高三第一学期期中数学考试卷(理科)(5).pdf

《高三第一学期期中数学考试卷(理科)(5).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三第一学期期中数学考试卷(理科)(5).pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、高三第一学期期中数学考试卷（理科）(5) 一、填空题 （每题 6 分，共 84 分） 1、设 P、Q为两个非空实数集合，定义集合,|QbPaabzzQP若 P 1， 0，1 ，Q 2，2，则集合 P2 Q中元素的个数是_ 2、已知命题“ 1 ,:“ x xRxp ，命题p 的否定为命题q，则 q 是“” ；q 的真假为（填真，假）。 3、已知 f(x)=|log 2x| ，则) 2 3 () 4 3 (ff 4、已知 a,b 为常数，若 2410)(, 34)( 22 xxbaxfxxxf，则 5a-b= ; 5、设周期函数)(xf是定义在R 上的奇函数，若)(xf的最小正周期为3，且2)1

2、(f， m mf 3 )2(，则 m的取值范围是 ; 6、设a，b是两个不共线的向量，若2ABakb，3CBab，2CDab，且 ABD、 、三点共线，则k_ 7、已知)0,0( 1 21 nm nm 则当mn 取得最小值时，椭圆1 2 2 2 2 n y m x 的离心率是 _ 8、已知 5 3 ) 4 sin(x ，则x2sin的值为 _ 9、如图，已知正四棱台ABCD A1B1C1D1的上底面边长为1， 下底面边长为2，高为 1，则直线B1C与面 ACC1A1所成角 的正切值是 . 10、图中阴影部分的面积为_。 11、过抛物线0)0(2 2 mmyxppxy的焦点的直线与抛物线交于A、

3、B 两点，且 OAB （O为坐标原点）的面积为 46 ,22mm则= . 12、9已知不等式,9) 1 )( y a x yx对任意正实数x，y 恒成立， 则正实数a 的最小值是 _ 13、给出下列四个命题： 若; 11 ,0 ba ba则 若 b b a aba 11 , 0 则 若; 2 2 , 0 b a ba ba ba则 ba baba 12 , 12,0,0则且若的最小值为9. 其中正确 命题的序号是 . 14、给出以下几个命题： 由曲线y=x 2 与直线 y=2x围成的封闭区域的面积为 3 4 . 已知点A是定圆 C上的一个定点，线段AB为圆的动弦，若)( 2 1 OBOAOP，

4、O为 坐标原点，则动点P的轨迹为圆； 把 5本不同的书分给4 个人，每人至少1 本，则不同的分法种数为A5 42 A 4 1=480 种. 若直线l/ 平面 ，直线l直线m，直线平面 ，则 ， 其中正确 命题的序号是 . 二、 解答题 ： （本大题共6 小题，共76 分） 15 、（ 本 小 题 满 分12分 ） 已 知a 、 b 、 c是 ABC 三 边 长 ， 关 于x的 方 程 )(02 222 bcabxbcax的 两 根 之 差 的 平 方 等 于4 ， ABC 的 面 积 .7,310cS（）求角C； （）求 a、b 的值 . 16、 （本小题满分12 分） 已知数列 an 的前

5、n 项和为 Sn，且满足)2(02, 2 1 11 nSSaa nnn （）判断 1 n S 是否为等差数列？并证明你的结论； （）求Sn和 an （）求证：. 4 1 2 1 22 2 2 1 n SSS n 17、 （本小题满分12 分）甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f （x） 、g （x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对 这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若 甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没 有失败的风险。 （）试解释20)0(,

6、10)0(gf的实际意义； （）设20)(,10 4 1 )(xxgxxf，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商， 同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各 应投入多少宣传费？ 18、 （本小题满分12 分）已知函数cbxaxx)x(f 23 ，曲线)(xfy在点 x=1 处的 切线 l 不过第四象限且斜率为3， 又坐标原点到切线l 的距离为 10 10 ， 若 3 2 x时，)x(fy 有极值 (I) 求 a、b、c 的值； (II) 求)x(fy在-3,1 上的最大值和最小值 19、 （本小题满分14 分） （普通班学生做）已知函数( )1f xx，设 1(

