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1、2010 年陕西省高考理科数学试题 一选择题 1.集合 A= x 12x，B=x x1 (B) x x 1 (C) x 12x (D) x 12x 2.复数 1 i z i 在复平面上对应的点位于（A） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 3.对于函数( )2sincosf xxx，下列选项中正确的是（B） （ A）( )f xf（x）在（ 4 ， 2 ）上是递增的（ B）( )f x的图像关于原点对称 （C）( )fx的最小正周期为2（D）( )f x的最大值为2 4. 5 () a x x （xR）展开式中 3 x的系数为10，则实数a 等于（ D） （A）-1 （B
2、） 1 2 (C) 1 (D) 2 5.已知函数( )f x=，若(0)ff=4a，则实数a= （C） （A） 1 2 （B） 4 5 (C) 2 (D) 9 6.右图是求样本x1，x2， x10平均数 x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】 (A) S=S+x n(B) S=S+ n x n (C) S=S+ n(D) S=S+ 1 n 7. 若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是【C】 (A) 1 3 (B) 2 3 (C) 1 (D) 2 8.已知抛物线y 2=2px（ p0）的准线与圆 x 2+y26 x7=0 相切，则 p的值为【 C】 (A) 1 2 1 2
3、(B) 1 (C) 2 (D) 4 9.对于数列 a n ， “a n+1 a n（ n=1，2） ”是“a n为递增数列”的【 B】 (A) 必要不充分条件(B) 充分不必要条件 (C) 必要条件(D) 既不充分也不必要条件 10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余 数大于 6 时再增选一名代表。那么， 各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用 取整函数y=x（x表示不大于x 的最大整数）可以表示为【B】 (A) y= 10 x3 10 x (B) y= 3 10 x (C) y= 4 10 x (D) y= 5 10 x 二、填空
4、题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分） 。 11.已知向量 =（2，-1） ，b=(-1,m)，c=(-1,2),若（ a+b） c, 则 m=_-1_ 12. 观察下列等式：1 3+23=32，13+23+32=62， 13+23 +3 3+43=102， 根据上述规律，第五个等式为 _1 3+23+_32_+43_+53_=212_. 13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点 M 取自阴影部分的概 率为 14.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量 b 及每万吨铁矿 石的价格 c 如下表： a b(万吨
5、) C（百万元） A 50% 1 3 B 70% 05 6 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿 石的最少费用为 _15_ (百万元 ) 15.(考生注意 :请在下列三题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第一题评分 ) A.( 不 等 式 选 做 题 ) 不 等 式的 解 集 为 . B.(几何证明选做题)如图 ,已知的两条直角边AC,BC 的长分别为 3cm,4cm, 以AC为 直 径 的 图 与AB交 于 点D, 则. C.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 圆C的 参 数 方 程 为 以原点为极点 ,x 轴正半轴为极
6、轴建立极坐标系,直线 的 极 坐 标 方 程 为则 直 线与 圆C 的 交 点 的 直 角 坐 标 为 三.解答题 :解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 (本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知是公差不为零的等差数列, 成等比数列 . 求数列的通项 ; 求数列的前 n 项和 解由题设知公差 由成等比数列得 解得(舍去) 故的通项 , 由等比数列前 n 项和公式得 17 （本小题满分12 分） 如图， A，B 是海面上位于东西方向相聚5（3+）海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45，B 点北偏西60且与 B 点相距海里的 C 点的救援船立即前往营救， 其
7、航行速度为30 海里 /小时，该救援船达到D 点需要多长时间？ 解由题意知AB=海里， DAB=90 60=30， DAB=90 45=45， ADB=180 （ 45 +30） =105，在 ADB中，有正弦定理得 18.（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 2，E， F 分别是 AD ，PC 的重点 （）证明： PC 平面 BEF ； （）求平面BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 解法一（）如图，以A 为坐标原点， AB，AD ，AP 算在直线分别为x，y，z 轴建立空 间直角坐标系。 AP=AB
