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1、2018 届高三第一轮复习讲义【8】 -函数的周期性与对称性 一、知识梳理 1. 函数的周期性 如果对于函数( )yf x , 如果 _, 使得当x 取定义域D 内的任意 值时 , 都有 _ _成立 , 那么函数( )yf x 叫做周期函数 , 常数 T 叫做 函数( )yf x 的_. 对于一个周期函数( )yf x 来说 , 如果在所有的周期中存在一个 最小的正数 , 那么这个最小的正数就叫做函数( )yf x 的最小正周期. 2. 函数图像的对称性 (1) 轴对称 函 数( )yf x的 图 像 关 于 直 线xa成 轴 对 称 图 形 的 充 要 条 件 是 _(或者 _). 证明 :
2、 任取( )yf x 的图像上的一点 00 (,)xy, 则 00 (,)xy关于直线xa对称的点为 00 (2,)axy, 函数( )yf x 的图像关于直线xa成轴对称 00 (2,)axy也在图像上 , 即 0000 (2)(2)()faxyfaxf x, 由 0 x 的任意性 , ( ) (2)f xfa x . 以 a x 代替上式中的x, 即有 ()()f axf a x . (2) 中心对称 函数( )yf x 的图像关于点( ,0)A a成中心对称图形的充要条件是_ _(或者 _). 一般地 , 函数( )yf x 的图像关于点( , )P a b 成中心对称图形的充要条件是
3、_ (或者 _). 3. 拓展： （1）函数( )yf x满足()()f axf bx时，函数( )yf x的图像关于直线 2 ab x 对称； （2）函数( )yf x满足()()f axf bxc时，函数( )yf x的图像关于点 , 22 ab c 对称； （3）函数()yf ax的图像与()yf bx的图像关于直线 2 ba x对称 （4） 1 fxa fx ，则xf是以2Ta为周期的周期函数； 存在一个常数T(0T) ()( )f xTf x 周期 ()()f axf ax ( )(2)f xfax ()()0f axf ax( )(2)f xfax ( )2(2)f xbfax()
4、()2f axf axb （5）xfaxf，则xf是以2Ta为周期的周期函数； （6） )(1 1 )( xf axf，则xf是以aT3为周期的周期函数； （7） )( 1 1)( xf axf，则 xf 是以 aT3 为周期的周期函数； 二、基础检测： 1. 若函数 2 (2)3, , yxaxxa b 的图像关于直线1x对称 , 则b_. 2. 若函数2( )log |2|f xxa 的图像关于直线3x对称 , 则实数a_. 3. 函数 1 lg 1 x y x 的图像关于答 A. y 轴对称B. x 轴对称 C. 原点对称D. 直线 yx对称 4. 若函数( )yf x 定义在 R 上的
5、偶函数 , 又是以 2为周期的周期函数, 若( )f x 在 1,0 上是 减函数 , 那么( )f x 在 2,3 上的单调性是答 A. 单调递增B. 单调递减 C. 先增后减D. 先减后增 5. 定义在 R 上的函数( )yf x 的图像关于直线1x对称 , (1) 若( )f x 是偶函数 , 且(0.5)2f, 则(7.5)f_; (2) 若( )f x 是奇函数 , 则(4)f_. 6. 已知定义在R 上的函数( )yf x 满足(3)(3)fxfx , 若函数( )yf x 恰有四个零点, 则这四个零点的和为_. 三、例题精讲： 例 1： 函数 1 sin) 1( )( 2 2 x
6、 xx xf的最大值和最小值分别为mM ,， 则mM_ 答案： 2； 例 2：设( )f x是定义在R上的奇函数，且(2)(2)f xf x，(1)f2，则 (2)(7)ff_ 答案： 0； 例 3：函数fx对于任意实数x满足条件 1 2fx fx ，若15,f则 5ff_ 答案： 5 1 ； 例 4：已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足 f(x4) f(x)，且在区间 0,2上是增函数，若 方程 f(x) m(m0)在区间 8,8上有四个不同的根x1， x2， x3， x4， 则 x1x2x3x4_. 答案：8； 例5:已知函数)(xf为定义在R上的奇函数，且)(xfy的图像关于 2 1
7、x对称，则 )5()4()3()2()1(fffff_。 答案： 0； 例 6、 定义在 R 上的偶函数xf满足x3f3xf，在区间0,3上递减，设5.1fa， 2fb，4fc，则（）（A）acb（B）cab（C）cba（ D）abc 答案： B； 例 7、已知定义在R上的函数)(xf满足)()4(xfxf；对20 21 xx时， )()( 21 xfxf；)2(xfy的图像关于y轴对称，则下列结论中正确的是（） A.)7()5.6()5 .4(fffB. )5.6()7()5.4(fff C. )5.6()5 .4()7(fffD. )5.4()5.6()7(fff 答案： B； 例 8.
