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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（文科） 本试卷共4 页， 21 小题，满分150 分考试用时120 分钟 参考公式： 锥体体积公式V= 1 3 Sh,其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。 线性回归方程 yb xa中系数计算公式 1 2 1 ()() , () n ii i n i i xxyy bayb xx ，其中 , x y表示样本均值。 样本数据的标准差为 2 1 1 () n i i xx n 。n是正整数，则 -1-2-2-1 -( - )() nnnnnn aba b aababb。 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分 50 分，在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1设复数z满足 1iz，其中i为虚数单位，则z= （） A i B i C 1 D 1 2 已知集合 ,|Ax yxy、为实数，且 22 1xy，,|Bx yxy、 为实数，且1xy， 则AB 的元素个数为（） A4 B3 C2 D1 3已知向量(1,2),(1 ,0),(3,4)abc ，若为实数，()/abc，则= （） A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 4 函数 1 ( )lg(1) 1 f xx x 的定义域是（） A( , 1) B(1, ) C( 1,1) (1,) D( ,) 5不等式 2 210xx 的解集是（） A 1
3、(,1) 2 B(1,)C(,1)(2,)D 1 (,)(1,) 2 6已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 02 2 2 x y xy 给定， 若,Mx y为D上的动点， 点A 的坐标为2,1 ，则 zOM OA的最大值为（ ） A3 B4 C 3 2 D 4 2 7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱 对角线的条数共有（） A20 B15 C12 D10 8设圆 C 与圆外切，与直线 0y相切则C 的圆心轨迹为（） A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 9如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等
4、边三角形、等腰三角形 和菱形，则该几何体体积为（） A B C D 2 10设 )(),(),(xhxgxf 是 R 上的任意实值函数如下定义两个函数 xgf 和 xgf ；对任意 Rx,)(xgfxgf；)(xgxfxgf则下列等式恒成立的是（） A)(xhghfxhgf B)(xhghfxhgf C )(xhghfxhgf D )(xhghfxhgf 二、填空题：本大题共5 小题考生作答 4 小题每小题5 分，满分20分 （一）必做题（1113 题） 11已知na是递增等比数列， 4, 2 342 aaa，则此数列的公比 q 12设函数 . 1cos)( 3 xxxf若 11)(af ，则
5、 )( af 13为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1 号到 5 号每天 2 2 主视图 左视图 俯视图 打时间 x（单位：小时）与当于投篮命中率y 之间的关系： 时间 x1 2 3 4 5 命中率 y04 05 06 0 6 04 小李这5天的平均投篮命中率为，用线性回归分析的方法，预测小李该月6 号打 6 小时篮球 的投篮命中率为 （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 sin cos5 y x （0）和 ty tx 2 4 5 （tR） ，它们的交点坐标为 15 （几何证明选讲
6、选做题）如图 4，在梯形ABCD 中， ABCD，AB4，CD2， E、F 分别为 AD、BC 上点，且 EF3，EFAB，则梯形ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12 分） 已知函数 1 2sin 36 fxx，xR （1）求0f的值； （2）设 10 ,0,3, 2213 f 6 3, 25 f求sin的值 word 版 2019 年高考数学广东卷首发于数学驿站：） 17 （本小题满分13 分） 在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为75 分用 n x 表示编号为 1,2,6n n
7、的同学所得成绩，且前 5 位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 n x70 76 72 70 72 （1）求第 6 位同学成绩 6 x ，及这 6 位同学成绩的标准差 s； （2）从前 5 位同学中，随机地选2 位同学，求恰有1 位同学成绩在区间68,75中的概率 F E D C B A 18 （本小题满分13 分） 如图所示，将高为2，底面半径为1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移到的 ,A A B B 分别为 ,CD C D DE D E 的中点， 1122 ,O OOO 分别为 ,CD C DDE D E 的中点 （1）证明： 12 ,OA OB 四
8、点共面； （2）设G为AA中点，延长 1 A O到H, 使得 11 OHA O,证明 : 2 BO面HBG 19 （本小题满分14 分） 设0a,讨论函数xaxaaxxf)1(2)1(ln)( 2 的单调性 （纯 word 版 2019 年高考数学广东卷首发于数学驿站： ） 20 （本小题满分14 分） 设 b0,数列 n a 满足 ba1, 1 1 (2) 1 n n n nba an an （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n,12 1n n ba 21 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线:2lx交x轴于点 A，设 P 是l上一点， M 是线段
9、 OP 的垂直平分线 上一点，且满足MPOAOP （1）当点 P 在l上运动时，求点M 的轨迹 E 的方程； （2）已知(1, 1)T设 H 是 E 上动点，求|HOHT的最小值，并给出此时点H 的坐标； （3）过点(1, 1)T且不平行于 y轴的直线 1 l与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 1 l的斜率k的取 值范围 参考答案 一 选择题： A C B C D B D A C B 二 填空题 2 -9 0.5 0.53 (1, 5 52 ) 7:5 16 (1)1) 6 sin(2)0(f (2) 65 56 sincoscossin)sin( 5 4 cos, 13 12 cos