7、) ( )g xf x， 1 ( )( ) nn gxf gx(1,)nnN （1）求 2( ) gx， 3( ) gx的表达式，并猜想( ) n gx ()nN的表达式（直接写出猜想结果） （2） 若关于x的函数 2 1 ( )() n i i yxgx nN 在区间(, 1上的最小值为6， 求n的值。 20、（本小题满分14 分） （普通班学生做） 在平面直角坐标系xoy 中， 直线 l 与抛物线xy4 2 相交于不同的A、B两点 . （）如果直线l 过抛物线的焦点，求OBOA的值； （）如果, 4OBOA证明直线l 必过一定点，并求出该定点. 19 、（本小 题满分14分） （实验班学生

8、做）已知二次函数 ttttylcbxaxxf. 20(8:,)( 2 1 2 其中直线为常数）；2: 2 xl. 若直线 l 1、 l2与函数 f （x）的图象以及l1，y 轴与函数f （x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （）求a、b、c 的值 （）求阴影面积S关于 t 的函数 S（ t ）的解析式； （）若,ln6)(mxxg问是否存在实数m ，使得 y=f （x）的图象与y=g（x）的图象 有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 20、 （本小题满分14 分） （实验班学生做） 椭圆 G：)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点F1（ c，

9、0） 、 F2（ c，0） ， M是椭圆上的一点， 且满足. 0 21 MFMF （）求离心率e 的取值范围； （）当离心率e 取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为 ).(25i 求此时 椭圆 G的方程；（）设斜率为k（k0）的直线l 与椭圆 G相交于不同的两点A、B，Q为 AB的中点， 问 A 、B两点能否关于过点QP、) 3 3 ,0(的直线对称？若能，求出 k 的取值范围； 若不能，请说明理由 高三数学（理科）试卷答案 一、填空题 1、 3 2、 x xRx 1 ,;假3、1 4、2 5、)3, 0()1,( 6、87、 2 3 8、 25 7 9、 6 6 10、 32

10、 3 11、2 12、 4 13、14、 二、解答题 15 解： （）设02, 222 21 bxbcaxxx为方程的两根 则 a bc xx 22 21 2 a b xx 21 ,2 分 4 4)(4 4)()( 2 22 21 2 21 2 21 a b a bc xxxxxx abcba 222 ,4 分 又 ab cba C 2 cos 222 2 1 cosC60C,6 分 （）由310sin 2 1 CabS40ab ,8 分 由余弦定理： Cabbaccos2 222 即： )60cos1 (2)( 22 abbac ) 2 1 1 (402)(7 22 ba 13ba ,10

11、分 由得： a=8，b=5 ,12 分 16、解证：（）2 1 2 1 1 11 S aS,1 分 当 n2 时， 111 2 nnnnnnn SSSSSSa即,2分 2 11 1nn SS 故 1 n S 是以 2 为首项，以2 为公差的等差数列.,4 分 （）由（）得 n Snn S n n 2 1 ,22)1(2 1 ,5 分 当 n2 时， )1(2 1 2 1 nn SSa nnn ,6 分 当 n=1 时， )2( ) 1(2 1 )1( 2 1 2 1 1 n nn n aa n ,8 分 （） 1当 n=1 时， 14 1 2 1 4 12 1 S成立 ,9 分 2假设 n=k

12、 时，不等式成立，即 k SSS k 4 1 2 1 . 22 2 2 1 成立 则当 n=k+1 时， 2 2 1 22 2 2 1 )1(4 1 4 1 2 1 . kk SSSS kk 2 2 2 ) 1( 1 4 1 2 1 )1( 11 4 1 2 1 kk kk kk ) 1(4 1 2 1 ) 1(4 1 2 1 2 kkk kk 即当 n=k+1 时，不等式成立 由 1， 2可知对任意nN *不等式成立 . （）另证： 222 22 2 2 1 4 1 . 34 1 24 1 4 1 . n SSS n ) )1( 1 . 32 1 21 1 1 ( 4 1 ) 1 . 3 1

13、 2 1 1( 4 1 222 nn n . 4 1 2 1 ) 1 1 1 . 3 1 2 1 2 1 11( 4 1 n nn ,12 分 17、解： （ I）f（0）=10 表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风 险，至少要投入10 万元宣传费； g（0）=20 表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避 免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20 万元宣传费。 , 4 分 （）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当 )2(. . . . . . . . . .20)( ) 1.(10 4 1 )( yygx xxfy 成立，双方均无失败