8、定义在 R 上的函数)(xf图像关于点 0, 4 3 对称且满足 )0(, 1)1(), 2 3 ()(ffxfxf)2005()2()1 (2fff，则的值为（） A.2B. 1C.0 D.1 答案： B； 例 9：已知函数)2002()(2002)()()( 11 xfxfxfxfxfy，求满足的值。 答案： 0； 例 10：设函数( )yf x 的图像关于1x对称 , 且当1x时, 2 ( )1fxx, 求函数( )f x 的解 析式 . 【解析】： 解法一 : 由函数图像是抛物线, 且顶点为 (0,1) , 则对称后的顶点为(2,1) , 又因为对称所得的抛物线的开口大小不变, 因此可
9、知其解析式为 22 ( )(2)145f xxxx, 综上所述 , 所求函数的解析式为 2 2 1 1 ( ) 45 1 xx f x xxx . 解法二 : 设点 ( , )(1)x yx在函数的图像上, 则 ( , )x y 关于直线1x的对称点为(2, )x y , 由 (2, )x y 也在函数的图像上, 则(2)fxy , 且21x, 又21x, 22 (2)(2)145(1)yfxxxxx, 综上所述 , 所求函数的解析式为 2 2 1 1 ( ) 45 1 xx f x xxx . 例 11：设定义域为的偶函数( )yf x 满足(2)( )f xf x . 当2,3x时, (
10、)f xx . (1) 求( )yf x 在区间 1,1上的解析式 ; (2) 求( )yf x 在区间 21,21()kkk上的解析式 . 例 12：定义在上的函数( )yf x 满足 : 对于任意x, (1)( )f xf x , (1) 求证 : ( )yf x 是周期函数 , 并指出它的一个周期; (2) 若当0,1)x时 , ( )1f xx, 求( )f x 在 1,2) 上的解析式 ; (3) 在(2)的条件下 , 若函数( )( )g xf xkx 在区间 2,2) 上有两个零点, 求实数k 的取值范 围. 例 13： 设( )g x 是定义在R 上, 以 1 为周期的函数 .
11、 若函数( )( )f xxg x 在区间 3,4 上的值 域为 2,5 , 求( )f x 在区间 10,10 上的值域 . 四、难题突破： 例 1： 设是定义在R 上的偶函数， 对任意， 都有)()4(xfxf且当 时，内关于 x 的方程恰有 3 个不同的实数根，则a的取值范围是 答案：2,4 3 ； 例 2： 已知)(xf是定义在4,4上的奇函数 3 1 )2()(xfxg， 当 2,0)(0,2x时， 0)0(, 12 1 )( | gxg x ，则方程)1(log)( 2 1 xxg的解的个数为_. 提示：根据题意+结合点对称定义，推出xg的点对称中心，再根据对称中心，作出图像； 答
12、案： 9 个； 五、课堂练习： 1. 设 2 ( )(0)f xaxbxc a满 足(1)(1)fxfx , 则(2 ) x f与(3 ) x f的 大 小 关 系 是 _. 2. 定 义 在R 上 的 奇 函 数( )yf x满 足(3)()fxfx , 且01x时( )f xx , 则 ( 15.5)f_. 3. 定义在 R 上的函数( )yf x 满足(1)(1)f xfx , 则函数的图像关于直线_ 对称 . 4. 已 知( )yf x是 定 义 在R上 以2 为 最 小 正 周 期 的 周 期 函 数 , 且 当02x时 , 3 ( )f xxx, 则函数( )yf x 在区间 0,
13、6 上有 _个零点 . 5. 已知( )yf x 是定义在R 上以 2 为周期的周期函数, 且( )yf x 是偶函数 . 若当(0,1)x 时, ( )21 x f x, 则 2 (log 10)f_. ( )fx xR 2,0x 1 ( )( )1,( 2,6 2 x f x若在区间( )log (2)0(1) a f xxa 6. 对于函数( )|f xx xbxc , 给出以下四个命题: (1)当0c时, ( )f x 是奇函数 ; (2)当 0,0bc时, 该函数只有一个零点; (3)函数的图像关于点(0, ) c 对称 ; (4)该函数至多有 两个零点 ; 其中正确的命题的序号是_