8、=2,BC=AD=2 2,四边形 ABCD 是矩形。 A，B，C ， D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 2,0) ，D(0， 2 2，0) ，P(0,0,2) 又 E，F 分别是 AD ，PC的中点， E(0， 2，0),F(1 ， 2，1) 。 PC=（2，2 2，-2）BF=（-1， 2，1）EF=（1,0,1） ， PCBF=-2+4-2=0 ，PCEF=2+0-2=0 ， PCBF，PCEF， PCBF,PCEF,BF EF=F, PC平面 BEF （II ）由（ I）知平面BEF 的法向量 平面 BAP 的法向量 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为，
9、则 =45， 平面 BEF与平面 BAP的夹角为45 解法二（I）连接 PE，EC 在 PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即 PEC 是等腰 三角形， 又 F 是 PC 的中点， EFPC, 又，F 是 PC 的中点， BFPC. 又 19 （本小题满分12 分） 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700 名学生按性别进行出样检查，测得身 高情况的统计图如下： （）估计该小男生的人数； （）估计该校学生身高在170185cm 之间的概率； （） 从样本中身高在165180cm 之间的女生中任选2 人， 求至少有1人身高在170180cm 之间的概率。 解 （）样本中男
10、生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。 （）有统计图知，样本中身高在170185cm 之间的学生有14+13+4+3+1=35 人，样本容 量为 70 ， 所以样本中学生身高在170185cm 之间的频率故有 f 估计 该校学生身高在170180cm 之间的概率 （） 样本中女生身高在165180cm 之间的人数为10， 身高在 170180cm 之间的人数为4。 设 A 表示事件“从样本中身高在165180cm 之间的女生中任选2 人，求至少有1 人身高在 170180cm 之间” ， 则 20.（本小题满分13 分） 如 图 ， 椭 圆C ：的 顶 点 为 A1,
11、A2,B1,B2,焦点为 F1,F2, | A1B1| = , ()求椭圆 C的方程； ()设 n 是过原点的直线， l 是与 n 垂直相交于P 点、 与椭圆相交于A,B 两点的直线， 是否存在上述直线l 使成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在， 请说明理由。 解 （1）由知 a2+b 2=7, 由知a=2c, 又b 2=a2-c2 由 解得a 2=4, b 2=3, 故椭圆C的方程为。 （2）设A,B两点的坐标分别为（x1,y 1）(x2,y2) 假设使成立的直线l不存在， （1）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m, 由l与n垂直相交于P点且得 ，即 m2=k2+1. , 2
12、1、 (本小题满分14 分 ) 已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，aR。 （1）若曲线 y=f(x) 与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的 方程； （2）设函数 h(x)=f(x)- g(x), 当 h(x)存在最小之时，求其最小值（ a）的解析式； （3）对（ 2）中的（a） ，证明：当a（0，+）时，（a）1. 解 （1）f (x)= 1 2x ,g (x)= a x (x0), 由已知得x=alnx， 1 2 x = a x ，解德 a= 2 e ,x=e 2, 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f (e 2)= 1 2e , 切线
13、的方程为y-e= 1 2e (x- e2). （1）当 a.0 时，令 h (x)=0,解得 x= 2 4a, 所以当 0 2 4a时， h (x) 0，h(x)在（ 0， 2 4a）上递增。 所以 x 2 4a是 h(x)在（ 0， + ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值 点。 所以 （a）=h( 2 4a)= 2a-aln 2 4a=2 （2）当 a 0 时， h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x) 在（ 0，+）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值 （a）的解析式为2a(1-ln2a) (ao) （3）由（ 2）知 （a） =2a(1-ln2a) 则 1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2 当00，所以 （a ）在 (0,1/2) 上递增 当a1/2 时， 1（a ）0，所以 （a ） 在 (1/2, + )上递减。 所以 （a ）在 (0, +)处取得极大值（1/2 ）=1 因为 （a ）在 (0, +)上有且只有一个极致点，所以（1/2）=1 也是 （a）的最大值 所当 a 属于(0, +)时，总有（a） 1