14、的风险,8 分 由（ 1） （2）得060410)20( 4 1 yyyy 0)154)(4(yy 2420420,164 0154 yxyy y 1624 minmin yx 答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24 万元，乙公司至少要投入16 万元。 18、 （本小题满分12 分） 解： (I)由cbxaxx)x( f 23 ，得 b2ax3x)x(f 2 ,2 分 当 x=1 时，切线l 的斜率为3，可得 2a+b=0 当 3 2 x时，)x(fy有极值，则0) 3 2 (f ，可得 4a+3b+4=0 由、解得 a=2,b=-4,5 分 设切线 l 的方程为m3xy 由原点到切线

15、l 的距离为 10 10 ， 则 10 10 13 m 2 解得 m= 1 切线 l 不过第四象限， m=1 ,6 分 由于 l 切点的横坐标为x=1，4) 1(f 1+a+b+c=4 c=5,7 分 (II) 由 (I)可得54x-2xx)x(f 23 ， 4-4x3x)x(f 2 ,8 分 令0)x(f ，得 x=2, 3 2 x x -3,-2) -2 (-2, 3 2 ) 3 2 ( 3 2 ,1 )x(f + 0 - 0 + f(x) 极大值极小值 ,10 分 f(x) 在 x=2 处取得极大值f(-2)=13 在 3 2 x处取得极小值) 3 2 (f= 27 95 又 f(-3)

16、=8， f(1)=4 f(x)在-3,1上的最大值为13，最小值为 27 95 ,12 分 19（普通班学生做）（1） 1( ) ( )1g xf xx， 21 ( )( )(1)(1)12gxf g xf xxx 32 ( )( )(2)(2)13gxf gxf xxx，猜想( ) n gxxn （2） ( ) n gxxn， 12 1 (1) ( )( )( )( ) 2 n in i n n g xgxgxgxnx 2 222 1 (1)2 ( )() 224 n i i n nnnn yxg xxnxx （1）当1 2 n ，即2n时，函数 2 22 () 24 nnn yx在区间(,

17、 1上是减函数 当 1x 时， 2 min 2 6 2 nn y，即 2 100nn，该方程没有整数解 （2）当1 2 n ，即2n时， 2 min 2 6 4 nn y，解得4n，综上所述，4n 20、 （普通班学生做）解： （）由题意：抛物线焦点为（1，0） 设,41: 2 xytyxl代入抛物线消去 x 得 ),(),(, 044 2211 2 yxByxAtyy设 则4,4 2121 yytyy,4 分 212121 2 21222121 1)( )1)(1( yyyytyyt yytytyyyxxOBOA =34144 22 tt,6分 （）法一：设xybtyxl4: 2 代入抛物线

18、消去 x，得 ),(),(044 2211 2 yxByxAbtyy设 则 y1+y2=4t y1y2=4b,8 分 21 2 2121 2 21212121 )( )( yybyybtyyt yybtybtyyyxxOBOA =bbbbbtbt4444 2222 ,10 分 令2044,44 22 bbbbb 直线 l 过定点（ 2，0）,12 分 法二：设 2 2 21 2 12211 4,4),(),(xyxyyxByxA则 641616 44 2121 2 2 2 1 21212121 yyxxyy yyxxyyxxOBOA 4, 806416 212121 2 2 2 1 xxyyy

19、yyy从而,8 分 当直线l 的斜率不存在时，lx 轴 x1=x 2 21x x=4 x1=x2=2 此时直线l 过（ 2，0）点,9 分 当直线l 的斜率存在时0, 2121 yyxx )(4 21 2 2 2 1 xxyy 2121 21 4 yyxx yy l 的方程为：)( 4 1 21 1 xx yy yy即 1 21 1 21 44 y yy x x yy y )2( 4 21 x yy y此时直线l 过定点（ 2，0） 综上，直线l 过定点（ 2，0）. ,12 分 19、 （本小题满分14 分） （实验班学生做） 解： （I）由图形知： 0 8 1 ,16 4 4 088 0

20、2 2 c b a a bac cba c 解之得：， 函数 f（x）的解析式为xxxf8)( 2 ,4 分 （）由 xxy tty 8 8 2 2 得 ,8, 0)8(8 21 2 txtxttxx 0t2 直线 l1与 f（ x）的图象的交点坐标为（ )8, 2 ttt,6 分 由定积分的几何意义知： 1 0 2 222 8()8()8()8()( t dxttxxdxxxtttS 2 2 23 1 0 22 2 )8() 2 8 3 () 20 8 3 ()8( t xtt xxxx xtt 3 40 1610 3 423 ttt,9 分 （）令 .ln68)()()( 2 mxxxxf