14、. 7. 定义在 R 上的偶函数( )yf x 满足 : (1)( )f xf x , 且在 1,0 上是增函数 , 下面关于 ( )f x 的命题 : (1)( )f x 是周期函数 ; (2)( )f x 的图像关于直线1x对称 ; (3)( )f x 在 0,1 上 是 增 函 数 ; (4)( )f x在 1,2 上 是 减 函 数 ; (5)(2)(0)ff; 其 中 真 命 题 的 序 号 是 _. 8. 已知( )yf x 是定义在 R 上以 2 为周期的周期函数, 且( )yf x 是偶函数 . 当0,1x时, ( )1f xx . (1) 求( )yf x在区间(1,2)上的
15、解析式 ; (2) 试问方程( )1lgf xx的实数解有多少个? 请画示意图说明. 9. 已知函数( )yf x 的定义域为R, 且对任意Rx, 都有( )(1)(1)f xf xfx, 求证 : 函数( )f x 是周期函数 . 10.定义函数 3 48 12 2 ( ) 1 2 22 xx f x x fx , 则函数( )( )6g xxf x在区间1,8内的所有 零点的和为 _. 六、总结回顾： 奇偶性、周期性、对称性之间的关系： 四种相似形式： （1）)2()(axfxfaT2 （2）)2()(axfxf对称轴 ax （3）)2()(axfxfaT4 （4）)2()(axfxf对称
16、中心)0,(a 七、课后练习： 1. 设函数)(xf是定义在 R 上周期为 3 的奇函数，且2) 1(f， 则( 2 0 1 )( 2 0 1 2 )ff_ 2. 已知函数是上的偶函数，xg是上的奇函数，1xfxg， 20133g，则2014f的值为 _ 3. 设定义在R上的函数)(xf是最小正周期为2的偶函数，当, 0x时，1)(0xf， 且 在 2 ,0 上 单 调 递 减 ， 在, 2 上 单 调 递 增 ， 则 函 数xxfysin)(在 10,10上的零点个数为 4. 设函数)(xfy是定义在 R上以1为周期的函数，若函数 xxfxg2)()(在区间 3,2上的 值域为6,2， 则)
17、(xg在区间12,12上的值域为（） A6,2B28,24C32,22D34,20 5. 若函数 y=f (x) (xR)满足： f(x+2)= f(x)，且 x 1, 1时， f(x) = | x |，函数 y=g(x)是定义在 R 上的奇函数，且x(0, + )时，g(x) = log 3 x，则函数 y=f (x)的图像与函数y=g(x)的图像的 交点个数为 _ 6. 已知)(xfy是定义在R上的增函数，且( )yf x的图像关于点(6,0)对称若实数 yx,满足不等式 22 (6 )(836)0f xxf yy，则 22 yx的取值范围是 7. 设( )f x是定义R在上以2 为周期的
18、偶函数，已知(0,1)x， 1 2 ( )log (1)f xx，则函 数( )f x在(1,2)上的解析式是 ( )fx(,)(,) 函数周期对称轴对称中心 奇函数4aax 0 ,2a 偶函数 4aax2 0, a 8.设( )f x是定义在R上的函数，若 8 1 )0(f，且对任意的xR，满足 (2 )()3,(4 ) xx f xf xf xf x,则)2014(f= 9. 已知以4为周期的函数 3,1, 2 cos 1 ,1,1 )( 2 x x xxm xf ，其中0m。 若方程 3 )( x xf恰有 5 个实数解，则m的取值范围为（） )(A 15 8 (,) 33 )(B 15
19、 (,7) 3 )(C 4 8 , 3 3 )(D 4 (,7) 3 10.设)(xfy为R上 的奇 函数，)(xgy为R上 的偶 函数，且)1()(xfxg， 2)0(g则)(xf （只需写出一个满足条件的函数解析式即可） 11、已知函数为偶函数， 则“”是 “2为函数的一个周期” 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【思考题】： 12.设( )fx的定义域是全体实数，且( )fx的图像关于直线xa和xb对称，其中ab， 则( )f x是（） （A）一个以ba为周期的周期函数 （B）一个以22ba为周期的周期函数 （C）一个非周期函数 （D）以上均不对 13. 设函数( )yfx对一切实数x均满足(2)(2)fxfx，且方程( )0f x恰好有7 个不同的实根，则这7 个不同实根的和为（） （A）0 （B） 10 （C）12 （D）14 )(xf)1()1(xfxf)(xf