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1、皖南八校 2019 届高三第一次联考 数学试题（理科） 考生注意： 1本试卷分第I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分100 分，考试时间100 分钟。 2答题前，请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清楚。请考生按规定用笔将所 有试题的答案涂、写在答题纸上，在试题卷上作答无效 。 第 I 卷（选择题共 50 分） 一、选择题：本大题10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知全集U=R，集合 2 |(1)4Axx，则 U C A等于（） A|13x xx或B|13x xx或 C|13xxD|13xx 2设复数 2 22 1,
2、zi zz 则等于（） A1iB1iC12iD12i 3命题“对任意直线l，有平面与其垂直”的否定是（） A对任意直线l，没有平面与其垂直 B对任意直线l，没有平面与其不垂直 C存在直线 0 l，有平面与其不垂直 D存在直线 0 l，没有平面与其不垂直 4已知等比数列 ,5443 1,31,21, nn anSqSaSa的前项和为公比若则 q 等于 （） A2 B 2 C3 D 1 5设点P 是双曲线 22 22 1(,0) xy ab ab 与圆 2222 xyab在第一象限的交点F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，且 12 |2 |PFPF，则双曲线的离心率为（） A5B 5 2 C10
3、D 10 2 6若变量 , x y满足约束条件 20 0 1 xy xy y ，则目标函数2zxy的最大值为（） A 3 B3 C 1 D1 7有一种波，其波形为函数sin() 2 yx的图象，若在 区间0, t上至少有2 个波峰（图象的最高点），则 正整数t的最小值是（） A3 B4 C5 D6 8如右图程序框图，若输出63p，则输入框应填入 A 6i B 5i C4iD3i 9 若函数( )( , )yf xa b的导函数在区间上不是单调函数， 则函数( )yf x在区间 , a b上 的图象可能是（） ABCD 10考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9 条棱，甲从这9 条棱中任选一条，乙
4、从这9 条 棱中任选一条，则这两条棱互相垂直的概率为（） A 22 81 B 37 81 C 44 81 D 59 81 第卷 （非选择题共 100 分） 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置。 11已知向量(2,1),( , 2),( 1,3),( , ) / / ,abxca bcx若则= 。 12在二项式 3 3 () n x x 的展开式中，各项的系数和比各项的二项系数和大240，则n的值 为。 13在平面直角坐标系xOy中，以 O 为极点，x轴正半轴为极辆，取相同的长度单位，建立 极 坐 标 系 ， 则 直 线cos()2 3 被 圆
5、22 cos ( 2 sin x y 为 参 数 ） 截 得 的 弦 长 为。 14一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正 （主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆， 俯视国科是等腰三角形，则这个几何体的表现积是 cm 2。 15若定义域为R的奇函数( )(1)( )f xfxf x满足， 则下列结论：( )f x的图象关于点 1 (,0) 2 对称； ( )f x的图象关于直线 1 2 x对称；( )f x是周期函数， 且 2 个它的一个周期； ( )f x 在区间（ 1， 1）上是单调函数，其中正确结论的序号是。 （填上你认为所有正确 结论的序号） 三、解答题 ;本大题共6 小题，
6、共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分12 分） 在ABC，角 A，B，C 的对边分别为, , ,()a b cAB ACCA CBk kR若。 （ 1）判断ABC的形状； （ 2）若1,kb求的值。 17 （本小题满分12 分） 甲乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4 的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒 中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y，设随机 变量|.Xxy （ 1）求2y的概率； （ 2）求随机变量X的分布列及数学期望。 18 （本小题满分12 分） 在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，AB=BC=C
7、A=DA=DC=BE=2，BE 和平面 ABC所成的角为60， 且点 E在平面 ABC上的射影落在 ABC的平分线上。 （ 1）求证： DE/平面 ABC ； （ 2）求二面角EBCA 的余弦； （ 3）求多面体ABCDE的体积。 19 （本小题满分13 分） 在数列 * 11 12 ,1,1, 421 nnn nn aaabnN aa 中其中。 （ 1）求证：数列 n b是等差数列，并求数列 n a的通项公式 n a； （ 2）设 1 2 n nncna，求数列nc的前n项和。 21 （本小题满分13 分） 已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为 1 2 ，且椭圆E上一点到两
8、 个焦点距离之和为4； 12 ,ll是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线， 1 l交 E于 A，B 两 点， 2 l交 E交 C，D 两点， AB，CD的中点分别为M，N。 （ 1）求椭圆E的方程； （ 2）求 1 l 的斜率k 的取值范围； （ 3）求OMON的取值范围。 21 （本小题满分13 分） 已知函数 2 ( ),( )2 ln( x f xg xax e e 为自然对数的底数） （ 1）求( )( )( )F xf xg x的单调区间，若( )F x有最值，请求出最值； （ 2）是否存在正常数a，使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有 共同的切线
9、？若存在，求出a的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说 明理由。 参考答案 15BDDAA 610BCCDC 11-1 12 4 132 3142 2215 16解：（1）,cos,cos,ABACCA AB ACcbA CA CBbaC coscosbcAabC 根据正弦正理，得sincossincosCAAC 即sincoscossin0,sin()0ACACAC （ 2）由（ 1）知ac 由余弦定理，得 2222 cos 22 bcab AB ACbcAbc bc 1AB ACk 2 1,2. 2 b b得 12 分 17解： （1）(2)(2,2)(2,2)P yP xyP
