22 10. 4 11.1312.1或10 13.150， 2 23 6 14. . 注：两空的题目，第一个空2 分，第二个空3 分. 14 题选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分. 三、解答题： （本大题共6 小题，共80 分. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准给分 .） 15、解：（）设A表示事件“抽取3 张卡片上的数字之和大于7” ， 任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是（1、2、 3） ， （1、2、4） ， （1、3、 4） ， （2、3、 4） ，2 分 其中数字之和大于7 的是（ 1、3、4） ， （2、3、4） ，4 分 所以()P A . 6

10、分 （）设B表示事件“至少一次抽到3” ， 每次抽 1 张，连续抽取两张全部可能的基本结果有：（1、1） （1、2） （1、3） （1、4） （ 2、 1） （ 2、2） （2、3） （ 2、4） （3、1） （3、2） （3、3） （3、4） （4、1） （4、2） （4、3） （4、4） ， 共 16 个基本结果 .8 分 事件B包含的基本结果有（1、3） （2、3） （3、1） （ 3、2） （ 3、3） （ 3、4） （ 4、3） ，共 7 个基本结果 .10 分 所以所求事件的概率为()P B . 12 分 16、解：（） 1tan tan() 41tan ，2 分 所以 1tan

11、2 1tan ，1tan22tan， 所以 1 tan 3 .5 分 （） 2 sin 2cossin2sincossin cos2cos2 2 sin(2cos1)sincos2 sin cos2cos2 .8 分 因为 1 tan 3 ，所以cos3sin，又 22 sincos1， 所以 2 1 sin 10 ，10 分 又为锐角，所以 10 sin 10 ， 所以 sin 2cossin10 cos210 .12 分 17、解：（）因为PA平面ABC，所以PABC， 又AC BC，所以BC 平面PAC，2 分 所以BC AD. 3 分 由三视图可得， 在 PAC中，4PAAC ，D为

12、PC中点，所以ADPC，4 分 所以AD平面PBC，5 分 （）由三视图可得 4BC ， 由（）知90ADC，BC平面PAC， 又三棱锥DABC的体积即为三棱锥BADC 的体积，7 分 所以，所求三棱锥的体积 11116 444 3223 V. 9分 （）取 AB的中点O，连接CO并延长至 Q，使得2CQCO，点Q即为所求 . 10 分 因为O为CQ中点，所以/PQOD， 因为PQ平面 ABD，OD 平面ABD， 所以/PQ平面 ABD， 12 分 连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分， 所以ACBQ为平行四边形， 所以4AQ，又PA平面ABC， 所以在直角PAQ中， A B C P

13、 D Q O 22 4 2PQAPAQ.14 分 18、解：（）由已知 3 2 c a ， 2 4 1 a ，3 分 所以 2a ，3c， 又 222 abc， 所以1b， 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 5 分 （）联立 2 2 1 4 x y yxm ， 消去y得 22 58440xmxm，6 分 222 6480(1)1680mmm， 令 0，即 2 16800m，解得55m. 7 分 设,A B两点的坐标分别为 1122 (,) ,(,)xyxy， （）当AOB为直角时， 则 2 1212 844 , 55 m xxm x x，8 分 因为AOB为直角，所以0OA OB，

14、即 1212 0x xy y，9 分 所以 2 1212 2()0x xm xxm， 所以 2 22888 0 55 m mm，解得 2 10 5 m. 11 分 （）当OAB或OBA为直角时，不妨设OAB为直角， 由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为1， 所以 1 1 1 y x ，即 11 yx，12 分 又 2 21 1 1 4 x y，13 分 所以 2 1 5 1 4 x， 1 2 5 5 x， 111 4 25 5 myxx，14 分 经检验，所求m值均符合题意，综上，m的值为 2 10 5 和 4 5 5 . 19、解： ( ) 由已知 11 ba，所以 1 am，2 分 2

15、12 2baa， 所以 12 3 2 2 aam， 解得 2 2 m a，所以数列 n a的公比 1 2 q. 4 分 ( ) 当 1m 时， 1 1 () 2 n n a， 121 (1)2 nnn bnanaaa， 231 1 (1)2 2 nnn bnanaaa，5 分 得 231 3 2 nnn bnaaaa，7 分 所以 11 1 () 311 22 1 () 1 232 1 () 2 n n n bnn ， 1 222162( 2) () 39929 n n n nn b.9 分 ( ) 1 1() 21 2 1 () 1 32 1() 2 n n n m m S ，10 分 因为

16、 1 1()0 2 n ，所以，由1,3 n S得 123 11 3 1()1 () 22 nn m ， 注意到，当n为奇数时 13 1()(1, 22 n ，当n为偶数时 13 1(),1) 24 n ， 所以 1 1() 2 n 最大值为 3 2 ，最小值为 3 4 . 12 分 对于任意的正整数n都有 123 11 3 1()1 () 22 nn m ， 所以 42 2 33 m ，23m. 14 分 即所求实数m的取值范围是23mm. 20、解：（）设( )f x有零点，即函数 2 ( )g xxmxm有零点， 所以 2 40mm，解得4m或0m. 3 分 （） 2 ( )(2) e(

17、) e(2)e xxx fxxmxmxmx xm，5 分 令( )0fx，得 0x 或 2xm ， 因为 0m 时，所以 20m ， 当(,2)xm时，( )0fx，函数( )f x单调递增； 当(2,0)xm时，( )0fx，函数( )fx单调递减； 当(0,)x时，( )0fx，函数( )f x单调递增 .7 分 此时，( )f x存在最小值 . 8 分 ( )f x的极小值为(0)0fm. 9 分 根据( )f x的单调性，( )f x在区间(2,)m上的最小值为m， 10 分 解( )0f x，得( )f x的零点为 2 1 4 2 mmm x和 2 2 4 2 mmm x， 结合 2 ( )() e x f xxmxm， 可得在区间 1 (,)x和 2 (,)x上，( )0f x. 11 分 因为0m，所以 12 0xx， 并且 22 1 444 (2)2 22 mmmmmm xmm 2 444 2 mmm42 2 mm4(2) 10 2 mm ， 即 1 2xm，13 分 综上，在区间 1 (,)x和 2 (,)x上，( )0f x，( )f x在区间(2,)m上的最小 值为m，0m， 所以，当0m时( )f x存在最小值，最小值为m. 14 分