10、, 2 , 0, 5 3 sin, 5 6 sin2) 2 3( 13 5 sin 13 10 sin2 6 ) 2 3( 3 1 sin2) 2 3( f f 17 (1)由题意得： 75=90, 6 7270727670 6 6 x x 得 S=7 6 )7590()7572()7570()7572()7576()7570( 222222 (2)设 5 位同学为： A, B,C, D, E 其中 A70 分， B76 分， C72 分， D70 分， E72 分 基本事件： AB, AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE, DE ,共 10 种。 恰好一位同学成绩在区间（68，7
11、5）的基本事件为：AB, BC,BD,BE, 共 4 种。 所以： P= 5 2 10 4 n m 18(1)易得： 121212 222 111111211 1 ,/, 2, ,/ 1 tantan, 2 O AC CEE BOC CEEO ABOOA B O H BO B H BBBH BO B BO BH B AOHO HAOHHHOO A O AO BHOO A AAH HGH AO A AG 面面，四点共面。 （ ）面 延长至使连接，与GH交于点 I, 显然： 在正方形中， 1 00 111 22 90 ,90 , H AO A A GH AH AOO A AH AOH IAH GA
12、O O BH GBOH BG ，即 面 19 （ 文科）设0a,讨论函数 xaxaaxxf)1(2)1(ln)( 2 的单调性 2 2 2 (1)2(1)1 ( )(0) 1 1( )( )00 ( )0 2 (1)2(1)1 1 012 (1)0,( )00 3 ( )0 1 0, 3 aa xa x fxx x afxfx x f x aa xa x aaafx f x a 解： 当时，所以在（ ，）成立。 所以在（ ，）递增。 当a1时，令 g(x)= 当时，即时，在（ ，）成立， 所以在（ ，）递增。 3 当时，即令g(x)=0 得x=所以 2 22 21 22 ( )00 ( )0
13、1 01, 3 13411341 , 2 (1)2 (1) 1 2 (1)0,0, 3 13411341 ( ) 2 (1) fx f x aa aaaaaa aaaa aaaxx aaaaaa fx aa 12 33 在（ ，），（，）成立， 22 3 又因为 f(x) 在x=有意义，所以在（ ，）递增。 2 当时，即 00在（ 0，），（ 22 22 22 12 2 (1) 1341 1341 ( ) 2 (1)2 (1) 13411341 2 (1)2 (1) 1341 1341 2 (1)2 (1) 12 (1)0,0, ( aa aaaaaa fx aaaa aaaaaa aaaa
14、aaaaaa aaaa aaaxx f ，）成立， 0在（ ,）成立，1时， f(x)在（ ,）递增，在 (，）递减。 20 （本小题满分14 分） 设 b0,数列 n a满足ba1, 1 1 (2) 22 n n n nba an an （3）求数列 n a 的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n,12 1n n ba 解： 0 n a显然 ， 11 11 1 11 1 11 11 (2), 1 1111 , 1 111 11),1 11111 1,1 1 nn n nnn n nnn nnn n n nnnn nbaan an ananba annn ababb a nnn b aaa
15、 n nna a nnnn b abaab ab b 当时，所以数列是以 为首项，以 1为公差的等差数列。 （ 当时，令（） 即（） 由（ 1 1 111111 1, 111 1111 11 111111 , 111 nn n nn n nn bbabbab n abbbb n abbbbbb ）得：所以（） 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列。 （） （ ）（ ） 1 1 21 21 1 1 1,1 (1)(1) (1) 1 1 1 1 1 (2)121 2 (1)2 1221 11 2 1 1 222 1 11 2 n n nnn n n n n nn n nn nn n n n n
16、n n b nbnb b aa nb b b b b b bab nb bnb baab bbbb nb bbb b nbnn b b b b ，综上所述： ， （） 当时，显然成立。 当时，要证， 只要证： 121 1 ,1, nn n nbbbb设S= 1211111 11211 1 2(1)()(1)2222 2 ,1,21 1 nnnnnnn n nnnn nn Sbbbbbbbn b nb n bn bbbbab b 则 S即 21 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线:2lx交x轴于点 A，设 P 是l上一点， M 是线段 OP 的垂直平分线 上一点，且满足MPO
17、AOP （4）当点 P 在l上运动时，求点M 的轨迹 E 的方程； （5）已知(1, 1)T设 H 是 E 上动点，求|HOHT的最小值，并给出此时点H 的坐标； （6）过点(1, 1)T且不平行于 y轴的直线 1 l与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 1 l的斜率k的取 值范围 解： （ 1）如图 1，符合 MPOAOP 的点 M 可以在 PO 的左侧和右侧。 当 M 在 PO 左侧时，显然点M 是 PO 垂直平分线与X 轴的交点，所以易得M 的轨迹方程为： y=0(x-1) 当 M 在 PO 右侧时， MPOAOP ，所以 PM/x 轴，设 M(x,y), 则 P(-2，y) 因为
18、 M 在 PO 的垂直平分线上，所以MPMO, 即： 222 2,4(1)xxyxy得：（ x 1) 综上所述：当点P在l上运动时，点M 的轨迹 E 的方程为： y=0(x-1) 和 2 44xy（x1)如图： X=-2 P y x M M AO （2）当 H 在方程 y=0(x-1) 运动时，显然HOHTCOCT 当 H 在方程 2 44xy（ x1)上运动时，HOHTHPHT,由图知当P,H,T 三点共线时， HPHTHOHT取得最小值，即取得最小值，显然此时HOHTCOCT，设 H(x,-1), 因为 H 在 2 44xy上，得 x= 4 3 ,所以 H( 4 3 ,-1) 综上所得：（HOHT）min=1-(-2)=3 。H( 4 3 ,-1) (3)设直线 l1:y+1=k(x-1), 联立 2 44xy得： 2222 2(22)230k xkkxkk 当 k=0 时，显然只有一个交点，不成立。 当 k0时， 2 16(21)0kk恒成立。所以当 k0时，直线l1与轨迹 E 至少有两个交点。 可见 l1与 y=0(x-1) 不能有交点，当直线l1过点 C 时， k= 101 112（） 由图可知，当直线l1与轨迹 E 有且仅有两个交点时，k 1 0 2 （，（ ，）