10、xy 12311 45454 4 分 （ 2）随机变量X可取的值为0，1， 2，3 5 分 当 X=0时，( , )(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y 121212122 (0) 454545455 P X 当 X=1时，( , )(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y 1111111111118 (1) 45454545454510 P X 同理可得 11 (2);(3) 510 P XP X 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 2 5 3 10 1 5 1 10 10 分 2311 01231 510510 EX 12 分
11、18解：方法一： （1）由题意知，,ABCACD都是边长为2 的等边三角形， 取 AC 中点 O，连接 BO，DO， 则,BOAC DOAC 平面 ACD平面 ABC DO 平面 ABC，作 EF平面 ABC ， 那么 EF/DO，根据题意，点F落在 BO上， 60EBF ，易求得3EFDO 所以四边形DEFO是平行四边形，DE/OF； DE 平面 ABC，OF平面 ABC， / /DE平面 ABC 4 分 （ 2）作 FGBC，垂足为 G，连接 FG； EF平面 ABC，根据三垂线定理可知，EGBC EGF就是二面角EBCA 的平面角 1 sin 2 FGBFFBG 22 13 3, 2 E
12、FEGEFFG 13 cos 13 FG EGF EG 即二面角E BCA 的余弦值为 13 . 13 8 分 （ 3）平面 ACD平面 ABC，OBAC OB平面 ACD；又/ /DEOB DE平面 DAC，三棱锥 EDAC的体积 1 1133 3 (31) 333 BAC VSDE 又三棱锥E ABC的体积 2 11 331 33 ABC VSEF 多面体 DEABC的体积为 V=V1-V2= 63 3 12 分 方法二：（1）同方法一 （ 2）建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 可求得平面ABC的一个法向量为 1(0,0,1) n， 平面 BCE的一个法向量为 2( 3, 3,1)
13、n 所以 12 12 12 cos, | | nn n n nn 13 13 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角EBCA 的余弦值为 13 13 （ 3）同方法一 19解：（1）证明： 1 1 22 2121 nn nn bb aa * 4222 2() 1 212121 2(1)1 4 n nnn n a nN aaa a 数列 n b是等差数列3 分 11 1 2 1,2 21 ab a 2(1)22 n bnn 由 * 221 ,21() 21 nn nn banN abn 得 1 2 n n a n 6 分 （ 2）由（ 1）的结论得 1 1, 2(1) 2 2 nn nn
14、n n acnan n 7 分 123 2 23 24 2(1) 2 n n Sn 8 分 2341 22 23 24 22(1) 2 nn n Snn ， 9 分 - ，得 1231 2 2222(1) 2 nn n Sn 111 222(1) 22, nnn nn 11 分 1 2 n nSn 12 分 20解：（1）设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab 由 222 1 2 2 24 3 c a a a b abc 得 椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 （ 2）由题意知，直线 1 l的斜率存在且不为零 12 1 :2,:2.lykxlyx k 由 22 1 43 2
15、 xy ykx 消去y并化简整理，得 22 (34)1640kxkx 根据题意， 22 (16 )16(34)0kk 解得 21 . 4 k 同理得 22211111 (),4,4,( 2,)(,2) 4422 kkk k 9分 （ 3）设 112200 (,),(,),(,)A xyB xyM xy 那么 12 120 22 168 , 23434 xxkk xxx kk 00 222 686 2,(,) 343434 k ykxM kkk 同理得 22 1 8() 6 (,) 11 34()34() k N kk 即 22 8 6 (,) 44 33 k N kk 22 2 222 8 8
16、6628 441 3434 332512() k k OM ON kk k kkk 10 分 22 2 1117 4,2 44 kk k 2 2 4287 1 719 2512()k k 即OMON的取值范围是 47 , 719 13 分 21解：（1） 3 222() ( )( )( )(0) xaxea Fxfxgxx exex 61 分 当0,( )0aFx时恒成立 ( )(0,)F x 在上是增函数，( )F xF 只有一个单调递增区间（0，-） ，没有最值3 分 当0a时， 2() ( )(0) xea xea F xx ex ， 若0xea，则( )0,( )(0,)FxF xea
17、在上单调递减； 若xea，则( )0,( )(,)FxF xea在上单调递增， xea当时，( )F x有极小值，也是最小值， 即 min ( )()2 lnlnF xFeaaaeaaa 6 分 所以当0a时，( )F x的单调递减区间为(0,)ea 单调递增区间为(,)ea，最小值为lnaa，无最大值7 分 （ 2）方法一，若( )f x与( )g x的图象有且只有一个公共点， 则方程( )( )0f xg x有且只有一解，所以函数( )F x有且只有一个零点8 分 由（ 1）的结论可知 min ( )ln01F xaaa得 10 分 此时， 2 ( )( )( )2ln0 x F xf x
18、g xx e min ( )()0F xFe ()()1,( )( )fegef xg x与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e 又 2 ()()fege e ( )( )f xg x与的图象在点(,1)e处有共同的切线， 其方程为 2 1()yxe e ，即 2 1yx e 13 分 综上所述，存在a1，使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点(,1)e，且在该点处 的公切线方程为 2 1.yx e 14 分 方法二：设( )f x 与 g(x)图象的公共点坐标为 00 (,)xy， 根据题意得 00 00 ()() ()() f xg x fxg x 即 2 0 0 0 0 2 ln 22 x ax e xa ex 由得 2 0 x a e ，代入得 02 1 ln, 2 xxe 从而1a 10 分 此时由（ 1）可知 min ( )()0F xFe 0xxe当且时，( )0,( )( )F xf xg x即 因此除 0 xe外，再没有其它 0 x，使 00 ()()f xg x 13 分 故存在1a，使( )( )f xg x与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切 线，易求得公共点坐标为(,1)e，公切线方程为 2 1yx e 14 分