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1、曲线与方程专题训练 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f ( x，y) 0 的实数解建立了如下关系： (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解 (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方 程，这条曲线叫做方程的曲线 解题步骤为： (1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y) 表示曲线上任意一点M的坐标 (2) 写出适合条件p的点M的集合PM|p(M) (3) 用坐标表示条件p(M) ，列出方程f(x，y) 0. (4) 化方程f(x，y) 0 为最简形式 (5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 例 1. 在正三角形 ABC 内
2、有一动点 P， 已知 P到三顶点的距离分别为 | PA | 、 | PB | 、 | PC | ， 且满足 | PA | 2| PB |2| PC |2，求 P点的轨迹方程 解：以 BC的中点为原点， BC所在的直线为 x 轴，BC的垂直平分线为y 轴，建立平 面直角坐标系 (图略) ， 设点 P(x，y) ，B(a, 0)，C ( a, 0)，A(0 ，3a) ， 用点的坐标表示等式 | PA | 2| PB |2| PC |2， 有 x 2( y 3a) 2( xa)2 y 2( xa)2 y 2， 化简得 x 2(y 3a) 2(2a)2， 即所求的轨迹方程为x 2(y 3a) 24a2
3、(y0) 练习 1. 平面上有三点 A( 2，y)、B(0 ，y 2)、C ( x，y) ，若AB BC ，则动点 C的轨迹 方程为 _ 2. 已知 A(1,0) ，B(1,0) ，且MA MB0，则动点 M的轨迹方程是 3. 已知 A(0,1) ，B(1,0) ，则线段 AB的垂直平分线的方程是 _ 4.一个动点到直线 x8的距离是它到点 A(2,0) 的距离的 2 倍， 求动点的轨迹方程 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点P( x，y)，PM y 轴，垂足为 M ，点 N与 点 P关于 x 轴对称且 OP MN4，则动点 P的轨迹方程为 _ 6. 如图所示，过点P(2,4) 作互相垂
4、直的直线l1 ，l 2.若 l1交 x 轴于 A，l2交 y 轴于 B，求线段 AB中点 M的轨迹方程 题型二： 代入法 动点 P( x，y)依赖于另一动点Q ( x0 ，y 0)的变化而变化，并且 Q ( x0 ，y 0) 又 在某已知曲线上，则可先用x、y 的代数式表示x0 、y 0，再将 x0 、y 0 代入已知 曲线得要求的轨迹方程 练习 1 求曲线 2 21yxx关于点(1,2)M的对称曲线方程。 2.平面直角坐标系中， O为坐标原点，已知两点A(3,1) ，B(1,3) ，若点 C满足OC mOA nOB ，其中 m ，nR，且 m n1，求点 C的轨迹方程 3. 已知点 N在曲线
5、 22 21xy上，点坐标为 P （2,3 ） ，并且2NPMP, 求动点 M 的 轨迹方程。 4. 已知ABC 两顶点( 2,0),(2,0)BC, 三角形重心在抛物线 2 21yx上滑动，求三 角形顶点 A的轨迹方程。 题型三：” 点差法”求曲线弦的中点的轨迹方程 方法一：解题步骤为： 设点：即设出弦的两端点坐标； 代入：即代入圆锥曲线方程； 作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开； 整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 练习 1. 求曲线 22 21xy中斜率为 2 的弦的中点的轨迹方程。 2. 求经过曲线 22 21xy6 内的一点(1,1)Q的弦的中点的轨迹方程。 题型
6、四：定义法求轨迹方程 . 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接 写出动点的轨迹方程； 例 2 一动圆与圆 x 2y26x50 外切，同时与圆 x 2y26x910 内切，求动 圆圆心 M的轨迹方程，并说明它是什么曲线 练习 1. 已知 A(2,5) 、B(3 ，1) ，则线段 AB的方程是 2. 到点(1，2)的距离等于 3 的动点 M的轨迹方程是 3 已知(3,0),(3,0)AB. 动点 P满足4PAPB，求动点 P的轨迹方程 3 . 已知圆 C1：(x3) 2 y 21 和圆 C 2：(x3) 2 y 29，动圆 M同时与圆 C 1及圆 C2 相外切，求动圆圆心M的
7、轨迹方程 题型五：交轨法 求两动直线交点的轨迹方程时用交规法。设法写出两动直线的方程， 它们含有共同的第三变量，再联立消去第三变量，得到关于X,Y 的等 式式即所求方程（注意该去的点要去掉） 例 1 已知两点( 2,2),(0,2)PQ以及一条直线:lyx，设长为 2的线段在直线 l 上移动，如图， 求直线PA和QB的交点 M 的轨迹方程 1 在ABC中， A的坐标是 (0,3),BC 的边长为 2，且在x轴的区间3,3 上活动 （1）求ABC的外心 M 的轨迹方程。 （2）设直线 1 : 3 lyxb与点 M 的轨迹交于,E F两点，原点 O到直线 l 的距离为 d ， 求 EF d 的最大值，并求此时b的值。