21、xgx 因为 x0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2 个不同的交点，则函数 mxxxxln68)( 2 的图象与x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点 )0( )3)(1(26826 82)( 2 x x xx x xx x xx 当 x（ 0，1）时，)(,0)( xx是增函数； 当 x（ 1，3）时， )(, 0)( xx是减函数 当 x（ 3，+）时， )(, 0)( xx是增函数 当 x=1 或 x=3 时，0)( x ; 7) 1()(mx 极大值为 153ln6)3()(mx 极小值为,12 分 又因为当x 0 时，)(x 当)(xx时， 所以要使0)(x有且仅有两个不同的正

22、根，必须且只须 0) 1( 0)3( 0)3( 0) 1( 或 即 07 0153ln6 0153ln6 07 m m m m 或 m=7 或.3ln615m 当 m=7 或.3ln615m时，函数f（ x）与 g（x）的图象有且只有两个不同交点。 20（实验班学生做） 解： （ I）设 M（x0，y0） 1 2 2 0 2 2 0 b y a x GM 又 0),(),(0 000021 ycxycxMFMF ,2 分 由得 2 0 22 0 xcy代入式整理得)2( 2 2 22 0 c a ax 又 2 2 2 222 0 )2(00a c a aax 解得10, 2 1 2 1 )(

23、22 ee a c 又即 )1 , 2 2 e,4 分 （） （ i）当1 22 2 2 2 2 2 b y b x Ge方程为：时，设椭圆 设 H（x，y）为椭圆上一点，则 bybbyyxHN其中,182)3() 3(| 22222 若 096|, 3 22 bbHNbyb有最大值时，则当 由2535096 2 bbb得（舍去）,6 分 若 b3，当 y= 3 时， |HN|2有最大值2b2+18 由 2b 2+18=50 得 b2=16 所求椭圆方程为1 1632 22 yx ,8 分 （ii）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，Q（x0，y0） ，则由 02 1 1632 1 1

24、632 00 2 2 2 2 2 1 2 1 kyx yx yx 两式相减得 又直线 PQ直线 l直线 PQ 方程为 3 31 x k y 将点 Q（ x0， y0）代入上式得， 3 31 00 x k y ,11 分 由得Q) 3 3 , 3 32 (k,12 分 （解 1）而 Q 点必在椭圆内部1 1632 2 0 2 0 yx 由此得0, 2 47 2 kk又 2 94 00 2 94 kk或 故当) 2 94 ,0()0 , 2 94 (k时 A、B 两点关于点P、Q 的直线对（ 14 分） （解 2） AB 所在直线方程为) 3 32 ( 3 3 kxky 由 1 1632 ) 3

25、32 ( 3 3 22 yx kxky 得 032)21( 3 2 )21 ( 3 34 )21( 22222 kxkkxk 显然 1+2k20 而32)21 ( 3 2 )21(4)21( 3 34 22222 kkkk 32)21( 3 2 )21 (4 22 kk 直线 l 与椭圆有两不同的交点A、B 0 解得0, 2 472 kk又 2 94 00 2 94 kk或 故 当) 2 94 , 0()0, 2 94 (k时 ， A 、 B两 点 关 于 点P 、 Q的 直 线 对 称。,14 分 （ii）另解；设直线l 的方程为y=kx+b 由 1 1632 22 yx bkxy 得 (*

26、)03224)21( 222 bkbxxk 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，Q（x0，y0） ，则 2002 21 0 21 , 21 2 2k b bkxy k bkxx x ,9 分 又直线 PQ直线 l直线 PQ 方程为 3 31 x k y 将点 Q（ x0， y0）代入上式得， 3 31 00 x k y ,10 分 将代入)21( 3 32 kb ,11 分 x1，x2是（ *）的两根 08)21(168)322)(21(4)4( 22222 bkbkkb ,12 分 代入得0, 2 472 kk又 当) 2 94 , 0()0, 2 94 (k时 ， A 、 B两 点 关 于 点P 、 Q的 直 线 对 称。,14 分